计算机的运算

1.4计算机的运算t饵机育微收和处理的对象维为数据，刨舌数字、文字、图形、图像 声音、动画等。1愤机实现数据力值、触里的基础席斓的表示。在i饵机内部,各种数据必须采用文翎字化得编码形式进行存储、处理和传输。本节介绍3个方面的知识进位计数制吸转换、二W第 悌 眄 制。1.4.1 进位计数制及其转换所谓数制是指数的计数方法。也就是用T11固定的数码符号和一 的 螂 昧 标 数 值 的 讲 去。计 数 制 分 为 进 位 计 数 哪 啡 进 计 数 制 俩 种。非进位制计数法又称无位权计数法。也就是说，数的符号所表示的数值不随 其 位 置 的 圾 而 嬷。目前，我们能见到的只有罗马计数法一种了。如I、II、III、IV、V、VI、V D、IX、X、X I、X II,使用者寥寥无几。进位计数法又称有位权计数法。即同一个数在不同位上表示的数值不同，这不协法朔广泛。1.进位制计数法的特点大家知道，国际上通用是用部十数法。但它不是唯一的。敏 宾 生 活中人们还经常使用如下JIM二进制：1公斤=2市斤 1双=2只十二进制：1年=12个月 1英尺=12英寸十六进制：(过 去 我 国 使 用 的)1市斤=16两六十进制：1小时=60分 1分=60秒下面我I门分析-下各种 制计数法的辟点。(1)十进制 基 数：使 用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共 1 0 个数码符 进 位 驾 妫 十。劭 侧：加法为逢1 0 进 1;减法为借1 当 1 0。f立权：同TW在不同的位上其值不同。如 1 1 1.1 1 中，百位h 的1 表 示1 0 0,十位h的 1 表示1 0,个位的1 才是真正的1/J 嗷点后面的1 分另诔示1/1 0、1/1 0 0 等。我们把每位h的数字1所表示的+进缶擞网宜叫做该位白诚。位权等于峻的若干次累。于是，在十进制中，小数点前各位的权值分别为：1=1 0 ,1 0=1 0 ,1 0 0 1 02,1 0 0 1 03-,等 第 N 位 上 的 1其 值 为 1 0 o小数点后：0.1=1 0 ,0.0 1=1 0-2,0.0 0 1=1 0-3 第 m 位上的1 其值为10%由此可律叶进制数的展开公式：D=【例 1 .1 】1 4 5.9 7=1 X l X 1 0+5 X 1 0 M x 1 O-+7 X 1 0-2 二进制(Mfc 使用0,1 两个数码符号，进 位 蹴 为 2。劭 侧：加法为逢2 进 1；减法为借1 当2。权：d嗷点前为2“7 1 嗷点后为2 T展开公式为：八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7 共 8 个数码符号，进 位 螂 为 8。W则：加法为逢8 进 1；减法为借1 当8。(立 权：d嗷点前为8 叫/J嗷点后为8T展开公式为：0=十六进制(Mfe 颂0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 共1 6 个 加 符 号，进 位 蹴 是 1 6。W侧：施去为逢1 6 进 1,减法为借1 当 1 6 of立权：d嗷点前为1 6 叫小数点后为16T展开公式为：H-O O O O O O2.各种进位制数之间的转换十进制数与二进制数之间的转换“二”一“十”方法为：依求值公式，把:力蹄擞按位开求和。【例 1.2 (l OOl OOl o 0 1)26+23+20+2-=6 4+8+1 4 O.25=(7 3 25)1 0熟记二a 制 的 浓 之 后，可t 接 也 陛 为 1 的浓值相加即可。十,一“二,，：将十进帝擞的部分和嗷部分分另峨，酬 瓯 族 珠即可。嬲 部 分：采 用“除2 取余”法，即樱部分不断地除2,直到W为 0,再从下往h 取余数依附I例(或从右往左取余数依侬例)。【例 1 2 (1 3)i(f=(?)2即(1 3)i o=(1 1 0 1)2小数部分：采 用“乘2 取整”法，再f 网 由 上 向 下 依 附 例。例 1.4 (0.1 25)i(f=(?)2即(0.1 25)i o=(0.1 1 2)2综合例3/M 列 1.4 可知：(1 3.1 25)l(f=(1 1 0 1.0 0 1)2二进制数与八进制数之间的转换而 前 已 叙 及;谢 擞 有0,123,4,5,6,7共8个数码，而T 立二iS制 数 只 有0和 两个数码，若 用 二 擞 表/诩 擞，就 必 须 用 三 位 二 侬 行。常用计数制的法昉法如表1-3厢 表1-3常用计数制的表示方法“二”一“八”车辙的方法是：把=姗 擞 从d嗷点分开，分别向左、向十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制000000081000108100011191001119200102210101012A300113311101113B401004412110014C501015513110115D601106614111016E701117715111117F右两个方向每三位二进带擞为Y I 1,产 生 一 包 曲 擞 即 可。不够三位时，掰卜0,d教 育 卜L【例 1.5(11111101100.01)彳(Oil 111 101 100.010)2=37542)8“八”一“二”钩 奂 只 要 将 每 一 仞 诩 擞 都 用 三 位 二 擞 写 出 来,并对卓最高位和最低位的0即可。【例 1.6 (61.7)8=(110001.111)2二进制数与十六进制数之间的转换与,谢 帆#以，T 立-卜六进制擞必须用四位=进制擞表示，详见表1-3.“二”一“出”转换方法：把二进带擞从d嗷位分开，分别向左、右两个方向每四位fl,不够四位，最高和最低位补0.W 1.7(11111101100.01)*(0111 11101100.0100)2=(7EC.4)16“十六一二”转换：只要将每一位十六进制擞都写成四位二 擞，并去掉最匐立和最f氐位的0即可。【例 1.8(583A6F),6=(101100000111010.01101111)2十进制数与八进制数和十六进制数之间的转换O h进制擞与/翊擞物奂方法：一是采用“除8取余”和“乘八取整”法二是借助二S制照换，即十一二一八。【例 1.9(2028.25)行(11111101 100.01)r(37542)8【例 1.10】(60.1)8=(110000.001)亍(48.125)10+进帝擞与十六进制呵鼎嫩方法:借助桢制联换，即十一二一十六。【例 1.11】(202825)10=(111 11101100.01X7EC.4)6【例 1.12(35B.8)iHll 0101 1O11.1OOOX859.5)IO3.二进制数据单位位(bit)计算机中的最小数据单位是二a制的数位，箍 称(bit)o 一个二i t制立有两种数值，即0或1。(2)字 节(Byte,简 称B)字节是皿机中数据姻!和存储容量最基本的单位，由8个二iS制 谈 成 一个字节，即1B=8 bit。f 字节可以存储一字符，两个字节可以存储-4汉字。常用的单位还有KB(千字节)、MB(兆字询、GB (吉字节)等,其换算关系如下：1KB=21OB=1O24B1 M B=1024KB=220B=l 0242B1GB=1024M B=230B=l 0243B 字（Word）字尉旨假按揭依次性完成数据存取、瀚、加 工 错 俞 处 理 的 轴 张 度，由若干个字节组成（通 常 是 标 的 嬲 倍）。每个字所包含的二a制擞礴尔为字长,它 储 了 机 器 的 精 度。一 情 况 下，基本字节越长，年内的位数越多。内存可配置的容越大，湖 速 度 就 越 快，t耀 精 度 就 越 高，处理能力就越强。所以，字长是衡量H算机性能的重要指标 不同档次的有不同的字长。P C的 字 长 有16位、32位、64位等，传统的大、中、小机型的字长位48128位。1.4.2计 算 机 中 数 据 的 二 进 制 编 码在廿算机系统中，使用最多的是二擞。这 是 因 为 任 何 信 息 在 机 中 都是以电子器件三位物理状态表示的。比如，脉冲电压或电流的正与负，电子开关的开与关，晶体管的导通与截止，磁性物质加电后产生的N-S极等恰好都是两个状态，可以分别用T和“0”表示，实 现 薛 非 常 容 易，并 且 二 前 非 常简单，但为了适应人们的十进制肝数习惯，假粉曷系统在输入、输出时，需将二进 制 邮 讲 腑 解 嫩。而iO机 必 理 的 信 息 不 只 殿 字 还 有 字 母、符号、汉字、图表甚至声音。而 这 峨 据 进 入H算 机，也必须用二进制擞来表示，这就要求对它 亍 二 进 帝 编 码。1.数的编码数以某种表示方式:存储在封算机中，即 称 为“机器数”。机器数是以二进制数 码0、1形式保存在有记Z功能的电子器 件 一 触 发 器 中。每 锦 蛾 器 记 忆1位二i4制代码，所 以n位二14缶擞将占用n个触发器，这 些 触 合 在 一,就成为寄存器。在寄存器中，送!二 擞 码 是 以 一 个 整 体 参 力 喻 和 姆t的，叫 做 俩 机的T“机器字”。f 机器字”中二 擞的位数称为 字长“。要全面、强 畸 示 一 个 机 器 数，应考虑3 个因素：机器数的符号、机 的范围、机中小数点的位置。机器数的符号在算术运算中，参力喔算的数正有负是很自然视为了在iW机中正确地表示正负数，通常规定寄存器中的最高位符号位，且 用“0”表示正，T表示负 球 符。这时寄存器的其他位表示实际数值。这种把符翔学化，并且和数值 位 马 的 方 法，彳颇地解决了带符号数的表示方法及其好问题。机 器 数 的 范 围机的范围由硬件决定。例如，当使用8 位寄存器时，该机器字的字长就是 8 位,如果用它表示无符号频，其最小值是0,最大值是（1111111），（255）机 的 范 围 就 是 0-255；如果用它表示有正负的，该机的范围就是-12127.机器字的字长与机器数的范围之间的关系女族1 4 所示。表 1-4 机器字的字长与机器数的范围之间的关系机器字长无符号数范围有符号数范围8位0-2|6-1-128-12716位0216-32 768 32 76732位0232-1-231-231-162位0264-1-263-263-l定点数与浮点数在t饵机中表示数值嬲相d嗷点的位置总是隐含的，以便节省存储空间。对这种隐含d嗷点位置的约定方法有两种：一种班艇嗷点的位S 固定不变这 样 恸 称 为“定点数”；另一种是规定d数点的位置可以浮动，这样的机器数称为“浮点数”。点 数 躁 示 方 法。定点数表示方法 物;定点嬲制定点d激两种。对于定点微/嗷点的位置约定在最（域值位的右面,用于表示纯整数。例如，设机器字长为1 6位，用定点数表示艘5 8 7.因 为（5 8 7）1广（0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1）2,所以机内表示如图1-2所示。D,5D4DpD1 2DuDmaDD6D5D4DDDQ.0000001001001011t蝴对于定点小数 数 点 物 潭 碇 在 符 号f立的后面，最 翩 值 稀T面，用于 表 示 小 于1的纯小数。例如，设极为字长为1 6位，用定点数表示d蜘）.6 8 7 5。因 为（-0.6 8 7 5）1广（-0.1 0 1 1）2,所以机内表示如图1-3所示。金孚点数表示方法。用定照职能表示纯d救超娥，抽去满足应用的需要。为此引出浮点数，将十进制擞N用浮点形式表示，即表示为一个纯 啜与10的艘次塞的乘积形式。如将十进帝擞0.00156 8、0.156 8、1.56 8用指数的形式产生，分别为：0.00156 8=0.156 8 X I O-2-0.156 8=-0.156 8 X 10 1.56 8=0.156 8X1 01同理 将二M 擞Nu o n g浮 点 形 式 标，可表示为一个纯小数与2的 次融朔如勺形式。即N=S X 2士L其中，N/S/P均为二 擞，S称为N的 感 即 全 部 的 锹 嫩 字（数值小于1）;S前面的正负号表示整个数值的正负，称其为尾符；P称为N的阶码，尉 强 的 数（直（通常是幽0,目旨明了d