专升本高等数学各章节习题详解

浙江专升本高等数学习题详解1.求下列函数的定义域:(3)y =Jsi nx +J16-X?；习题1 7函数(2)y =-7 +J x +2 ；1 X(4)y =l g(2-x)+13 +2 x-x2 3.2 x 0,(4)要使式子有意义，x必须满足1,3 +2x4 0-1,2)2.判断下列各组函数是否相同？2 (1)y,=7%=x+2；(2)X=l g f,y2=2 g x,x-2(3)y =si n(2 x+l),u=si n(2 r+l);(4)/(x)=1,=se c2x t a n2x .解：(1)因为的定义域是(-8,2)U(2,+O O),但是为的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。(2)因为V 的定义域是(YO,0)U(0,+8)，但是丫2 的定义域是(，+)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。(3)两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。j r(4)因为/(x)的定义域是R ,但是g(x)的定义域是 0 ,x -2 ,-2,-l)U(-l,DU(l,+)要使式子有意义，x必须满足 si nx,N O,即 fI k/c x 0,-4 X4,x 2,即1 因此函数的定义域是-l x 3,解：/(1)=0,/(X-1)=(X-D2-3(X-D +2=X2-5X+64 .若 f(x +l)=x 2 -3 x +2,求/(x),/(x-1).解：令+1 =九 则=/1,从而/)=1)2 3(r 1)+2 =5 r+6,所以/(x)=x2-5 x+6,/(X-1)=(X-1)2-5(X-1)+6=x2-7 x +n.5 .设/(x)=F，求 0)，r)，/()1 I 4l-J-1 Y 1 1 y _ 1解：/(o)=i,/(-%)=-,A)=T=。l-x X 1.1 x +11 H-Xx1,-2 W x 0,6 .设/(x)=|八 c，求 f(1)J(O)J(l)J(x-l).x+l,0 x 2解：/(-1)=_1-1=_2,/(0)=0 +1=1,/=1+1=2/(x-1)=(%-l)-l,-2 x-l 0(x-1)+1,04x1W 2x 2,-1 x 1x,1 x 37 .作出下列函数的图形:y 二X2-4x+2(2)y=i-k l；力=尸u,0 4 x 4 2;x 2.8 .某运输公司规定货物的吨公里运价为：在公里以内，每公里元，超过部分公里为3k 元.求运价m 和里程s 之间的函数关系.4解：由题意可得加=!ks,O s aks,0 s a14 49 .火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过5 0 千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15 元计算基本运费，当超过5 0 千克时，超重部分按每千克0.2 5 元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解:由题意可得y =0.15 x,0 x 5 00.15 x,0 x 5 0习题1-21.指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数?(1)/(x)=JC3COSJC；(2)y-；(3)j =sinx+cosx.(4)f (x)=sinx+e-ex解：(1)f(x)=J?COSX 的定义域是(一 8,+8),f(-x)=(-x)3cos(-x)=-X3COSX=-/(x),是奇函数。(2)y=的定义域是(-8,+8),e-+e x)-x：-=-是偶函数。2 2(3)y=sinx+cosx的定义域是(oo,+8),y(-x)y(x),且 M-x)w-y(x),二y 既不是奇函数也不是偶函数。(4)/()=5访+6*-6 7 的定义域是(-00,+00),f (-x)=sin(-x)+ex=-sinx+e-*-ex=-f (x),/.f x)是奇函数。2.设下列函数的定义域均为，(-。,幻证明：(1)两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；(2)两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数；(3)任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.证明：设/(X)、g(x)是奇函数，令尸(x)=f(x)+g(x),J x)、g(x)是奇函数，H|/(-x)=-/(x),g(-x)=-g(x),尸(-x)=/(-x)+g(-x)=-f(x)+-g(x)=-/(x)+g(x)=-F(x),因此两个奇函数的和仍为奇函数。设 f(x)、g(x)是偶函数，令尸(x)=f(x)+g(x),/(X)、g(x)是偶函数,即/(-x)=/(x),g(-x)=g(x),.F(-x)=/(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),因此两个偶函数的和仍为偶函数。(2)设 x)、g(x)是奇函数,令尸(x)=f(x)g(x),/(x)、g(x)是奇函数,BP/(-%)=-/(x),g(-x)=-g(x),/(-x)=f (-x)g(-x)=-/(x)-g(x)=/(x)g(x)=尸(x)，因此两个奇函数的积为偶函数。设“X)是奇函数，g(x)是偶函数,令尸(x)=f(x)+g(x),/(X)是奇函数，g(x)是偶函数,即/(-x)=-/(x),g(T)=gCr),;.F(-x)=f(-x)(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),因此一奇一偶的乘积为奇函数。(3)设/(x)是任一函数，令8(彳)=；(犬)+，(-初，(x)=g(x)-/(-x),.,g(-x)=g/(-x)+f-(-x)=；(-x)+f(x)=g(x)，即 g(x)是偶函数h(-x)=i/(-x)/-(-x)=；f(-x)-/(%)=-1/(x)-/(-x)=-h(x)，即 (x)是奇函数，又：/(X)=g(x)+h(x)，任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。X3.证明函数y=在(1,+8)内是单调增加的函数.1-x证明：在(1,+8)内任取两点任取两点修,了2,且 玉 巧，则1一%_%一工21 一 /(1 X,)(1 X2)因为为,必是(1，+8)内任意两点，所以1一%0,1 电 0,又因为占一期 0,故/U1)-/(x2)0,B P /(X 1)f(x2)x所以/(x)=上在(7,+8)内是单调增加的.1-X4.设函数/(x)是周期T的周期函数，试求函数/(2 x +3)的周期.解：因为/(x)是周期T的周期函数，所以/(2 x +3+T)=/(2 x +3),即/(2(x+1)+3)=/(2x+3),因此/(2 x+3)的周期g。5.已知函数/(x)的周期为2,并且/W =0,X,-lx 0;0 x 0,存在/=一 (0,1),使得/(%)=+1 W ,所以f(x)=LM+l x在开区间(0,1)内无界。因为1 X 2,所 以!工 1,即工/(x)=解得x =故所求反函数为了=，1+X 1+J 1+X反函数的定义域为(Y O,T)U(T,+8)。(2)由y =2 3旬解得x =g(l o g3y l),故所求反函数为丫=：。0 831-1)，反函数的定义域为(0,+8)。(3)由y =解得2 =上，可得x =l o g,2 一，故所求反函数为y =l o g,-2 +1 y-1 y-1 x-1反函数的定义域为(0 )。(4)由丫=胆持+1 解得y =1 0 -1 02 x 1 0 i ov-i o-x2 x l Q2 t1 02 t-l可得x =fg 言度十互为反函数。I x故所求反函数为y =l g，反函数的定义域为(一OO,0)U(2,+8)。2 x-22.证明：/()=2 丁-1 和 g(x)=,w 互为反函数.证明：设 y =21-l,由此式可得x =J苧，故 y =21-l的反函数是y因此 f(x)=2xI 2 3-1 f l l (x)=33.已知符号函数-1,x 0s gn x -0,x =0,求 y =(l +d)s gnx 的反函数.-1,尤 0解：由题意可得y =(l +x 2)s gnx =0,x =0,-(1 +x),x 04,yi由此式可解得x =0,y =l,y),y 1故 y =(l +/)s g n x 的反函数为y =0,x =l。_ J _(l +x),x 14 .指出下列复合函数的复合过程？(1)y =Tn x；(2)y =l g(d+i)；(3)y =J co s(f-l).解：(1)丁 =2 皿 由 y =2 ,=s i nx 复合而成。(2)y =l g(x2+l)由 y =l g,=/+1 复合而成。(3)y =J co s(x 2 -1)由 y =co s%u =Y-1 复合而成。5 .设/(%)=*(x x l),求/(/(x)。x -IX解：/（仆）=X(x w l)o%)-1 上 _ 1x -16.设函数尤+2,/(x)=-X,x 2,x 1求/（2 x+l）的表达式.(2 x +1)+2,解：/(2 x+l)=J -(2 x +l),(2 x +1)2,2%+1-12 x +3,|2 x +l|1 =l2 1x 11 K x 07.设/(幻=1,|x|11,1g 1 1,解：/(g(x)=0，|g(x)j=l=0,-i,1g(x)ii-i,2x1-1,x 02,x 02X-1，解得-4 0_ ，解得一 1X 2 x 1 0 0,解得 一 吐。1 0.2 4,因此需1 1 年才能使本利和超过初始本金的一倍。In 1.0 72 .某种商品的供给函数和需求函数分别为Q d=2 5 P-1 0,Qs=2 0 0 -5 P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解：令 Qd =Q 即2 5 P-1 0 =2 0 0 -52，解得兄=7,因此该商品的市场均衡价格为7,2)=7x 2 5 1 0 =1 6 5,因此该商品的市场均衡数量为1 65.3.某批发商每次以1 60 元/台的价格将5 0 0 台电扇批发给零售商，在这个基础上零售商每次多进1 0 0 台电扇，则批发价相应降低2元，批发商最大批发量为每次1 0 0 0 台，试将电扇批发价格表示为批发量的函数，并求零售商每次进80 0 台电扇时的批发价格.解：设批发量为X,电扇批发价格为P,由题意可知 P =1 6 0 2 x=1 7 0-(5 0 0 X 1 0 0 0 ),1 0 0 5 0当 x=8 0 0 时，0 =1 5 4。4 .某工厂生产某产品，每日最多生产2 0 0 单位.它的日固定成本为1 5 0 元，生产一个单位产品的可变成本为1 6 元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.解：设该工厂的日产量为X,则日总成本函数为C(x)=1 5 0 +1 6 x(0 x 2 0 0)-1 5 0日平均成本函数为C(x)=*+1 6 (0 x 2 0 0)ox5 .某工厂生产某产品年产量为x台，每台售价5 0 0元，当年产量超过8 0 0台时，超过部分只能按9折出售.这样可多售出2 0 0台，如果再多生产，本年就销售不出去了.求出本年的收益(入)函数.解：由题意可知收益(入)函数为5 0 0 x 0 x 8 0 0R(x)=5 0 0 x8 0 0 +(x-8 0 0)x5 0 0 x0.9 8 0 0 x 1 0 0 05 0 0 x 0 x 8 0 0=4 0 0 0 0+4 5 0%8 0 0 1 0 0 06.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为1 5元，每天的固定成本为2 0 0 0元，如这种产品出厂价为2 0元，求(1)利润函数；(2)若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.解：(1)设该厂每天生产无单位产品，由题意可知利润函数为(x)=2 0%(2 0 0 0+1 5%)=5 x-2 0 0 0 (x 0 ),(2)要使不亏本，必须L(x)2 0,即X N 4 0 0,因此该厂每天要至少生产4 0 0单位这种产品才能不亏本。7 .某企业生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而定，还要请各销售单位来出价，即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x=-9 0 0 2 +4 5 0 0 0.该企业生产该产品的固定成本是2 7 0 0 0 0元，