江苏省淮安市高二上学期数学期中考试试卷解析版

高二上学期高二上学期数数学期中考学期中考试试试试卷卷 一、一、单选题单选题 1．已知直线 过点，两点，则直线 的斜率为（） A．B．C．D． 2．抛物线的准线方程为（） A．B． 3．已知圆的一条直径的端点分别是 C．D． ，，则该圆的方程为（） A．B． C．D． 4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则 的值为（） A．1B．3C．9D．81 5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，则其顶点到渐近线的距离为（） A．B．C．D． 6．过点作与圆相切的直线 l，则直线 l 的方程为（） A．B． C．或D．或 7．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线 方程是（） A．B． C．D． 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣 的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎 样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从ft脚下的点 处出发，河岸线所在直线的方程为 A．B．5 二、多二、多选题选题 9．下列说法错误的是（） ，则“将军饮马”的最短总路程为（） C．D． A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.点关于直线的对称点为 C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 D.经过点且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 10．已知双曲线 C 的方程为，则下列说法正确的是（） A．双曲线 C 的渐近线方程为 B．双曲线 C 的实轴长为 8 C．双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D．双曲线 C 上的点到焦点的距离的最小值为 11.已知点 P 是直线上的动点，定点 A．线段 PQ 的长度的最小值为 ，则下列说法正确的是（） B．当 PQ 最短时，直线 PQ 的方程是 C．当 PQ 最短时 P 的坐标为 D．线段 PQ 的长度可能是 12.已知的两个顶点 的坐标分别是 且斜率之差等于 ，则正确的是（ A．当时，点的轨迹是双曲线. ，且所在直线的斜率之积等于 ） B.当时，点在圆上运动. C.当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D.无论 n 如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 三、填空三、填空题题  13．两条平行直线和之间的距离是 . 14．已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程 为 . 15．若圆： 为. 与圆：（）相交，则正数 的取值范围 16．在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆 的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则 的值是 ． 四、解答四、解答题题 17．已知两条直线，；求为何值时， 与 （1）平行； （2）垂直. 18.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②过点；③与直线 问题：已知直线 过点，且. 1求直线 的一般式方程； 2若直线 与圆相交于点，，求弦的长. 19.在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为， 三个点的圆记为． 1求边的中线所在直线的一般式方程； 2求圆的一般方程． 平行. ，，经过这 20．已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在 轴上且长轴长为 10．过双曲线 的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点． （2）若双曲线 （1）求椭圆的标准方程； 与椭圆有公共的焦点，且以 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线 的标准方程． 21．直线与双曲线相较于，两点. （1）若，求线段长； （2）当 为何值时，以 22．已知抛物线 为直径的圆经过坐标原点？ 与直线相交于两点，线段中点的横坐标为 5，且 抛物线的焦点到直线 的距离为. （1）求，的值； （2）已知点为抛物线上一动点，点为 轴上一点，求线段长最小值. 答案解析部答案解析部分分 1． 【答案】A 【解析】【解答】设直线 的斜率为 ，则. 故答案为：A 【分析】由直线斜率的坐标公式，即可求解. 2． 【答案】C 【解析】【解答】抛物线的方程可变为 故 其准线方程为 故答案为：C 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程. 3． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可知，，的中点为， 又圆的半径为， 故圆的方程为． 故答案为：B．  【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 4． 【答案】A 【解析】【解答】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距 c=2， 于是得，解得， 所以 的值为 1. 故答案为：A 【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长 a，短半轴长 b，半焦距 c 的关系列式计算即得. 5． 【答案】B 【解析】【解答】由双曲线的方程得， 双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，，可得， 则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为， 不妨取渐近线，即， 则顶点到渐近线的距离. 故答案为：B. 【分析】根据条件求出，，求出顶点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即 可． 6． 【答案】C 【解析】【解答】圆即为，圆心是， ，直线与圆相切，当直线斜率不存在时，直线方程为，而 当直线斜率存在时，设直线方程为， 圆心到直线的距离为；，解得， 所以直线 l 的方程为， 综上：直线 l 的方程为或， 故答案为：C 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标以及半径的值，再对斜率分情况讨论，由此设出直 线的方程，然后结合点到直线的距离公式代入数值计算出 k 的取值，从而即可得出直线的方程。 7． 【答案】A 【解析】【解答】因为直线 可得且 即点和点 所以过点和点 故答案为：A. 和直线都过点， ， 适合直线， 的直线方程是. 【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所 求的直线方程. 8． 【答案】D 【解析】【解答】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：D 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮 马”的最短总路程. 9． 【答案】A,D 【解析】【解答】A：垂直于 x 轴的直线不存在斜率，错误； B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；  C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是 且在 x 轴和 y 轴上截距都为 0，错误. ，正确； D：由也过 故答案为：AD 【分析】A 注意垂直于 x 轴的直线；B 由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上 判断正误；C 求直线与数轴交点即可求面积；D 注意直线也符合要求即可判断. 10．【答案】A,B,C 【解析】【解答】由双曲线 C 的方程为，得：， ， 对于 A：双曲线 C 的渐近线方程为，A 符合题意； 对于 B：双曲线 C 的实轴长为，B 符合题意； 对于 C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，C 符合题意； 对于 D：双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为，D 不符合题意； 故答案为：ABC. 【分析】由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双 曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，即可求解. 11． 【答案】A,C 【解析】【解答】解：当 PQ 垂直直线时，PQ 最短， Q 到直线的距离为，A 符合题意； 故 PQ 的长度范围为，，D 不符合题意； 设，则，解得， 故 P 为，C 符合题意； 此时直线 PQ 的方程是，即，B 不符合题意， 故答案为：AC． 【分析】当 PQ 垂直直线时，PQ 最短，即可判断 A、D，设出 P 坐标，根据最短使 PQ 与直线 垂直求解 P 坐标，即可判断 C，由两点式求出直线方程，即可判断 B． 12． 【答案】B,D 【解析】【解答】解：设，则， 所以，， 整理得， 所以对于 A 选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，A 选项错误； ，故在圆上运动，B 选项正 对于 B 选项，当时，点的轨迹为圆 确； 对于 C 选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 ，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，C 选项错误； 对于 D 选项，由于，点的运动轨迹 在，故曲线 ，对任意的点与均 关于轴对称，点的运动轨迹为 ，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，D 选项正确. 故答案为：BD 【分析】设，进而根据题意得，，进而依次讨论  各选项即可得答案. 13． 【答案】 【解析】【解答】， ， 所以它们之间的距离为：. 故答案为：. 【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算. 14． 【答案】 【解析】【解答】圆心 C 的坐标为 所以以为直径的圆的方程为 故答案为： ，则的中点坐标为，半径， . 【分析】求出圆心的坐标和半径，即可得出圆的方程. 15．【答案】（4，6） 【解析】【解答】∵两圆和（）相交， 圆：的半径和圆心分别是 1，， 圆：（）的半径和圆心分别是 ， ∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和， 即. ∴， ∴， ∴正数 的取值范围是（4，6）. ， 故答案为： （4，6）. 【分析】由圆心距离小于半径之和，大于半径之差的绝对值可得． 16． 【答案】 【解析】【解答】由题设，，又，则， 在△中，则，即， 又直线与相切，则， 综上，，解得，而，则， 所以，可得. 故答案为：. 【分析】根据双曲线的定义可得，在△中应用余弦定理可得，注意其符 号判断 c 的范围，再根据直线与圆相切可得，构造方程求参数 c，进而求 b. 1 7．【答案】（1）解：因为 解得或， 当时，直线 的方程为 当时，直线 的方程为 综上所述，； （2）解：因为，则 ，可得，即， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，两直线重合，不合题意，舍去. ，两直线平行，合乎题意. ，解得. 【解析】【分析】 （1）根据两直线平行可得出关于实数的等式，求出的值，并代入两直线方程检验即可得 解； （2）根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解出的值. 1 8．【答案】（1）解：方案一选条件①. 因为直线的斜率为，又直线与直线 垂直，  所以直线 的斜率为， 依题意，直线 的方程为，即. 方案二选条件②. 因为直线 过点及， 所以直线 的方程为，即. 方案三选条件③. 因为直线的斜率为，直线 与直线平行， 所以直线 的斜率为 依题意，直线 的方程为，即. （2）解：方案一选条件①. 圆的圆心到直线的距离为. 又圆的半径为 方案二选条件②. ，所以. 圆的圆心到直线的距离为. 又圆的半径为 方案三选条件③. ，所以. 圆的圆心到直线的距离为. 又圆的半径为 【解析】【分析】 （1）求出直线 ，所以. 的斜率，可求得直线 的斜率，利用点斜式可求得直线 的方程即可； （2）选①：求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得弦长； 选②： 因为直线 过点及求出直线方程，再求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得 弦长； 选③：由已知条件求出直线 的方程，求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得弦长. 19． 【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，已知 ，设的中点为 所以，，则 三个顶点坐标分别为，， 所以直线的斜率， 则直线的方程为：，整理成一般式为： （2）解：已知三个顶点坐标分别为，，，经过这三个点的圆记为 ， 设圆的方程为：， 则： 解得：， 所以圆的方程为． 【解析】【分析】 （1）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，， ，设的中点为，再利用中点坐标公式得出中点 D 的坐标，再结合两点求斜率公式 得出直线的斜率，再结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。 （2）利用三角形三个顶点坐标分别为，，，经过这三个点的圆记 为，设圆的方程为：，再利用代入法，从而解方程组求出 D，E，F 的值， 进而求出圆 M 的一般式方程。 20． 【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为， 根据题意得，则． 又，  ∴椭圆的标准方程为． （2）解：设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程，得． ∵以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且， ，即， 整理得，即有． 又． 又双曲线与椭圆有公共的焦点，， ∴双曲线的标准方程为． 【解析】【分析】 （1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的几何性质列出方程即可求 出各个系数，从而得出椭圆的标准方程； ，将代入双曲线方程求得 （2）设双曲线的右焦点，又以为直径的圆恰好过双曲线的左 顶点，且，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线的标准方程． 2 1．【答案】（1）解：由题设，联立双曲线并整理得：， 所以，则，， 所以. （2）解：联立直线与双曲线得：，整理有 由题意，，即 ， ， 所以，，则， 若为直径的圆经过坐标原点，则，即， 所以，满足要求. 【解析】【分析】 （1）联立直线与双曲线可得，应用韦达定理及弦长公式即可求线段长； （2）联立直线与双曲线可得，注意由判别式求 a 的范围，应用韦达定理得 ， 再由为直径的圆经过坐标原点，推出，即可求出参数 a. ， 则 22． 【答案】（1）解：由题设，抛物线焦点为，则， 联立直线与抛物线可得：，则， 综上，，可得或，又， 所以. （2）解：由（1）知：，设， 所以，又， 要使线段长最小，即 ，即时 ，即时，则 最小即可， 当，则时最小值为； 当 若，则，则 ，则，则 时线段长最小值为 时最小值为； 最小值为； 时线段长最小值为 若时 综上，；； 【解析】【分析】 （1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求出； （2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物 线的有界性，讨论、求对应线段长最小值.