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河北省石家庄市苏村乡中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 当时,函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 的值为 ( )
. . . .1
参考答案:
C
3. 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)﹣log3|x|的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
参考答案:
C
【考点】3L:函数奇偶性的性质;52:函数零点的判定定理;54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象,这两个函数图象的交点个数即为所求.
【解答】解:∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),故函数的周期为2.
当x∈[0,1]时,f(x)=x,故当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x.
函数y=f(x)﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数.
在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象,如图所示:
显然函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点,
故选:C
4. △ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,∠C=60°,则c的值等于 ( ).
A.5 B.13 C. D.
参考答案:
C
5. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点,且两曲线交点的连线过点,则双曲线的离心率为( )
. . . .
参考答案:
B
6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 下列命题中的假命题是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知M点的极坐标为则M点关于直线的对称点坐标为
A. B. C. D.
参考答案:
A
本题主要考查极坐标方程与对称性. M点的极坐标为可表示为,所以M点关于直线的对称点坐标为
9. 已知ξ的分布列如下:
1
2
3
4
并且,则方差( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 椭圆上的点到直线2x-y=7距离最近的点的坐标为( )
A.(-,) B.(,-) C.(-,) D.(,-)
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 .
参考答案:
12. (本小题满分10分)设Sn=+++…+,写出S1,S2,S3,S4的归纳并猜想出结果,并给出证明.
参考答案:
13. 如图,在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,异面直线AC与BC′所成的角为 .
参考答案:
60°
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角.
【分析】连结A′B、A′C′,由AC∥A′C′,得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角,由此能求出异面直线AC与BC′所成的角.
【解答】解:在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,
连结A′B、A′C′,
∵AC∥A′C′,∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角,
∵A′B=BC′=A′C′,
∴∠A′C′B=60°,
∴异面直线AC与BC′所成的角为60°.
故答案为:60°.
【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
14. 设是焦距等于6的双曲线 的两个焦点,P是C上一点,若 ,且 的最小内角为30,则c的方程为_________.
参考答案:
15. 若,则等于10 .
参考答案:
10
16. 关于函数.下列四种说法:
①的最小正周期是;②是偶函数;③的最大值是2;④在区间上是增函数.其中正确的是: .
参考答案:
②④
17. 函数y=loga(x﹣3)+3(a>0且a≠1)恒过定点 .
参考答案:
(4,3)
【考点】4O:对数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据对数函数的图象恒过定点(1,0),求出该题的答案即可.
【解答】解:当x﹣3=1,即x=4时,y=loga(x﹣3)+3=0+3=3,
∴函数y=2loga(x﹣3)+3的图象恒过定点(4,3).
故答案为:(4,3).
【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列中,且.且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
(3)在(2)的条件下,是否存在最大的整数,使得对于任意的均有成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
参考答案:
略
19. 已知命题p:在x∈[1,2]时,不等式x2+ax﹣2>0恒成立;命题q:函数是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p或q”是真命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围,然后求解实数a的范围.
【解答】解:∵x∈[1,2]时,不等式x2+ax﹣2>0恒成立,
∴a>=﹣x在x∈[1,2]上恒成立,
令g(x)=﹣x,则g(x)在[1,2]上是减函数,
∴g(x)max=g(1)=1,
∴a>1.即若命题p真,则a>1.
又∵函数f(x)=(x2﹣2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数,
∴u(x)=x2﹣2ax+3a是[1,+∞)上的增函数,且u(x)=x2﹣2ax+3a>0在[1,+∞)上恒成立,
∴a≤1,u(1)>0,∴﹣1<a≤1,
即若命题q真,则﹣1<a≤1.
综上知,若命题“p或q”是真命题,则a>﹣1.
20. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD=4,BC=6,CD=2,
(1) 求四边形ABCD的面积;
(2) 求三角形ABC的外接圆半径R;
(3) 若,求PA+PC的取值范围。
参考答案:
(1)由得
故
(2)由(1)知,
(3) 由(1)和(2)知点P在三角形ABC的外接圆上,故PA=2Rsin∠ACP,
PC=2Rsin∠CAP,设∠ACP=θ,则∠CAP=,
,
21. (本小题满分12分)已知函数
(1)若为奇函数,求的值;
(2)若在上恒大于0,求的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ)的定义域关于原点对称
若为奇函数,则 ∴
若在上恒大于0,的取值范围为
22. (本小题满分12分)
设函数的图像在x=2处的切线与直线 y=x+12平行。
(1)求m的值;
(2)求函数在区间[0,1]上的最小值;
(3)若且a+b+c=1,证明:。
参考答案:
(1)因为,所以
解得或。又,所以。
(2)由,解得。列表如下:
x
0
(0,)
(
1
-
0
+
0
f(x)
2
递减
递增
2
所以函数f(x)在区间[0,1]的最小值为。
(3)因为函数,所以
所以。
当时,,所以
。
又因为,所以
。故,当且仅当a=b=c=时取等号。
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