河北省邯郸市武安北安庄乡中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

河北省邯郸市武安北安庄乡中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，给出下列四个命题： ①点E到平面ABC1D1的距离为； ②直线BC与平面ABC1D1所称角为45°； ③空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为； ④正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条， 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 考点：棱柱的结构特征． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析：根据点E到平面ABC1D1的距离等于点1到平面ABC1D1的距离，判断①即可； 直线BC与平面ABC1D1所称角为∠CB1C1，利用Rt△CB1C1求解即可； 把空间四边形ABCD1在该正方体左右，前后上下的射影面积求解判断最小值即可， 利用平行，相交得出正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，其中有BB1，D1C1，DC，AA1，BC， 解答：解：∵EB1∥平面ABC1D1， ∴点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离， ∴点E到平面ABC1D1的距离为； 故①不正确； ∵直线BC与平面ABC1D1所称角为∠CB1C1， ∴在Rt△CB1C1中，∠CB1C1=45°， 故②正确； ∵空间四边形ABCD1在该正方体上下面的射影面积为1， 空间四边形ABCD1在该正方体左右，前后的射影面积为； ∴空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为； 故③正确； ∵正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，其中有BB1，D1C1，DC，AA1，BC， ∴④正确， 故选：C   点评：本题综合参考了正方体的几何性质，空间直线，平面的距离，夹角问题，化立体为平面求解，属于中档题，关键是仔细看图得出所求解的线段，夹角． 　 2. 已知直线的方程为,则下列叙述正确的是(   ) A. 直线不经过第一象限 B. 直线不经过第二象限 C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 参考答案： A 略 3. 函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）=2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　） A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2 参考答案： C 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案． 【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立， ∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0， 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增， ∵不等式f（x）＞ex， ∴g（x）＞1， ∵f（ln2）=2， ∴g（ln2）=1， ∴x＞ln2， 故选：C． 【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性． 4. 在中，角所对的边分别为，若，且 ，则下列关系一定不成立的是 （A）     （B）      （C）    （D） 参考答案： B 略 5. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 (　　) 参考答案： C 6. 椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据三角形的周长求出a的值，再根据勾股定理求出c的值，最后根据离心率公式计算即可． 【解答】解：设椭圆方程为， ∵△PF2Q的周长为36， ∴PF2+QF2+PQ=36=4a， 解得a=9， ∵过F1的最短弦PQ的长为10 ∴PF2=QF2=（36﹣10）=13， 在直角三角形QF1F2中，根据勾股定理得， =， ∴c=6， ∴ 故选：C． 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（   ） A．1         B．       C.         D． 参考答案： B 8. 已知等差数列中，，则的值是（    ）     A．15   B．30         C．31 D．64 参考答案： A 略 9. 若函数f(x)=2x2 - lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(    ) A.  ( ,+ ￥)     B. (- ￥, )    C.  (, )       D.  [1, ) 参考答案： D 10. 函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案． 【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2． 故选：D． 【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知则数列的前项和______   _____. 参考答案： 12. 求值：________. 参考答案： 13. 《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有             种.（用数字作答）      参考答案： 36 根据题意，分2步分析： ①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法， ②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法， 则后六场的排法有=36（种）.   14. 若不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），则a+b的值是　   　． 参考答案： 1 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系，利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 【解答】解：不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2）， 可得（x﹣a）（x﹣b）=0的解x1=﹣1，x2=2， 即a=﹣1，b=2，或者a=2，b=﹣1， ∴a+b的值等于1． 故答案为1． 15. 设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R） （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是　　； （2）若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： 3x+y=0或x+y+2=0,（﹣∞，﹣1]. 【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程． 【分析】（1）求出直线l在两坐标轴上的截距，利用截距相等建立方程，解出a的值即可； （2）化直线的方程为斜截式，可得，解之可得． 【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．  令y=0，得x=（a≠﹣1） ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a﹣2=，解得a=2或a=0． ∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0． （2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2． ∵l不过第二象限，∴，解得a≤﹣1． ∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 故答案为：3x+y=0或x+y+2=0，（﹣∞，﹣1] 16. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的     （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件）. 参考答案： ① 17. 如图，侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400  ， 过A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为            参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． (1)求函数的最小值和最小正周期； (2)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值． 参考答案：   ① 又c=3，由余弦定理，得  ② 解方程组①②，得。 19. （本小题满分12分）已知函数为偶函数. (Ⅰ)求实数的值； (Ⅱ)记集合,,判断与的关系； (Ⅲ)当时,若函数的值域为,求的值. 参考答案： (Ⅰ) 的定义域为为偶函数    解得 ……2分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当时,;当时, , ……3分 ……5分 所以……6分 以下用定义证明在的单调性： 设，则 因为，所以，所以，，所以在单调递增。 因为，所以，所以在单调递增.……9分 20. 某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答． 【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元， 题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批， 每批价值3000x元． 由题意知y=×360+3000kx， 当x=400时，y=43600， 解得k=， ∴y=×360+100x≥2=24000（元） 当且仅当×360=100x，即x=120时等号成立． 此时x=120台，全年共需要资金24000元． 故只需每批购入120台，可以使资金够用． 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型． 21. (本题满分12分)如图，矩形中，，，为上的点，且，AC、BD交于点G. （1）求证：； （2）求证；； （3）求三棱锥的体积. 参考答案： （1）证明：，         ∴，  AE平面ABE,    ∴……..2分 又，∴………3分 又∵BC∩BF=B，， ∴………..4分    （2）证明：依题意可知：是中点. 由知，而，       ∴是中点，       ∴ 在中，，…………6分又∵FG平面BFD，AE平面BFD， ∴……………8分 （3）解：，  ∴，而，         ∴，即……….9分         是中点，是中点， ∴且.         又知在△中，，，          ∴……………11分      ∴.…………….12分 22. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2