河北省邯郸市台庄中学高二数学文上学期期末试题含解析

河北省邯郸市台庄中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个路口，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒；当某人到达路口时看见的红灯的概率是（    ） A.              B.             C.          D. 参考答案： B 略 2. 若k∈R，则“k＞1”是方程“”表示椭圆的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】求出方程“”表示椭圆的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：若方程“”表示椭圆， 则，解得：k＞1， 故k＞1是方程“”表示椭圆的充要条件， 故选：C． 3. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若b=a，S△AOB=，则p=（　　） 　 A． 1 B． C． 2 D． 3 参考答案： C 4. 将函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是 A.4            B.8             C. 2π             D. 4π 参考答案： D 5. 已知{an}、{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a19－b19＝16，那么a10－b10的值为(　　) A．－6　  　  　B．6　　　　   C．0　　　　 D．11 参考答案： D 6. 已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（  ） A 曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0； B 凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上； C 不在C上的点的坐标不必适合F（x，y）=0； D 不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0。 参考答案： C 略 7. 下列四个命题中是假命题的为    （A）                                          （B）    （C）                                                     （D） 参考答案： B 略 8. 设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．8 D．4 参考答案： D 【考点】基本不等式． 【分析】利用等比中项的定义即可得出a、b的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出其最小值． 【解答】解：由题意知3a?3b=3，∴3a+b=3，∴a+b=1． ∵a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=2++≥2=4．当且仅当a=b=时，等号成立． 故选D． 9. 命题“若AB，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　) A．4　　　　B．0　　　C．2　　　　D．3 参考答案： C 10. 从10名大学毕业生中选3个担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 (　　) A．85            B．56          C．49            D．28 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是　　． 参考答案： （e﹣3，+∞） 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，不妨设f（a）≤f（b）≤f（c），则等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令f′（x）=1﹣=，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出． 【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，不妨设f（a）≤f（b）≤f（c）， 则等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0． 令f′（x）=1﹣=， 可得函数f（x）在区间上单调递减；在区间（1，e]上单调递增． ∴函数f（x）在[，e]上的极小值即最小值为f（1）=1+k．最大值f（x）max==f（e）=e﹣1+k． 从而可得，解得k＞e﹣3， 故答案为：（e﹣3，+∞）． 12. 已知集合，，则          ． 参考答案： 13. 已知实数满足则的最小值是          . 参考答案： -5 14. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=      ． 参考答案： ﹣ 【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题． 【分析】根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案． 【解答】解：由于， ∴= = 如图，根据向量数量积的几何意义得： =﹣3|AE|+2|AF|=﹣×3+2×1=﹣ 故答案为：﹣． 【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题． 15. 规定符号表示一种运算，即其中、；若，则函数的值域         参考答案： 略 16. 点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值 是    ▲     . 参考答案： 略 17. 椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是         ． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用． 【专题】计算题． 【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围． 【解答】解：如图， 设p（x，y），则， 且∠F1PF2是钝角 ?x2+5+y2＜10 ． 故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）用分析法证明； （2）已知a，b为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果． （2）利用反证法假设结论不成立，则，，推出矛盾结论，即可证得题中的结论． 【详解】（1）要证， 只需证， 即证， 即证， 即证14＜18， 而14＜18是成立的，， （2）假设结论不成立，则， ， 即， 即. 即， 矛盾！故假设不成立， 与中至少有一个不小于2． 【点睛】本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 19. 参考答案：   有极大值，又，，即当时，的最大值为，∵当时，恒成立，∴，解得或。所以的取值范围是。   略 20. （本小题满分14分）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且. （1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程． 参考答案： 解：（1）∵，且边通过点，∴直线的方程为．…1分 设两点坐标分别为．由，得．…3分 ∴．………………………4分 又边上的高等于原点到直线的距离． ∴，．………………………6分 （2）设所在直线的方程为， 由得．………………………8分 因为A, B在椭圆上，所以．设两点坐标分别为 ，则，， 所以．………………………12分 又因为的长等于点到直线的距离，即． 所以． 所以当时，边最长，（这时） 此时所在直线的方程为．………………………1   略 21. （Ⅰ）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？ （Ⅱ）已知（+2x）n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 参考答案： 【考点】二项式定理的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理． 【分析】（Ⅰ）根据顶点在第一象限和顶点在第三象限两种情况分类讨论，求出结果． （Ⅱ）第k+1项的二项式系数为Cnk，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过原点，得c=0， 当顶点在第一象限时，a＜0，﹣＞0， 即，则有3×4=12（种）； 当顶点在第三象限时，a＞0，﹣＜0， 即a＞0，b＞0，则有4×3=12（种）； 共计有12+12=24（种）． （Ⅱ）∵Cn4+Cn6=2Cn5， ∴n2﹣21n+98=0， ∴n=7或n=14． 当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， ∴T4的系数=C73（）423=， T5的系数=C74（）324=70． 当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8． ∴T8的系数=C147（）727=3432． 【点评】本题考查满足条件的抛2的条数的求法，考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22. （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2，D是的中点，直线与侧面所成的角是． （Ⅰ）求二面角的大小； （Ⅱ）求点到平面的距离． 参考答案： 解：解法一（1）设侧棱长为，取BC中点E， 则面，∴  ∴  解得 ……3分   过E作于，连， 则，为二面角的平面角 ∵，，∴ 故二面角的大小为    ………… 6分 （2）由（1）知面，∴面面  过作于，则面  ∴ ∴到面的距离为  ………… 12分 解法二：（1）求侧棱长                                 ……………3分  取BC中点E , 如图建立空间直角坐标系， 则，，， E    设是平面的一个法向量，则由 得    而是面的一个法向量 ∴．而所求二面角为锐角， 即二面角的大小为                 …… …… 6分 （2）∵ ∴点到面的距离为   …… 12分 略