2022考研数学重点试题及解析

考研数学真题解析选择题1.若l im l -(l-t z)ex =i则 a=X OA O Bl C 2 D 32.设 J,是一阶线性非齐次微分方程 V+M x)y =q(x)的两个特解，若常数 九出使H +叩 是该方程的解，一叩 是该方程对应的齐次方程的解，则I 2 1 21 1 1 1A 九B 九=_2，以=-02 1 2 2C -=D =3，N =33 .设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且 g(x)0.若g(x0)=。是 g(x)的极值，则 f(g(x)在 x 取极大值的一个充分条件是0A/(a)0 Cf(a)04 设/(x)=I n i o x,g(x)=x,/i(x)=e io 则当 x 充分大时有A g(x)h(x)f(x)Bh(x)g(x)f(x)C f(x)g(x)h(x)D g(x)f(x)sC若向量组口线性无关，则尸 s6.设 A为 4 阶实对称矩阵，且2+/=0,若 A的秩为3,则 A相似于 1 A11 0/P 1-1-10 7(1 A1r _ i A)_ i、%0,x 07.设随机变量X的分布函数F(x)=lA O C D 8.设 (X)为 标 准 正 态 分 布 概 率 密 度，4(x)为 T,3 上 均 匀 分 布 的 概 率 密 度，若/(x)a f(x),x0/0I 2 一A 2 a+3 b=4 B3 a+2 b=4 C a+b=l D a+b=2填空题9 .设可导函数y=y(x),由方程 一 刖=J”xs in/2 力 确定，则o o1 0.设位于曲线V1o x。)的简单随机样本。记统计量T =：X X 2,/=!则E T =三,解答题1 5.求极限-l)in xX+0 1 6.计 算 二 重 积 分 x+y Ydxdy ,其 中 D 由 曲 线 x=Jl+%与 直 线Dx+y fl y=0 及x-Cy=0 围 成。1 7.求函数u=xy+2 y z 在约束条件短+产+z 2 =1 0 下的最大值和最小值。1 8.(1)比较”n 枷。+。成与J3 1 1 n q 力(=1,2,)的大小，说明理由。0 0(2)记 =/叫 扁 1 +/)M =1,2,.),求极限1而”.11 0W00 n19.设 f(x)在 0,3 上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2/(0)=fV(x)=/(2)+/(3)0(1)证明：存在r|e (0,2),使/(!)=0);(2)证明:存在&e(0,3),使/6)=020设Z=o1.(1)求 Q1X-11a.1 0,b“、=1已知线性方程组及 =b存在2个不同的解。1/(2)求方程组/x =6 的通 解。(021.设/=-144a0/，正交矩阵Q 使得QTN。为对角矩阵，若Q 的第一列为_13a.(1 2 1)7 ,9求 a、Q.22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(X J)=Ae-2x2+2xy-y2,-oo X +00,-00 y 0,j I n x h u X 2 xXT8 XT8 匕X 11In x I n x,.l n(e r-1).e 1-l n x .1-l n x ,故 l i m _ _ _ _ _ _ _ h m ._ _ _ _ _=hm_ _ _ _ _ _=_ 1rX +o O I n x X 丫 +c O T n T x X r +o OI n x1 J_l i m(x；_ l)=eXf+3016.W：原 式=J f(X 3+3 xy 2 +3 x2 y +y i)dxdy -J J(%3+3 xy 2 )dxdyD D=2J1 dy y2(xi +3中2a=；5(1 +2产-3y4)dy+3小(y2 一产)dy0 5 2 o o14=T 517.解设尸(x,y,z,九)=盯+2 y z+X(X 2+y 2+z2-1 0).t=2 M=0尸=x +2z+2就=0 c ，最可能的最值点户=2 2屹=0Z产=X 2 +J 2 +Z 2 -10=0I X4(1,F,C Q 3 2),D(_l,_p,_2),EQF，O,F),尸(_ 20,0,R).因为在4。两处=5/;在8,。两点处红=-5Q；在瓦尸两点处瓦=0。所以=5/=-5/ma x min18.解:当0 t 1,-.-ln(l+Z)|ln/p n(l+/)九1叫因此,“nln(l0由(1)知o pn+?)力 力.o=1|ln”ln(l+t)ndt 00 n19.证 )设尸(x)=J f W t x2),则f(x)dx=F(2)_ F(0).00根据拉格朗日中值定理，存在rie(0,2),使E(2)尸(0)=2*(#=2/(4),即1/(x)dx=2/(r|油题设知2/(xW x=2/(0),故/(n)=/(0).0,/(2)+/(3)2o介于/（X）在 2,3上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理,存在C 2,3,使ZXG/(2)+/(3)由题设知/(2)+/(3)=/(0)，财)=/(0)22由于/（o）=/（n）=/（G，且0n4 3,根据罗尔定理，存在q-o,n）,e（T|，G，使/（1。，/（”从 而 存 在&晨 勺 三 片 日 以 使 得 二。20.解：设为 小=6的2个不同的解，则-ri,是Zx=0的一个非零解，故网=（X-1）2（X+1）=0,于是九=1 或九=-C当入=1时，因为所以小=外舍去。当入=-1时,对Zx=6的增广矩阵施以初等行变换(4 b)=_1011_2110-1a、117Yx=b有解,；.a =-2(2)当人=l,a=2时,B=100010_1003、2120100010_1003、71Fa+2=87，所以Nx=b的通解为x=；/3 _10 7+k 0，其中 左 为任意常数。1 7721解：由题设，（1,2 J）T为N 的一个特征向量，于是r n 0A 2=-11 4_1 4 y n3 ci 2=X,2 L 解得。=1,入=2.。卜1 W由于/的特征多项式-目=（九-2）（入 _ 5）a+4）,所以/的特征值为2,5,一4属于特征值5的一个单位特征向量为属于特征值-4的一个单位特征向量为，（_1,0,1/事1不lf/1在2/1而O-令1 ）一丁 仔0，则有。?4。=1、5，故。为所求矩阵。_422.因/（幻=/（羽田力=/J+2 2 x2+2 号 _ 尸2 勿=Ae-y-xy_X2dyXG-O0 QO=Ae-x J+ce-（-x）2 dy AJjie-x2,_oo x +oo,-ao所以1 =J+oc/x）dx=A J+xe-x2dx=/兀,从而/Xv 8 00当s（i）时，4M=播X1_e-2x2+2xy_y2711_ C_x2+2xy-y21=_ _ e-（x_）2 ,oo y 。时，/(x)=3 s i n x-s i n 3 x与。X是等价无穷小，则()(A)k =l,c =4.(B)k =I,c =-4.(C)(D)k=3,c=-4.已知函数/(x)在X=O处可导，且/(0)=0,则l i mx_0X3=()k =3,c=4.X2 f(x)-2/(T3)-2/(0).(A)(B)-r(o).(0r(o).0设 是数列，则下列命题正确的是(n)则X”收(A)若收敛，则+)收敛.n 2nl 2n(B)若(+)收敛,Zn Ln=1敛.(0若收敛，则(一)收敛.n 2M_1 2n(D)w=l若)收敛,Zn-l Lnn=l(4)设/=J：In s i n x r fx ,J -Jo(：l n co tx 公，K =J：l n co s x 公，则/,J,K 的大0 0小 关 系 是()(A)I J K.(C)J I K.(5)设幺为3阶矩阵,(B)I K J.(D)K J I.将/的 第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记/=1100)01/1000 A10/(A)里.(B)P.1 PI 2(D)PP-.2 1则收=1010P =2001,则4 =(空)(6)设工为4 x 3矩阵，是 非 齐 次 线 性 方 程 组=B的3个线性无关的解,k ,k为任意常数，则Nx =0的通解为()1 2(A)Ik L.+S(r|,-q).(B)+一 1).(0 r I L +(r|2+(r|3-X).(D)+(_).设 勺(x),0)的泊松分布，X,X，X(2 2)为来自总体X1 2 n的简单随机样本，则对应的统计量 E 6,D(T)D(T).(B)E(T)E(T),D(T)D(T).12 12 12 12(c)E(T)E(T),D(T)D(T).(D)E(T)E(T)f D(T)在点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.（12）曲线（=J x 2-1,直线x=2 及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ .（13）设二次型/（衣,83）=/的秩为1,的各行元素之和为3,则/在正交变换x=。下 的 标 准 形 为.（14）设 二 维 随 机 变 量（X,Y）服 从 正 态 分 布NQ,N；O2,O2；0）,则E（X Y 2）=.三、解答题（15 2 3 小题，共 94分.请将解答写在答型纳指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）+2 s i nx _ x _ l求极限吧;E)(1 6)(本题满分1 0 分)已 知 函 数/(*)具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数，/(1,1)=2 是/(#)的 极 值，z =/x +V(xj),求募(1 7)(本题满分1 0 分)ar cs i n J x +lnx(1 8)(本题满分1 0 分)证明4 ar ctan x -x +连#=0 恰有2实根.(1 9)(本题满分1 0 分)设函数/(x)在 0,1 有连续导数，/(0)=1 ,且 J I/(x +y)dxdy=jJ f (t)dxdy ,D=(x,y)|0 y/-x,0 x r)(0 /0CXk-3 cxk-tA-0 CXAJ O CXk-3所以c=4,4=3,故答案选(C).(2)【答案】(B).【解 析】limX2/(x)2/(x3)x 7 0X 3X2/(X)-X2./(O)_ 2/(x3)+2/(0)=limx _ 0=limJ C-0X3X X3=/,(o)-2,f(o)=-/，(o).故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方 法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确.方法2：排除法，举反例.选项(B)取=(-1)n这时(+2-1 2nn=1=1=1)=E o收敛，但=()“发散,故选项(B)错误;选项 取 二()”,，这时收敛，但 (“一)=2 _ L发散,nn 2/J-1 2n/?n=l=1?:=1=1故选项(C)错误；选项(D)取=1，这时(M,)=o收敛，但E =1发散，故选项(D)n 2n-2n nn=l n=l=l=1错误.故正确答案为(A).(4)【答案】(B).【解析】因为0 x4时，0 s i nx c o s x l c o tx,又因In x是单调递增的函数，所以In s i n x In c o s x In c o t x .故正确答案为(B).(5)【答案】(D).【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B,故(1 0 0)A 1 1 0 =60 0 1 7即 A P =B ,A -BP.i i由于交换8的第2行和第3行得单位矩阵，故 2,故r(4)41.由于ZH。，所以r(4)Nl,故r(4)=l.这样，Z x =O的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知工 一/_ 是/X =0的一个基础解系.因为，是 出 口 的 解，所以 如，=P，3=，因此?/=B ,所以1 抖 是Nx =B的一个特解.由非齐次线性方程组解的结构，可知Nx =B的通解为+缸-1)+勺(“3 T|)【解析】选项(D)f /(x)F (x)+/(x)F(x)dx 001所以(E,(x)+f*(x)为概率密度.(8)【答案】(D).【解析】因为x，x，,X P Q)1 2 n ,所以E(X