9高中数学精品讲座：突出图形探究强化代数推理——2022年高考“平面解析几何”专题解题分析

9月28日（周三）14：00突出图形探究 强化代数推理佛山市教育局教研室彭海燕2022年高考“平面解析几何”专题解题分析目录01试题特点分析02优秀试题剖析03复习备考建议04典型模拟题试题特点分析PART.01试 题 特 点 分 析题号必备知识新高考全国卷21双曲线新高考全国卷21双曲线全国甲卷理 20/文 21抛物线全国乙卷理 20/文 21 椭圆这4道题的第(1)问都考查了圆锥曲线的标准方程，体现了基础性基础性新高考全国卷和全国甲卷的第(2)问都与三角函数的恒等变换(两角差的正切公式、二倍角的正切公式)结合，体现了综合性综合性新高考卷第(2)问给出3个条件，要求学生选取2个作为已知条件，证明另外一个成立，属于创新结构不良问题的设计，有效增强试题的开放性，考查学生创新思维能力，体现了创新性创新性解答题试 题 特 点 分 析题号必备知识新高考全国卷11抛物线14圆16椭圆新高考全国卷10抛物线16椭圆全国甲卷理 10 椭圆理 14 双曲线文 11 椭圆文 14圆文 15 双曲线全国乙卷理 5/文 6抛物线理 11双曲线理 14/文 15 圆选择、填空题既有对直线与圆的方程的要求，也有对曲线中几何图形特征的挖掘，特别是新高考两套卷中多选题的解析几何，四个选项的设计既涵盖了几何图形的探究，又强化了代数运算的基础性要求优秀试题剖析PART.02优 秀 试 题 剖 析(全国新高考卷21)设已知点(2,1)在双曲线:22221=1(1)上，直线交于,两点，直线,的斜率之和为0(1)求的斜率；(2)若tan=2 2，求的面积例 1【目标解析】此题以双曲线中定向问题和三角形面积研究作为切入点，以探索创新情境作为载体，聚焦解析几何、解三角形和图形探究的综合性，考查学生的逻辑推理、数学运算等关键能力，以及数形结合、转化与化归思想.“直线,的斜率之和为0”从从数量关系角度数量关系角度来看来看：直线,的倾斜角互补；从从图形角度图形角度来看来看：直线,与x轴(或y轴)围成的三角形是顶角为A的等腰三角形【解法分析】优 秀 试 题 剖 析思路一：思路一：设直线l的斜率为k，将条件“直线,的斜率之和为0”转化为关于k的方程，进而解出k的值；设:=+22，(1,1),(2,2)，联立=+,22 2=1,可得(1 22)2 4 22 2=0，1+2=4221,12=22+2221由+=0可得1112+2122=0，即(1 2)(2 1)+(2 2)(1 1)=0，即212+(1 2)(1+2)4(1)=0，所以2 22+2221+(1 2)4221 4(1)=0，化简得(+1)(2 1+)=0，所以=1或=1 2(舍去)【注意】增解“=1 2”的产生有必然性因为当P或Q与A重合时，右边的方程显然成立，但这并不符合题意根据这一规律，我们可以推断之后关于k,m的方程的因式分解中，必定含有因式(2 1+)优 秀 试 题 剖 析思路二：思路二：设直线AP的斜率为k，条件“直线,的斜率之和为0”即直线AQ的斜率为k用k表示,两点的坐标，进而计算出kPQ的值；设(1,1),(2,2)，直线AP的斜率为(0,22)，则直线AQ的斜率为，直线AP的方程为 1=(2)联立 1=(2),22 2=1,得(1 22)2+(82 4)4(22 2+1)=0，故2 1=4(222+1)122 1=42+42122.进而1=(2)+1=224+1122，即42+42122,224+1122将换成，得4242122,22+4+1122因此，直线l的斜率为2121=22+4+1122224+1122424212242+42122=88=1优 秀 试 题 剖 析第(2)问首先要对条件“tan=2 2”进行转化如图1，设直线,分别与x轴交于0,0，则直线,的倾斜角分别为0,0，且0+0=，故=00=0 0=20利用诱导公式以及二倍角的正切公式，可解出tan0，即直线AP的斜率再结合第(1)问，可求出,两点的坐标，乃至直线l的方程要计算的面积，只需再求|的长(底边)和点A到直线l的距离(高)不妨设直线,的倾斜角为,(0)上的一点，不过点P的直线l交抛物线C于A,B两点，直线PA,PB的倾斜角分别为,，斜率分别为1,2，(1)若1+2=(0)，则直线l过定点 020,0+2;(2)若1+2=0，则直线l的斜率为定值0;(3)若1 2=(0)，则直线l过定点 02,0;(4)若+=2,，则直线l过定点 0 2 20,0+2，其中=定理 2已知(0,0)是椭圆:22+22=1上的一点，不过点P的直线l交椭圆于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为1,2，(1)若1+2=(0)，则直线l过定点 020,02022；(2)若1+2=0，则直线l的斜率为定值0022；(3)若1 2=(22)，则直线l过定点 02+222,02+222；(4)若1 2=22，则直线l的斜率为定值00对于双曲线的情形，只需将上面的2都换成2优 秀 试 题 剖 析(全国新高考卷21)设双曲线:2222=1(0,0)的右焦点为(2,0)，渐近线方程为=3(1)求C的方程；(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点，点(1,1),(2,2)在C上，且1 2 0,1 0过P且斜率为 3的直线与过Q且斜率为 3的直线交于点M，从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立：M在AB上；PQAB；|=|例 2【目标解析】本题以双曲线为切入点，以探索创新情境为载体，聚焦结构不良问题实现创新性的考查要求，重点考查双曲线的“垂径定理”，围绕着图形特征的探索，考查数学探究和空间想象素养以及逻辑推理、数学运算关键能力，其中特别是逻辑推理能力要求较高.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】题干中最为关键的条件是“过P且斜率为 3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M”应注意到双曲线C的渐近线斜率就是 3，结合限制条件“点(1,1),(2,2)在C上，且1 2 0,1 0”，可理解为“过双曲线C右支内的一个点M，作两条渐近线的平行线，分别交双曲线C于P，Q两点”这就是图形探究的价值所在，同时要不断强化“文字语言、符号语言、图形语言”三种语言转化能力优 秀 试 题 剖 析设(0,0)，由于双曲线:2222=1的两条渐近线的方程为2222=0，故两条相交直线 的方程为(0)22(0)22=0.此方程与双曲线C的方程有相同的二次项系数，相减即可得到直线PQ的方程为202202=022022 1，故=2020，即=22我们可以用“点差法”证明垂径定理在双曲线:2222=(，包括退化的情形，即两条渐近线的情形)中的推广：设M是曲线:2222=的弦AB的中点，则=22因此，如果选择作为条件，马上有=，通过数量关系很容易得到PQAB由于两条直线的交点是唯一的，故和均可以用同一法证明优 秀 试 题 剖 析事实上，利用在“垂径定理”在双曲线中的推广，可以进一步得到如下结论：设直线l与双曲线C交于P，Q两点，与双曲线C的渐近线交于S，T两点，则|=|，|=|证明如下：设PQ的中点为M，ST的中点为，则=22.又=，故=，从而,共线又,都在直线l上，故,是同一点，故|=|，|=|，进而有|=|，|=|据此可以给出的另一个证明：如图2，依题意得四边形AMQS，BMPT都是平行四边形，故|=|=|=|优 秀 试 题 剖 析(全国甲卷理科20)已知设抛物线:2=2(0)的焦点为F，点(,0)，过F的直线交C于M,N两点当直线MD垂直于x轴时，|=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,当 取得最大值时，求直线AB的方程例 3【目标解析】本题以抛物线为切入点，考查图形探究下的几何问题解析化以及三角恒等变换、基本不等式等知识的综合运用，强调综合性！聚焦直观想象、逻辑推理与数学运算关键能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要使 取得最大值，即使tan()=tan tan1+tantan取得最大值，其中tan,tan就是直线MN,AB的斜率应设法将“M,F,N三点共线(F为定点)”、“M,D,A三点共线(D为定点)”、“N,D,B三点共线(D为定点)”这些条件从图形和图形关系的角度转化为tan,tan之间的数量关系，实现“减元”，将tan()=tan tan1+tantan转化为单变量函数求最大值点（类似的思想可以解决2022年新高考卷18题），得到AB的斜率tan，进而可求出直线AB的方程(2)由(1)知(2,0),设124,1,224,2,324,3,424,4，直线:=+1，直线:=+2由=+1,2=4,可得2 4 4=0，故12=4由=+2,2=4,可得2 4 8=0，故13=8，进而3=22同理可得4=21由斜率公式可得=12124224=41+2，=34324424=43+4=42(1+2)=2又因为直线MN,AB的倾斜角分别为,，所以=tan=2=tan2优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要使 取得最大值，即使tan()=tan tan1+tantan取得最大值，其中tan,tan就是直线MN,AB的斜率应设法将“M,F,N三点共线(F为定点)”、“M,D,A三点共线(D为定点)”、“N,D,B三点共线(D为定点)”这些条件从图形和图形关系的角度转化为tan,tan之间的数量关系，实现“减元”，将tan()=tan tan1+tantan转化为单变量函数求最大值点（类似的思想可以解决2022年新高考卷18题），得到AB的斜率tan，进而可求出直线AB的方程要使 最大，则 (0,2)设=2=2 0，则tan()=tantan1+tantan=1+22=11+21212=24，当且仅当1=2即=22时，等号成立，所以当 最大时，=22设直线:=2+，代入抛物线方程可得2 4 2 4=0，0,34=4=412=16，所以=4，所以直线:=2+4优 秀 试 题 剖 析抛物线的“几何平均性质”抛物线:2=2的弦PQ所在直线的横截距0是P,Q两点的横坐标1,2的等比中项根据抛物线的“几何平均性质”，有=2=1,=2=4,=2=4,故=16.故直线AB过定点(4,0)一方面，设 =，则点在点关于抛物线的极线=2上另一方面，由于直线AB过定点(4,0)，且 =，故问题转化为“米勒问题”即求=最大时，点的位置问题设(2,0)，则当EFG的外接圆与直线=2相切时，最大此时根据切割线定理，2=3 6=18 =3 2，(2,3 2)，故=22，直线:=2+4优 秀 试 题 剖 析(全国乙卷理科20)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过(0,2),32,1 两点(1)求E的方程；(2)设过点(1,2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=证明：直线HN过定点例 4【目标解析】本题以椭圆为切入点，以探索创新情境作为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及平面向量背景下的三点共线，直线方程的形式，聚焦分类讨论思想和数形结合思想，重点考查数学探究素养和数学运算关键能力.优 秀 试 题 剖 析【解法分析】要证明直线HN过定点，可以通过HN的两个特殊位置，得出定点的坐标，再证明该点与H，N三点共线下面给出试探定点坐标的过程：当直线MN的斜率不存在时，HN的方程为=2 2 63 2；当直线MN过原点时，HN的方程为=2+4 33 2由=2 2 63 2,=2+4 33 2,解得定点坐标为(0,2)，即点A优 秀 试 题 剖 析由(0,2)，(32,1)可得直线:=23 2若过(1,2)的直线的斜率不存在，则 1,2 63，1,2 63，代入AB的方程=23 2，可得 3 6,2 63，由=得到 5 2 6,2 63，故HN的方程为=2 2 63 2，过点(0,2)；若过(1,2)的直线的斜率存在，设(1,1)，(2,2)，(+2)=0，与23+24=1联立，消去y，整理得(32+4)2 6(2+)+3(+4)=0，故有1+2=6(2+)32+