浙江省湖州市高二上学期数学期中联考试卷附答案

高二上学期高二上学期数数学期中学期中联联考考试试卷卷一、一、选择题选择题：本：本题题共共 8 小小题题，每小，每小题题 5 分，共分，共 40 分；分；1.在空间坐标系中，点A.B2.在平面直角坐标系中，直线关于轴的对称点为（）C的斜率是（）DCDAB3已知向量，且与互相垂直，则 k（）BCD”是“方程A4.“且A充分不必要条件表示椭圆”的（）B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件轴交于，两点，点在圆5已知直线分别与轴、=2 上，则面积的取值范围是（）ABCD6已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（）ABCD7如图，某市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为 2，短半轴长为 1（单位：千米）根据市民建议，欲新建一条公路，点，分别在公路，上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为（）ABC8在三棱锥中，两两垂直且相等，若空间中动一点D满足，其中且.记与平面所成的角为，则的最大值（）ABC1D二、二、选择题选择题：本：本题题共共 4 小小题题，每小，每小题题 5 分，分，共共 20 分；在每小分；在每小题给题给出的出的选项选项中，有多中，有多项项符合符合题题目要求目要求，全部全部选对选对的得的得 5 分，有分，有选错选错的得的得 0 分，部分分，部分选对选对的得的得 3 分分.9.已知直线经过点，且直线的一个方向向量为，则下列结论中正确的是（）A.在轴上的截距为B.的倾斜角等于 120C与直线垂直D向量为直线的一个法向量10.若，分别为，有（）A.直线的斜率为定值B.当时，的最小值为C.当的最小值为 1 时，D11.直线与曲线恰有一个交点，实数AB-1C1上的动点，且，下面说法正确的可取下列哪些值（）D12.在正三棱柱中，点满足，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面，其中，三、填空三、填空题题：本：本题题共共 4 小小题题，每小，每小题题 5 分，共分，共 20 分分.13已知向量，.，若，共面，则实数14过点作圆的切线，则切线的方程为.15经过椭圆的左焦点作倾斜角为 60 的直线，直线与椭圆相交于两点，则线段的长为16舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点是滑槽的中点，短杆上的栓子可沿滑槽滑 也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若线，则切线长的最大值为四、解答四、解答题题：本：本题题共共 6 小小题题，共，共 70 分分.，过上的点向作切17如图，在平行六面体中，.求：()；()的长.18已知直线经过点.在两坐标轴上的截距相等时，求（）当的方程；（）若与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，当三角形的面积最小时，求的方程.19.如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.()以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧 所在的圆的标准方程；()为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆 通过隧道的限制高度是多少？20.已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F 分别为和的中点，D 为棱上的点，（）证明：；（）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?满足，设动点的轨迹为曲线21已知两个定点，动点，直线.（）求曲线的轨迹方程；（）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线 探究：直线是否过定点，若有，请求出定点，否则说明理由，切点为，22在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.（）求椭圆的方程；（）已知，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.答案解析部答案解析部分分1【答案】C【解析】【解答】解：由题意得点关于轴的对称点为，故答案为：C【分析】根据空间直角坐标系的定义求解即可.2【答案】A【解析】【解答】解：由题意得直线的斜率，故答案为：A【分析】根据直线的一般式方程求斜率公式求解即可.3【答案】C【解析】【解答】解：，且与互相垂直，2k+(-1)(-2)+31=0故答案为：C【分析】根据空间向量垂直的充要条件求解即可.4【答案】B【解析】【解答】解：当 m0，n0，m=n 时，方程 mx2+ny2=1 表示圆，不是充分条件，当方程 mx2+ny2=1 表示椭圆，则 m0，n0，是必要条件，故答案为：B.【分析】根据椭圆的定义，结合充分必要条件的判定求解即可.5 【答案】A【解析】【解答】解：由题意易得 A(-2，0)，B(0，-2)，则又 圆=2 的圆心为（2，0），半径为，则圆心（2，0）到直线的距离为，设点 P 到直线的距离为 d，则，又，故答案为：A【分析】根据两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及三角形面积公式，运用数形结合思想求解即可.6【答案】C【解析】【解答】令 P(x，y)，则根据椭圆的焦半径公式可得|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex，所以根据题意可得 a+ex=e(a-ex)，整理可得 ex+e2x=ea-a，所以，因为 P 在椭圆上，所以-axa，即，的正弦值.取的中点，则，过作交的延长线于点.因为 a0，所以，点即点在平面内的投影，且点落在外部.所以当点取点时，取即，解得或，而椭圆离心率范围为(0，1)，故.故选：C【分析】根据椭圆的几何性质，结合离心率公式求解即可.7【答案】D【解析】【解答】解：椭圆方程为，设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，则，联立方程组，消元可得：(1+4k2)x2+8kbx+4(b2-1)=0，由直线 PQ 与椭圆相切可知=64k2b2-16(1+4k2)(b2-1)=0，整理可得：b2=4k2+1，当且仅当即时取等号 当|PQ|最短时，故|OQ|=故选：D【分析】根据直线与椭圆的位置关系，以及两点间的距离公式，结合基本不等式求解即可.8【答案】B【解析】【解答】解：简解 1：已知且，点的可行域为三棱锥的表面及其内部.设三棱锥.与平面中，则三棱锥中棱即转化为与平面所成的角所成的角的正弦值到最大值.此时，进一步解得.简解 2：由上面分析可知，当点取点时，取到的最大值，如图建立坐标系，则平面的法向为，此时.故答案为：B【分析】根据三棱锥的结构特征，以及线性规划，结合三角函数定义以及同角三角函数间的关系或利用空间向量法求线面角求解即可.9【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为直线 l 的一个方向向量为，所以直线斜率，故直线 l 的倾斜角为 150，故 B 错误；则直线 l 方程为，即，所以 l 在 x 轴上的截距为-1，故 A 正确；直线的斜率为，由可得 i 与直线垂直，故 C 正确；因为，所以，则向量为直线的一个法向量，故 D正确.故答案为：ACD.【分析】根据法向量可求出斜率，即可得出倾斜角，再求出方程即可判断出截距，根据斜率关系可判断垂直关系，再判断可验证向量为直线的一个法向量.10【答案】A,B,D【解析】【解答】解：l1/l2 且，故 A、D 选项正确；P、Q 分别为，|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，上的动点，且 l1/l2，当 c=25 时，|PQ|的最小值为，故 B 选项正确；由 l1/l2，得出 a=6，则，又，可化为，当|PQ|的最小值为 1 时，c=0 或 c=20，故 C 选项错误；故选：ABD.【分析】先利用两直线平行的条件确定 a 和 c 的值，由此判断选项 A、D 是否正确；当 c=25 时，利用两平行线间的距离公式求得|PQ|的最小值，即可判断 B 选项；由|PQ|的最小值为，利用两平行线间的距离公式求出 c的值，即可判断 C 选项.11【答案】A,C【解析】【解答】解：曲线，整理得 x2+y2=1，x0，画出直线与曲线的图象，如图，直线与曲线恰有一个交点，则故答案为：AC.【分析】根据直线与圆的位置关系，运用数形结合思想求解即可.12【答案】B,D【解析】【解答】解：易知，点 在矩形 内部（含边界）对于 A，当=1 时，即此时 P线段 CC1，周长不是定值，故 A 错误；对于 B，当=1 时，故此时 P 点轨迹为线段 B1C1，而 B1C1/BC，B1C1/平面 A1BC，则有 P 到平面 A1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确对于 C，当时，取 BC，B1C1 中点分别为 Q，H，则，所以P 点轨迹为线段 QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以=0 或=1故 H，Q 均满足，故 C 错误；对于 D，当时，取 BB1，CC1 中点为 M，N，所以 P 点轨迹为线段 MN设，因为，所以，所以，解得，此时 P 与 N 重合，故 D 正确故选：BD【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于 B，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 CD，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数；13【答案】4【解析】【解答】解：设，(3，2，)=(2m-n，-m+4n，3m-2n)，且，共面，解得 m=2，n=1，=4故答案为：4【分析】根据向量共面的判定定理求解即可.1 4【答案】【解析】【解答】解：圆的圆心为 O(0，0)，A在圆上，则，又 kkOA=-1，解得故切线斜率为，故直线方程为：，即.故答案为：.【分析】根据圆的切线方程，以及两直线垂直的判断，结合直线的点斜式方程求解即可.15【答案】【解析】【解答】解：由题意得 a2=2，b2=1 所以 c2=1，即 c=1，故左焦点为 F1(-1，0)，而，故直线 l 为：，联立得：7x2+12x+4=0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得：，则由弦长公式得：.故答案为：【分析】根据椭圆的简单性质，运用直线与椭圆的位置关系结合弦长公式求解即可.16【答案】【解析】【解答】解：以滑槽 AB 所在的直线为 x 轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，因为|ON|=1，所以点 N 的运动轨迹 C1 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆，其方程为 x2+y2=1.设点 N 的坐标为(cos，sin)，由于|ON|=|DN|=1，易得 D(2cos，0)，由|MN|=3 可得，设 M(x，y)，则(x-cos，y-sin)=3(cos，-sin)，解得 M(4cos，-2sin)，所以点 M 的运动轨迹 C2 是椭圆，其方程为.设 C2 上的点 P(4cos，2sin)，则|OP|2=16cos2+4sin2=4+12cos216，则切线长为，即切线长的最大值为.故答案为：.【分析】以滑槽 AB 所在的直线为 x 轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，分别求出曲线 C1 和 C2的方程，结合两点间的距离公式与切线长公式进而可求得结果.17【答案】解：()；()，所以【解析】【分析】(1)根据空间向量数量积的定义求解即可；(2)由，利用空间向量数量积的运算法则求解即可.1 8【答案】解：（）在两坐标轴上的截距相等，当直线不经过原点时，设它的方程为，把点代入可得，故的方程为，即.当直线过原点时，设它的方程为，把点代入可得，故的方程为，即.综上可得，直线的方程为或.（）设直线的方程为，则得，当且仅当时，等号成立，此时面积最小，最小值为 48.直线的方程为，即【解析】【分析】（1）根据直线的截距式方程求解即可；（2）根据直线的截距式方程，结合基本不等式以及三角形面积公式求解即可.1 9【答案】解：()由题意，有所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为)都在圆上，解得圆的标准方程是()设限高为，作则.将点的横坐标，交圆弧于点(图略)，代入圆的方程，得，得或(舍去)故车辆通过隧道的限制高度为.【解析】【分析】（1