高等数学C习题答案-1

班级姓名学号高 等 数 学（少学时）习题解答第一章函数与极限习 题1T1.求下列函数的定义域：(1)y-x2;X解：x *0 且 1 x 1 ；(2)y =-x+a r c t a n ;x解：x 0 J L r 0,得一 6 4 x(1；(4)2xy=a r c c o s-1 +x22x解：由-1 4-0)的定义域.解：由0 x +a 1,知 一0 x-a la-x-i-a从而得a x +a当0 ag时，定义域为当时，定义域为解:()=s i n 6 6g；勿(一7)=s i n(-?)=*；(p(2)=04.判断下列函数的奇偶性：(1)/(x)=s i n x +c o s x ;解：/(-x)=s i n(-x)+c o s(-x)=-s i n x +c o s x ；非奇非偶;班级姓名学号解：/()=L(6-*+/)=/()；偶函数；y=1(ev-e-x);解：/(-x)=g(e-*-eX)=-/(x)；奇函数；(4)y=tan(cosx).解：/(-x)=tan(cos(-x)=tan(cosx)=/(x)；偶函数.7?7 T5.求 y=2sin3x,x -的反函数.6 6arcisn .解：y=2sin3x,sin3x=,x=-；反函数为：y=arcsin2,元2 3 3 26.对于下列每组函数写出/(g(x)的表达式：(1)/(x)=sinx,g(x)=x2-1;解：/(g(x)=sin(x2-1)；1/(%)=0-1x工.V11,gU)11,x0解：/g(x)=,0,|g(x)|=l 从而得fg(x)=I-1,x07.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/k g 计算基本运费,当超过50kg时;超重部分按0.25元/k g 收费.试求上海到该地的行李费y(元)与重量x(kg)之间的函数关系.解：y=50 x 0.15+(x-50)x 0.258.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售,若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9 折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8 折出售，试将该产品一次出售的收入y 表示成一次销量的函数.2班级解：设一次销售量为X 吨,姓名学号1 50 x x 1 00/(%)=1 5000+1 3 5(x-1 00)1 00 500习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:X=I H-；3 解：极限是1；2 +/；解：极限不存在;2+3%=-；3 n-l?解：极限是3%=1 +(-1)炉 土n解：极限不存在；2.判断下列各题是否正确，并说明原因.(1)如果数列%发散，则 x,必是无界数列.解：错，反例：xn=1 +(一 1)”n(2)数列有界是数列收敛的充分必要条件.解：错，必要但不充分条件(3)l i myn-l i mzn=a,且当”N 时有 yn xn mxn-a.T 8 W00Xf 00解：对，夹逼定理,/、s i n x(4)l i m-=1.1 8 X解:错,极 限 是 0(5)l i m(l +%=1.“T 8 解：错，极限是e3班级姓名学号3*.用数列极限的定义证明lim-=71 0 03-1 3证明：I0-2 1=|品-2(3“一.曰 二 _|3n-l 3 3(3n-l)9/1-32 1V 0,存在N=l +-I,当n2N时，有9s 3,2n 2 1 6-2(3-1).2.I-1=1-乙 1=1-1 丽-X T 与+x-xo解：错，lim/(x)=4X T/(2)lim/(x)存在的充分必要条件是lim/(x)和lim/(x)都存在.X T 8X-4+COA-O C解：正确(3)如果在X。的某一去心邻域内,/(x)0,且lim/(x)=A,则A0.X T 邓解：正确x+4 x 1,XT1+1 1解：lim f(x)=5,lim f(x)=1 ,lim f(x)/lim f(x),“T1+X TE X-1+lim/(x)不存在.X f 13.设/(x)=,求 lim f(x).1 1 x-0解:&/=10+1-0A x-ArA r妈/(/)=10+、1一0A x於L左右极限不相等，极限不存在.4*.根据函数的定义证明:(1)lim(3 x-l)=8,x-34班级姓名学号解：0,要使|3x-1 -8|=3卜-3|0,取4=(,当0 卜一3|抑寸，恒有由一1-司3(2)limX-+X=0.解：/0,要 使|哭 卜 五 土 即 可。故取x=当x X 时，恒有3sinx=05*.根据函数极限的定义证明：lim/(x)=A 的充要条件是lim/(x)=lim/(x)=A.X T X：X-AQ证明：必要性：V-0,3 0,当01大 一 与 k(5 B、J.，有I /(冗)一4 l e。特别的，当0%一 冽寸，有l/(x)AI成立，又有0%-工 加寸，一 A 1 AQ.rXQ充分性：lim/(x)=lim f(x)=A,则当0 犬-/却寸，有I/(x)-A lXQ立，又有O Xo-x62时，l/(x)-A I 成立，则取b=min,0,当0l x-x。l 加寸，显然有I/(x)-A l+o o n +o c /：+o o5班级姓名学号(4)无界变量必是无穷大量.解：错(5)无穷大量必是无界变量.解：对2.当0时,指出下列函数哪些是无穷小？哪些是无穷大?解:X-y=7 ；尤+1既不是无穷大也不是无穷小Xy=解:x3+1xl im.i o 1+1=0,无穷小1X解:解:l im(x+)=l im x-i-l im =o o,无穷大x-0 x K TO .V-0 xsin xy=-；xl im =1,既不是无穷大也不是无穷小.rrOX.1解:y=xsin ;x.1sin l im一 =0,无穷小X TO 1X(6)y=cot x.解：l imc o tx=8,无穷大.xO3.求下列极限：l imx2 sin -;x-0X解:l imx2 sin x-0Xxsin =l imX TO 1=l im.rl imA-0 x f 0Xsin 丁=0Xl imX00a rc ta n xx解:24 ,函数y=什么？兀/万 1 八-a rc ta n x 0,在(一8,+8)内 总 可 以 找 到x=2 b r(k e Z),使得 I y 1=1 2 kc o s(2 k 乃)1=1 2k l M ,lkl(keZ).2 4它不是x f+8时的无穷大，取/=2女 乃+(左w Z),A-+0 0时4-8,但此时7 1 7 1I y 1=1 (2%乃 +-)c o s(2 +y)1=05.求函数/(x)=尸”的图形的渐近线.解：x =-/2,x=5/2 .习题1-5L求下列极限:解:limx 1 2l im.r-2x2+5x-3X 2 +5x-34 +52 3.x-4lim；-14 x1-16解：l im .=l im-A-4X2-1 6 *4X+4ZQ .A/2X-1 -y/X l im-;I X-lJ5l im叵三立S i X 1解:.(2 x 1)x 1=l im-.=-J (x-l)(j2 x-l +J x)27班级姓名学号x2 +j 1+3解：lim-=lim -x-x+l X T 001 1,11-1 彳X X2(6)1.尸+xh m-5-I00 x4-3x+12 1+-解：lim-:一 =lim-=0XTX-3x+1 5 2 3 1解:limX T2x3+2x2x3+2x2 x2(x+2)=00(8)lim3 8 3x+1x解：lim-=ooi s +J(9)limf-r.1人1一1 1 -x3/(1 3)14-x+x-3解：hm-=lim-rXT111-X l-X3 J 戈fl(l-X)(l+X +%2)(10)lim(x2+3x-l).解：lim(x2+3x-l)=oo2.求下列极限：小.sin曲(1)lim-;10 x力 sinaiv.sin 如用 不：lim-=lim-,CO=C D10 x.so CO X8班级 姓名g tan 3x(2)lim-;x-0 xrm ：li m-t-a-n-3-x-=li.m-s-i-n-3-x-.-1-3o =3oxrO X KfO 3x cos3xim上空xsinx解：lim匕 2=血 料 包=2z o xsinx x-o x.sinx小.sinx(4)Iimln-;so x解这 :Iimln-s-i-n-x-=ln hm-s-i-n-x-l =.ln1 l=_ OxfO x|_v-0 x(5)lim(l+2x)7;，2解：lim(l+2x)7=lim(l+2x)2x=e2x-0 x-0学号习题1-61.当x-0 时，2 x-与公一 3相比，哪一个是较高阶的无穷小？*2一*3 I-*2(l-x)cio,Qlim-r =lim-=0解：2 x-x2 i。x(2-x).当 X T(时，/_/是较高阶的无穷小。2.当x f 1时，无穷小1 T 和 是 否 是 同 阶 无 穷 小?是 否 是 等 价 无 穷 小?解：。lim-=lim Q+.XD=1，当x-1时(1-f)等价于1 -x,X-1 1 x%-1 2(1 x)2所以L(1-X2)等价于 x.29班级姓名学号X3.证明：当 x-0 时，有 se c x-.2、口”se c x-1 _ 1/c o sx-l .2(1-c o s x)1证明：0 l im -=h m-=hm -X f。尤 2/2 A T。X/2 X 0 x2 c o sx4 sin2 1 2=l im-z-=1 o 所以当x-0 时，se c x-1 -X f。x c o sx 24.利用等价无穷小的性质求下列极限：li m 2；3。ta n 5x sin 3 x.3 x 3相 车：l im-=l im=x-o ta n 5x i o 5x 5小ta n x-sin x(2)l im-.so sin xx(-x2)心 ta n x-sin x-ta n x(l-c o s x)9 1解：h m-；=h m J =hm J=-o sin 3 x sin3 x x 0 x3 2习题1-71.判 断下列各题是否正确，并说明原因.(1)/(x)在其定义域(。,6)内一点x0处连续的充分必要条件是/(%)在 x0既左连续又右连续.解：正确，连续定义。(2)/(x)在 x=x()连续，g(x)在 x=X o 不连续，则/(x)+g(x)在/一 定不连解：正确。(3)/(x)在/处连续，g(x)在 x()处不连续，则/(x).g(x)在 4 一定不连续.解：错误，不一定。“、f x2,0 x 1,2.讨论 x)=的连续性，并画出其图形.2-x,lxl-x-l+又。/=l,/./(x)在x=l 处连续。总之，在。2 上连续。10班级姓名学号3.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续.八、I y=-,x=l,x=2 ;x2-3 x+2解：x-1(x l)(x+l)lim：-=lim-=-2X T I x-3 x +2 t(x-l)(x-2).x=1为可去间断点，补充定义：引旧=-2即可.X2(X+1)二x=2为无穷间断点.)=x-1 X 1解：。l im y=l im(x-1)=0X f 1 -X-1-l im y=l im(3 -x)=2.r-l+x-l+X=1为其跳跃间断点。4.求 函 数/(x)=x十产一i 的连续区间,+x 6解：由 才2+工 一6 =0得：X =2,x2=-3.连续区间为(-0 0,-3)u(-3,2)u(2,并求 l im/(x),l im/(x).x 0 .t 3+o o)l im/(x)=x-o 21././、1-(尤+3)(尤2-1)x2 1l im f(x)=l im-=h m-XT 3 XT 3(x +3)(x -2)XT 3 x-25.求下列极限：(1)l im J%-2R+5;A-0