河北省石家庄市苏村乡中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析

河北省石家庄市苏村乡中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 当时，函数的图象大致是（    ） A．               B．             C．            D． 参考答案： B 2. 的值为                                       （      ） ．               .          .             .1 参考答案： C 3. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： C 【考点】3L：函数奇偶性的性质；52：函数零点的判定定理；54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求． 【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2． 当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x． 函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数． 在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示： 显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点， 故选：C 4. △ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于  (    )． A．5 B．13 C． D． 参考答案： C 5. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点,且两曲线交点的连线过点,则双曲线的离心率为（  ）                                                 ．      ．       ．             ． 参考答案： B 6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（   ） A.    B.     C.     D. 参考答案： B 略 7. 下列命题中的假命题是(  ) A.   B.    C.   D. 参考答案： C 略 8. 已知M点的极坐标为则M点关于直线的对称点坐标为 A. B. C. D. 参考答案： A 本题主要考查极坐标方程与对称性. M点的极坐标为可表示为，所以M点关于直线的对称点坐标为 9. 已知ξ的分布列如下： 1 2 3 4   并且，则方差（  　）   Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： A 略 10. 椭圆上的点到直线2x－y＝7距离最近的点的坐标为（    ） A．（－，）      B．（，－）    C．（－，）     D．（，－） 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是         ． 参考答案： 12. （本小题满分10分）设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的归纳并猜想出结果,并给出证明． 参考答案： 13. 如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为　　． 参考答案： 60° 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角． 【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中， 连结A′B、A′C′， ∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角， ∵A′B=BC′=A′C′， ∴∠A′C′B=60°， ∴异面直线AC与BC′所成的角为60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 14. 设是焦距等于6的双曲线 的两个焦点，P是C上一点，若 ，且 的最小内角为30，则c的方程为_________. 参考答案： 15. 若，则等于10　　． 参考答案： 10       16. 关于函数.下列四种说法： ①的最小正周期是；②是偶函数；③的最大值是2；④在区间上是增函数.其中正确的是：                 . 参考答案：  ②④ 17. 函数y=loga（x﹣3）+3（a＞0且a≠1）恒过定点　　． 参考答案： （4，3） 【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点． 【分析】根据对数函数的图象恒过定点（1，0），求出该题的答案即可． 【解答】解：当x﹣3=1，即x=4时，y=loga（x﹣3）+3=0+3=3， ∴函数y=2loga（x﹣3）+3的图象恒过定点（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列中，且．且满足 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． （3）在（2）的条件下，是否存在最大的整数，使得对于任意的均有成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由. 参考答案： 略 19. 已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立；命题q：函数是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，然后求解实数a的范围． 【解答】解：∵x∈[1，2]时，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立， ∴a＞=﹣x在x∈[1，2]上恒成立， 令g（x）=﹣x，则g（x）在[1，2]上是减函数， ∴g（x）max=g（1）=1， ∴a＞1．即若命题p真，则a＞1． 又∵函数f（x）=（x2﹣2ax+3a）是区间[1，+∞）上的减函数， ∴u（x）=x2﹣2ax+3a是[1，+∞）上的增函数，且u（x）=x2﹣2ax+3a＞0在[1，+∞）上恒成立， ∴a≤1，u（1）＞0，∴﹣1＜a≤1， 即若命题q真，则﹣1＜a≤1． 综上知，若命题“p或q”是真命题，则a＞﹣1． 20. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，                                        (1）    求四边形ABCD的面积；     (2）    求三角形ABC的外接圆半径R;                         (3）    若，求PA+PC的取值范围。 参考答案： （1）由得                                         故                         (2）由（1）知，                                                    (3）    由（1）和（2）知点P在三角形ABC的外接圆上，故PA=2Rsin∠ACP， PC=2Rsin∠CAP，设∠ACP=θ，则∠CAP=， ，                                     21. （本小题满分12分）已知函数 （1）若为奇函数，求的值； （2）若在上恒大于0，求的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）的定义域关于原点对称 若为奇函数，则  ∴ 若在上恒大于0，的取值范围为 22. （本小题满分12分） 设函数的图像在x=2处的切线与直线 y＝x＋12平行。 （1）求m的值； （2）求函数在区间[0，1]上的最小值； （3）若且a+b+c=1，证明：。 参考答案： （1）因为，所以 解得或。又，所以。 （2）由，解得。列表如下： x 0 （0，） （ 1   - 0 + 0 f（x） 2 递减 递增 2 所以函数f（x）在区间[0，1]的最小值为。 （3）因为函数，所以 所以。 当时，，所以 。 又因为，所以 。故，当且仅当a=b=c=时取等号。