安徽省宣城市2022年高二上学期数学期中联考试卷及答案

高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角为（）ABCD不存在2下列向量与向量共线的单位向量为（）ABCD3若方程表示圆，则实数 a 的取值范围为（）ABCD4设直线 l 的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线/平面，则实数z 的值为（）A-5B5C-1D15圆 ：和圆 ：的公切线的条数为（）A1B2C3D46已知空间向量，若，则（）ABCD7已知直线 ：过定点 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 的方程为（）ABCD8我国古代数学名著九章算术商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱在堑堵中，P 为的中点，则（）A6B-6C2D-29直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（）AB2C1D310在如图所示的几何体中，平面 PDC，是等腰直角三角形，四边形 ABCD 为平行四边形，且，则点 C 到平面 PAB 的距离为（）A1BCD11如图，在直三棱柱中，D 为上一点（不在端点处），且，若为锐角三角形，则 m 的取值范围是（）ABCD12已知点是圆上的一点，记点 P 到 x 轴距离为，到原点 O 的距离为，则当取最小值时，（）ABCD二、填空题二、填空题13在空间直角坐标系中，已知，若，则实数 14已知过的直线 l 与直线没有公共点，则直线 l 的方程为 15圆与圆的公共弦长为 .16如图，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，BAD90，且AB4，SA3，E、F 分别为线段 BC、SB 上的一点(端点除外)，满足，则当实数 的值为 时，AFE 为直角三、解答题三、解答题17已知 A（1，1），B（2，2），C（3，0）三点，求点 D，使直线 CDAB，且 CBAD18已知（2，3，1），（1，0，3），（0，1，2）（1）求的值；（2）已知，|，求19已知圆 的圆心在坐标原点 ，直线 的方程为 .（1）若圆 与直线 相切，求圆 的标准方程；（2）若圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1，求圆 的半径的取值范围.20在直三棱柱中，E、F 分别为、的中点（1）求直线 AE 与所成角的大小；（2）判断直线与平面 ABF 是否垂直21已知圆 C 的方程为（1）设 O 为坐标原点，P 为圆 C 上任意一点，求的最大值与最小值；（2）设直线，记直线 l 被圆 C 截得的弦长为 a，直线 l 被圆截得的弦长为 b，试比较 a 与 b 的大小22如图，在四棱锥中，已知底面，异面直线和所成角等于.（1）求直线和平面所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在一点 E，使得平面 PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】直线与 x 轴平行，斜率为 0，所以直线的倾斜角为 0，故答案为：A【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出答案.2【答案】C【解析】【解答】由，与向量共线的单位向量为或.故答案为：C【分析】由与向量共线的单位向量为，求解可得答案.3【答案】B【解析】【解答】方程化为标准方程为，有，.故答案为：B【分析】把圆的方程化为标准方程，即可求出实数 a 的取值范围.4【答案】B【解析】【解答】由直线/平面，知向量与垂直，则有，解得.故答案为：B【分析】根据线面平行，求出法向量与直线的方向向量垂直，即可求出实数 z 的值.5【答案】C【解析】【解答】由题知圆 ：的圆心 ，半径 ，圆 ：的圆心 ，半径 ，所以 ，所以两圆外切，所以两圆共有 3 条公切线.故答案为：C【分析】根据题意求出圆心坐标以及半径，然后由两点间的距离公式求出两圆的圆心距，再与两圆的半径之和进行比较，从而得出两圆的位置关系，由此即可得出公切线的条数。6【答案】A【解析】【解答】由得，解得，则，所以，故答案为：A【分析】由求得，再由，求出答案.7【答案】A【解析】【解答】由题意，直线 ：，过定点 ，则直线 过定点 ，直线 与直线 垂直，则直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，即 .故答案为：A.【分析】由已知条件即可得出直线过的定点，再由直线垂直的斜率之间的关系，结合点斜式即可求出直线的方程。8【答案】A【解析】【解答】根据堑堵的几何性质知：，因为，所以.故答案为：A【分析】由条件得，将 用向量表示，代入数量积的公式进行运算，即可求得答案.9【答案】B【解析】【解答】由题意得直线和单位圆弦长皆为，所以圆心到直线和距离皆为，即，故答案为：B.【分析】由题意可得，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且圆心到直线和距离皆为，即，由此求得 的值.10【答案】B【解析】【解答】如图，以 D 为原点，DC，DP，DA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则，设平面 PAB 的一个法向量为，则由，令，得，故，则点 C 到平面 PAB 的距离为，故答案为：B.【分析】以 D 为原点，DC，DP，DA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面 PAB 的一个法向量，根据空间距离的向量求法，即可求出点 C 到平面 PAB 的距离.11【答案】B【解析】【解答】由图形可知，总为锐角以 C 为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨取，则，则，由可知，则，由，得，解得或又知，所以故答案为：B【分析】由题意，以 C 为原点，CA，CB，所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由，不妨取，求 C，B1，A，B 出点的坐标，又 为锐角三角形，利用向量的夹角为锐角，求出 m 的取值范围.12【答案】D【解析】【解答】化为标准方程：，点是圆上一点，不妨设（t 为参数），则其中当时，可取得最小值 30此时故答案为：D【分析】利用圆的参数方程表示出 并求最值，利用三角函数求出 的值.13【答案】3【解析】【解答】由题意得，所以，即，故答案为：3【分析】根据条件求出 的坐标，由 列出等式，求解可得实数的值.14【答案】3x-y+7=0【解析】【解答】由题意可知：直线 l 与直线平行，直线 l 的斜率为 3，所以直线 l 方程为，即 3x-y+7=0。故答案为：3x-y+7=0。【分析】利用过的直线 l 与直线没有公共点，得出过的直线 l 与直线没有公共点，再利用两直线平行斜率相等，进而得出所求直线的斜率，再利用点斜式求出直线 l 的方程。15【答案】【解析】【解答】两圆方程相减可得公共弦直线方程 为，圆的圆心为，半径为，圆心到 的距离为，公共弦长为.故答案为：.【分析】先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长.16【答案】【解析】【解答】SA面 ABCD，BAD90，故可建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.AB4，SA3，B(0，4，0)，S(0，0，3)设 BCm，则 C(m，4，0)，F.同理，E，要使AFE90，则，又，169，.【分析】建立空间直角坐标系 Axyz，设 BC=m，求出所需点的坐标，利用，则，求出点 F 的坐标，同理求出点 E 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示，由，列式求解出实数 的值.17【答案】解：设，则，【解析】【分析】设，由直线 CDAB，且 CBAD 可得，求解出 x，y，即可求得点 D 的坐标.18【答案】（1）解：（2，3，1），（1，0，3），（0，1，2），（2，3，0），()2（2）+3（3）+（1）013；（2）解：设（x，y，z），|，解得：或，(3，2，1)或（3，2，1）【解析】【分析】(1)根据空间向量运算性质进行计算即可求得 的值；(2)设（x，y，z），根据，|，列方程组，求解可得 的坐标19【答案】（1）设圆的半径为 ，圆心到直线 距离为 ，则 ，依题意 ，所以圆 的方程为 .（2）由（1）知，圆心到直线 距离为 ，又圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1，所以 ，即 ，所以 ，即圆 的半径的取值范围是 .【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离公式，由此计算出圆的半径，从而得出圆的方程。(2)由(1)的结论，结合圆心到直线的距离，由圆的几何意义即可得到，从而得出半径的取值范围。20【答案】（1）解：由题意知，AB、AC、两两垂直，分别以、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，则，故直线 AE 与所成角为（2）解：由（1）可得：，AF、平面 ABF，平面 ABF【解析】【分析】(1)以、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AE 与所成角的大小；(2)利用向量法求出，从而判断出直线与平面 ABF 垂直21【答案】（1）解：将圆 C 化为标准方程，则圆心，圆 C 的半径为，因为，所以的最大值为，最小值为（2）解：因为点 C 到直线 l 的距离为，所以因为点到直线 l 的距离为，所以当时，当时，当时，【解析】【分析】(1)根据圆方程求得|OC|，圆 C 的半径，进而可求得 的最大值与最小值；(2)求出 a，表示出 b，进而比较 a 与 b 的大小22【答案】（1）解：如图，以为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系.易知是等腰直角三角形，.设，则，.则，异面直线和所成角等于，即，解得，.设平面的一个法向量为，则由，得，所以可取，.直线和平面所成角的正弦值为.（2）解：假设存在，设，且，则，设平面 DEB 的一个法向量为，则由，得，取，又有平面 PAB 的法向量，由平面 PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，由，得，解得或（不合题意）.存在这样的 E 点，E 为棱 PA 上靠近的三等分点.【解析】【分析】(1)以为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线和平面所成角的正弦值；(2)求出平面 DEB 的一个法向量和平面 PAB 的法向量，利用向量法能求出在棱 PA 上存在一点 E，使得平面PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为 ，E 为棱 PA 上靠近 A 的三等分点.