河北省衡水市西路古庄中学高二数学文联考试卷含解析

河北省衡水市西路古庄中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于平面，，和直线，，，， 下列命题中真命题是               （    ） A.若,则； B.若则； C.若,则； D.若,则. 参考答案： B 2. 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率（     ） A.             B.            C.            D.      参考答案： A 3. <0时，函数=4+  (    ) A．有最小值﹣4 B．有最大值﹣4 C．有最小值4 D．有最大值4 参考答案： B 略 4. 如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（　　） A．++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣ 参考答案： A 【考点】空间向量的加减法． 【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项． 【解答】解：=， =+﹣+， =++﹣， =﹣++， ∵=，=，=， ∴=﹣++， 故选：A． 【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题． 　 5. 设全集为，集合，则(   )                            参考答案： B 6. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　） A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 参考答案： B 【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误． 【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错； 对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对； 对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错； 对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错． 故选B． 【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示． 7. 方程的两个根可分别作为 （A）两椭圆的离心率 （B）两抛物线的离心率 （C）一椭圆和一抛物线的离心率 （D）一椭圆和一双曲线的离心率 参考答案： D 8. 在的展开中，的系数是（    ） A.   B．  C．   D． 参考答案： D  解析： 9. 某校开设街舞选修课程，在选修的学生中，有男生28人，女生21人.若采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则应抽取的女生人数为（　     ） A．9　　                B．8                 C．7                    D．6 参考答案： D 略 10. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于实数，用表示不超过的最大整数，如若，,为数列的前项和，则： （1）= ；    （2）=             ． 参考答案： 6; . 12. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积　   　． 参考答案： 50π 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体内的三棱锥，结合图形，求出该三棱锥的外接球的半径即可． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是顶点与长方体的顶点重合的三棱锥B1﹣ACD1，如图所示， 长方体的长为5，宽为4，高为3， ∴该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，该球的直径为2R=l， ∴l2=52+42+32=50， ∴外接球的表面积是S球=4πR2=πl2=50π． 故答案为：50π． 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为，表中丢失一个数据，请你推断出该数数值为______________. 零件个数（） 10 20 30 40 50 加工时间（ 62   75 81 89 参考答案： 68 14. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断： ①f（1）+f（－1）=0；    ②f（－2）>0； ③函数y=f'（x）在区间（－∞，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号） 参考答案： ②③ 15. 数列中，，则         参考答案： 略 16. 三条直线相交于一点，则的值_________； 参考答案： 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=    ． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】计算题． 【分析】先判断△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，可得AD=2AE，在直角△ADC中，∠A=60°，可得AC=2AD，从而AC=4AE，故可得结论． 【解答】解：连接OD，CD ∵DE是圆的切线，∴OD⊥DE， 又∵DE⊥AC，∴OD∥AC； ∵AB=AC，∴BD=OD； 又∵OD=OB，∴OB=OD=BD， ∴△BDO是等边三角形，∴∠B=60°， ∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形． 在直角△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE， 在直角△ADC中，∠A=60°，∴AC=2AD， ∴AC=4AE ∴= 故答案为： 【点评】本题考查圆的切线，考查比例线段，属于基础题．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的表达式； （Ⅱ）当时，求： （ⅰ）讨论函数的单调区间； （ⅱ）对任意的，恒有，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ），得切线斜率为   -------2分      据题设，，所以           -------------------------3分       所以    -------------------4分 （Ⅱ）（ⅰ）       若，则，可知函数的增区间为和，       减区间为                                     --------------6分       若，则，可知函数的增区间为； ------7分         若，则，可知函数的增区间为和，           减区间为                         ----------------------------9分 （ⅱ）当时，据①知函数在区间上递增，在区间上递减，     所以，当时，，故只需，     即     显然，变形为，即，解得   ---------11分     当时，据①知函数在区间上递增，则有     只需，解得.                                     ----------13分 综上，正实数的取值范围是         --------------------------------------------14分 略 19. 观察下列各不等式： 1+＜， 1++＜， 1+++＜， 1++++＜， … （1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n（n≥2）有关的一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到是结论． 参考答案： 解：（1）观察1+＜， 1++＜， 1+++＜， 1++++＜， … 各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为 1++++＜且n≥2． （2）以下用数学归纳法证明这个不等式． ①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立． ②假设当n=k时，不等式成立，即 1++++＜    那么，当n=k+1时，有 1+++++＜ ===． 所以当n=k+1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立． 略 20. （本小题满分12分）过点，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程． 参考答案： （１）截距不为０时设的方程为 过， 的方程为：························8分         （２）截距为时，的方程为： 　　　　终上（１）、（２）可得：直线的方程是或 　　　　．························12分 21. 设命题p：方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示的曲线是一个圆； 命题q：方程﹣=1所表示的曲线是双曲线，若“p∧q”为假，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；二元二次方程表示圆的条件． 【分析】先求出命题p真、命题q真时m的范围，由“p∧q”为假，得p假或q假，列式计算即可． 【解答】解：若命题p真：方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则应用D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0， 解得m＜5，故m的取值范围为（﹣∞，5）． 若命题q真：（m﹣6）（m+3）＞0，即m＜﹣3或m＞6． ∵“p∧q”为假，p假或q假， 若p为假命题，则m≥5， 若q为假命题，则﹣3≤m≤6， 所以p∧q为假，实数m的取值范围：m≥﹣3． 22. 如图：在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．   （1）求三棱锥的表面积；（5分） （2）求证：平面；（5分） （3）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由．（5分） 参考答案： 解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．   三棱锥D－ABC的表面积为． （5分） （2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F为CH的中点． ∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．（5分） （3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝（5分）     略