2021年人教版八年级上册数学讲义

八年级数学讲义欧阳光明（2021.03.07）第第 1111章章 三角形三角形一、一、三角形的概念三角形的概念1三角形的定义三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2 2三角形的表示三角形的表示ABCABC 中中，边：边：AB，BC，AC 或或 c，a，b顶点：顶点：A，B，C 内角：内角：A，B，C二、二、三角形的边三角形的边1.1.三角形的三边关系三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1)三角形任意两边之和大于第三边:b+ca(2)三角形任意两边之差小于第三边:b-cab+ca 时,就可构成三角形.1.21.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差两边之差 第三边第三边 AE，CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAEAB+AC2AD例例 2 2如图如图CBCB，CDCD分别是钝角分别是钝角AECAEC和锐角和锐角ABCABC的中线，且的中线，且ACAC=ABAB求证：求证：CECE=2=2CDCD证明：证明：延长 CD 至，使 DF=CD，连接 BF，在ADF和BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFADFBDCAF=BC，AFBC CAF+ACB=180，ACB=ABC，ABC+CBE=180CAF=CBE 又因为 AC=BE，CAFCBECE=CF例例 3 3、如图，在如图，在点点，交，交于点于点中，中，若，若交交于点于点，点，点是是，求证：，求证：为为中点，中点，的角平分线的角平分线交交的延长线于的延长线于证明：延长在和到点，使中，连结又，是，而边的中线，E 是 AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交是边的中线例例 4 4、如图，在中中，AC 于点 F求证：AFEFDC=DB证明：延长 AD 到点 G，使 AD=DG，连结 BG在ADC和GDB中*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB（SSS）CAD=BGD BG=AC又BE=AC，BE=BGBED=GBED=AEF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=EF*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07二 截长补短法截长截长:1.1.过某一点作长边的垂线 2.2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短补短:1.1.延长短边 2.2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲例题精讲】例例1.1.如图，如图，ABCABC中，中，ACBACB2 2B B，1 12 2 求证：求证：ABABACACCDCD证法一：证法一：（补短法）延长 AC 至点 F，使得 AFAB在ABD和AFD 中ABDAFD（SAS）BFACB2BACB2F而ACBFFDCFFDCCDCF而 AFACCFAFACCDABACCD证法二：证法二：（截长法）在 AB上截取 AEAC，连结 DE在AED和ACD 中AEDACD（SAS）*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07例例 2 2、如如 图图，在在ABCABC 中中，ADAD 为为 BCBC 边边上上 的的高高，B=2B=2C.C.求求证证：CD=AB+BD.CD=AB+BD.证明：证明：在 DC 上截取 DE=DB，连接 AE，在 ADB 和 ADE.中DE=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADB（SAS）AE=AB，B=2CAEB=B，ED=BD，AEB=C+CAEAEB=2C.C=CAE，故CE=AE=AB.CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例例 3 3、如图，如图，AD/BCAD/BC，BEBE、AEAE 分别是分别是ABCABC、BADBAD 的平分线，点的平分线，点 E E 在在 CDCD 上，求证：上，求证：AB=AD+BCAB=AD+BC证明：证明：在 AB上截取 AF=AD，连接EFAE平分BAD，1=2在FAE和DAE中，AF=ADC=BFE在 BFE 和 BCE 中C=BFE1=2AE=AEFAEDAEAFE=D又又AD/BCAD/BCC+D=1803=4，BE=BEBFE BCEBF=BCAD+BC=AB而 BFE+AFE=180例例4 4、如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，ADAD 是是BACBAC的角平分线，的角平分线，P P 是线段是线段 ADAD上任一点除上任一点除 A A、D D 外的任意一点。求证：外的任意一点。求证：ABABACACPBPBPCPC证明证明：在 AB是截取 AEAC在ACP与AEP中，有：ACAE（已知）EAPCAP（已知 AD是BAC角平分线）APAP（公共边）ACPAEP（SAS）PCPE（全等三角形对应边相等）BEPBPE（三角形两边差小于第三边）BEPBPC（等量代换）BEABAEACAEBEPBPCABACPBPC*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07三 与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。1 1 截取构造全等截取构造全等例例 1 1如图如图 1 1，在，在中，中，平分平分值值解法解法 1 1：在上截取使，连结，又，解法解法 2 2：延长到，使，连结 FAD=CAD，AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF，AEC（D图（图BCDBFA，求：，求：的的又AB+BF=AFAB+BF=AFBD=BFABC=2F=2C2 2、“角平分线、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形垂线”构造全等三角形或等腰三角形例例 2 2 如图如图 3 3，在四边形，在四边形中，中，平分平分求证：求证：证明：证明：过点作平分，又点点，的平分线交的平分线交，交，延长线于点，作，交于点AEDBFC（图于点于点，过，过FAED例例 3 3 如图如图 4 4，已知等腰三角形，已知等腰三角形中，中，作作的垂线交的垂线交的延长线于点的延长线于点求证：求证：证明：证明：延长交的延长线于点，是的平分线，是等腰三角形，B（图 4C角平分线的性质角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相等。角的平分线上的点到角的两边距离相等。例例 1 1，如图，OC 是AOB的角平分线，点 P 是 OC上一点，PDOA 于点 D，PEOB于 E，求证：PD=PE。A证明：PDOA，PEOB（已知）*欧阳光明*创编 2021.03.07DCPOEB*欧阳光明*创编 2021.03.07ODP=OEP=900（垂直的定义）又OC 平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分线定义）在 RtDOP和 RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）2 2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。例例 2 2 已知：如图，点 P 在AOB 内部的一条射线 OC 上，并且 PDOA 于点 D，PEOB于 E，PD=PE。求证：射线 OC是AOB的平分线。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）在 RtDOP和 RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的对应角相等）即射线 OC平分AOB【典型例题】【典型例题】例 3：如图，已知 OE 平分AOB，BCOA，ADOB。求证：EA=EBO例 4：如图，已知 CDAB于 D，BEAC于 E，CD，BE相交于点 O，OB=OC。求证：1=2ACOD上，且DPM例 5：如图所示，已知 OD平分AOB，在 OA，OB边上取 OA=OB，点 P在1 2BD，PNAD。求证：PM=PNEDEBACD 的高，那么例 6：如图，AD 是ABC 中BAC的平分线，DE，DF分别是ABD 和AMBEF与 AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。ODA例 7：如图，在四边形ABCD 中，BCBA，AD=DC，BD 平分ABC。求证：A+BPC0C=180。NO第第 1313 章轴对称章轴对称AADEO知识网络结构图知识网络结构图F(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重CBDC1、轴对称及轴对称图形合，B轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或(2)性质(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等轴）对称。如下左图，ABC是轴对称图形。对称轴垂直平分连接对应点的线段轴对称图形lA轴对称AA(3)垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，lA叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的BC作轴对称图形BC C距离相等B轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换*欧阳光明*创编 2021.03.07P(x，y)关于 x轴的对称点的坐标为 P(x，y)用坐标表示轴对称P(x，y)关于 y轴的对称点的坐标为 P(x，y)定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形*欧阳光明*创编 2021.03.07规律方法小结：规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。等腰三角形和等边三角形等腰三角形和等边三角形1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形的性质：等边对等角三线合一等边对等角三线合一（1）两腰相等（2）两底角相等（3）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形4、等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形5、等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于606、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形【典型例题】【典型例题】例 1：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A、200 B、1200 C、200或 1200 D、360例 2：如图，在ABC 中，点 D 是 BC 上一点，BAD=800，AB=AD=DC，则C=_A例 2：若等腰三角形的底边长为 8cm，腰长是 5cm，则这800个等腰三角形的周长是（）A、21cm B、18cm C、18cm或 21cm D、13cm或BDC26cm例 3：如图，ABC 中，C=900，ABC=600，BD 平分ABC，若 AD=6，则CD=_C例 4：如图，在ABC 中，AB=AC，AE 是BAC 的外角DDDAC的平分线。试判断AE与 BC的位置关系。例 5：如图，ABD和ACE是等边三角形。求证：BE=CDABAEEo,例 6已知如图所示,在ABC中,BD是 AC边上的中线,DBBC于 B,ABC=120DA求证:AB=2BCB例 7：如图，在ABC 中，C=900，BAC=600，BCA D CAAB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 E，交 BC 于 E，若 EBCCE=3cm，求 BE的长D【例 8】如图，DAC 和EBC 均是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,有如下结论：ACDDCB;CM=CN;CEBAC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07分析：DAC和EBC均是等边三角