河北省邯郸市曹庄乡孙堡营中学高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市曹庄乡孙堡营中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象 A．关于原点对称                 B．关于直线对称    C．关于轴对称                 D．关于轴对称 参考答案： D 略 2. 在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右。下列说法正确的是（    ） A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定 B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定 C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定 D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定 参考答案： C 3. 若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积是（      ）          B.        C. 15         D.  参考答案： B 略 4. 如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是(     ) A．20+8 B．24+8 C．8 D．16 参考答案： A 考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可． 解答： 解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4， 由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2， 又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8， 表面积为：2×2+16+8=20+8． 故选A． 点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”． 5. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD=2DC. 如果，那么 A．     B． C． D． 参考答案： A 6. “”是“方程至少有一个负根”的（  ）   A. 充分不必要条件      B. 必要不充分条件    C. 充要条件      D.既不充分又不必要条件 参考答案： A 当时，方程等价为，解得，满足条件.当时，令，因为，要使至少有一个负根，则满足或，解得或，综上方程至少有一个负根的条件为.所以“”是“方程至少有一个负根” 充分不必要条件，选A. 7. 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　) A． (x－2)2＋(y＋1)2＝4   B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C． (x＋4)2＋(y－2)2＝4   D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 参考答案： B 8. 是虚数单位,复数= （   ） A． B． C． D．  参考答案： B 9. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是 A．          B．                    C．       D．  参考答案： B ，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，所以。即，选B. 10. 函数,则下列说法中正确命题的个数是（    ）     ①函数有3个零点；     ②若时，函数恒成立，则实数k的取值范围是；     ③函数的极大值中一定存在最小值；     ④，对于一切恒成立．     A．1           B．2           C．3            D．4 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是    ______． 参考答案： 20 高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。 12. 已知为正实数，直线与圆相切，则的取值范围是___________. 参考答案： 13. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为         . 参考答案： 600 14. 函数（a为常数）在（-2，2）内为增函数，则实数a的取值范围是     . 参考答案： 15. 在中，若则角             ． 参考答案： 16. 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足 ，且 ，则ab的值为________． 参考答案： 略 17. 已知的充分不必要条件，则实数m的取值范围是                      . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列{an}满足，令． （1）试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式； （2）令，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）比较与的大小． 参考答案： 考点：等差数列的性质；利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；等差数列的通项公式． 专题：分类讨论；转化思想． 分析：（1）利用已知配凑出4an+1+1、4an+1即bn+1、bn的形式，然后根据等差数列的定义求解； （2）构造数列cn=，在（1）的基础上，求出cn表达式，利用cn的单调性求出cn的最大值，从而转化为不等式求解问题，进而完成对a的探索． （3）构造函数，利用函数的单调性分n≤2和n≥3两种情况探索． 解答： 解：（1）由已知得， 即， 所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1， 又b1=1，所以数列{bn}为等差数列， 通项公式为bn=n（n∈N*）． （2）令cn=， 由， 得 = 所以，数列{cn}为单调递减数列， 所以数列{cn}的最大项为， 若不等式对一切n∈N*都成立，只需， 解得， 所以a的取值范围为（﹣1，+∞）． （3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小． 设函数，所以． 当0＜x＜e时，f'（x）＞0； 当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数． 当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n， 当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即， 所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n， 所以nn+1＞（n+1）n． 综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即； 当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即．（16分） 点评：本题主要考查数列、函数、导数、不等式等基础知识，分类讨论、化归思想等数学思想方法，以及推理、分析与解决问题的能力． 19. （本小题满分10分）   已知的三个顶点的坐标为 (1)  求边上高所在直线的方程； (2)  若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大1，求直线与两坐标轴围成的三角形的周长。 参考答案： 20. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，. （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标. 参考答案： （Ⅰ）解：由，， 可得．…………………………………………………………………1分 因为，，…………………………………………………2分 所以曲线的普通方程为（或）． …………4分 （Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，）， 消去得直线的普通方程为． ……………………………………5分 因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆， 设点，且点到直线：的距离最短， 所以曲线在点处的切线与直线：平行． 即直线与的斜率的乘积等于，即．………………7分 因为， 解得或． 所以点的坐标为或．……………………………………9分 由于点到直线的距离最短， 所以点的坐标为．……………………………………………………10分 解法二：因为直线的参数方程为（为参数，）， 消去得直线的普通方程为．……………………………………5分 因为曲线是以为圆心，1为半径的圆， 因为点在曲线上，所以可设点．………7分 所以点到直线的距离为                           ．………………………………8分 因为，所以当时，．…………………………………9分 此时，所以点的坐标为．……………………………10分 21. （本小题满分12分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）                 ------------------------------------2分 令，解得或.             ------------------------------------4分 当时，；当时，                    ∴的单调递增区间为，单调递增区间为--------------6分 （Ⅱ）令，即    ∴                  设，即考察函数与何时有三个公共点 ------------------------------------8分 令，解得或. 当时， 当时，   ∴ 在单调递增，在单调递减   ----------------------9分                            ------------------------------------10分 根据图象可得.                     ------------------------------------12分 22. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线到平面的距离. 参考答案： （1）方法一： 以中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分 由题意得 则.    .............3分 设为向量的夹角， 则 ，.....5分 异面直线与所成角的大小为arccos     .    ...... 6分 方法二：取中点，连结. ………………………………….2分 （或其补角）为异面直线所成的角. ……3分 由题意得:在中，;在中，;……………………4分   在等腰三角形中，                                ………5分 所以异面直线与所成角的大小为           .   .... 6分 （2）方法一： 由题意可得, 所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.  …………….8分 设平面的法向量为，, 由得 ,…………………11分 即.  ……………………………………………………12分 所以     故直线到平面的距离为.…………………………………14分 方法二： 由题意可得, 所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.…………….