四川省乐山市十校2022年高二上学期理数期中考试试卷解析版

高二上学期理数期中考试试卷 一、单选题 1．直线 的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（　　） A．四边相等的四边形确定一个平面 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．直线 mx+2y-m=0过定点 D．梯形可以确定一个平面 3．长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 成角余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．已知直线 和 互相平行，则（　　） A． B． C． 或 D． 或 5．已知l，m为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（　　） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 6．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 7．已知 ， ，O是坐标原点， 与 的夹角为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（　　） A．1 B． C．2 D．2 9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 10．公元前 世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（ ）与它的直径（ ）的立方成正比”，此即 ，欧几里得未给出 的值． 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 中的常数 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 求体积（在等边圆柱中， 表示底面圆的直径；在正方体中， 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为 ）、等边圆柱（底面圆的直径为 ）、正方体（棱长为 ）的“玉积率”分别为 、 、 ，那么 （　　） A． B． C． D． 11．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于 .其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 12．在正方体 中， 分别为棱 的中点，P是线段 上的动点(含端点)，则下列结论正确的个数（　　） ①② 平面 ③ 与平面 所成角正切值的最大值为 ④当P位于 时，三棱锥 的外接球体积最小 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为　 　. 14．平面直角坐标系中，过点 ，且在且倾斜角α满足 ，则直线的点斜式方程为　 　. 15．有一光线从点 射到直线 以后，再反射到点 ，则这条光线的反射光线所在直线的方程为　 　. 16．已知正三棱柱 的各棱长都是4，点 是棱 的中点，动点 在侧棱 上，且不与点 重合，设二面角 的大小为 ，则 的最小值为　 　. 三、解答题 17．已知直线 （1）求直线 关于 轴对称的直线 的方程，并求 与 的交点P； （2）若直线 过点P且与直线 垂直，求直线 的方程. 18．某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 的高是长方体 高的 ，且底面正方形 的边长为4， ． （1）求 的长及该长方体的外接球的体积； （2）求正四棱锥的斜高和体积． 19．如图，四棱锥 满足 ， ， 底面 . （1）设点 为 的中点，证明： 平面 ； （2）设平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 . 20．已知直线l： （k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 21．如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA＝PB＝ AB，∠ABC＝60°，E为AB的中点． （Ⅰ）证明：CE⊥PA； （Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值． 22．如图，在四棱锥 中，底面 是圆内接四边形. ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若点 在 内运动，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】由题意，直线的斜率 ，设倾斜角为 ， ，则 . 故答案为：A. 【分析】根据题意首先求出直线的斜率，再由斜率公式计算出倾斜角即可。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：对于A：空间四边相等的四边形，不一定确定一个平面，如图所示空间四边形 ，A不符合题意； 对于B：空间中垂直于同一直线的两条直线的位置关系可能为平行，相交、异面，B不符合题意； 对于C：直线 ，即 ，令 ，解得 ，即直线恒过定点 ，C不符合题意； 对于D：梯形的一组对边平行，故可以唯一确定一个平面，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据题意由平面的性质定理即可判断出选项A、B错误选项D正确；再由直线方程的性质整理化简即可求出定点的坐标，从而判断出选项C错误；从而得出答案。 3．【答案】D 【解析】【解答】连接 ， ， 四边形 为平行四边形， ，则 即为异面直线 与 所成的角或其补角， . 故答案为：D. 【分析】根据题意由长方体的几何性质结合异面直线所成角的定义，由三角形中的几何计算关系结合余弦定理代入数值计算出结果即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】 时，两直线显然不平行， 时，则 ，解得 或 ． 故答案为：C． 【分析】利用两条平行直线系数之间的关系，代入数值计算出结果即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】若 ， ，则 或 ，A不符合题意； 若 ， ，则 或l在平面 外，B不符合题意； 若 ， ，则直线m与平面 没有公共点即 ，C符合题意； 若 ， ，直线m不一定垂直于 ，D不符合题意. 故答案为：C 【分析】根据直线、平面之间的位置关系逐项判断. 6．【答案】C 【解析】【解答】设点 作平面 的射影为 ，连接 ， ∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴ ， ∵ 底面 ， ， ， ， ∴∴ 所以 为三角形的外心． 故答案为：C． 【分析】根据题意由点的射影的性质，结合三棱锥的几何性质由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由三角形的全等性质即可得出点 为三角形的外心，从而得出答案。 7．【答案】C 【解析】【解答】由题意， 所以 ，又 ， ， 所以 ，所以 解得λ 故答案为：C. 【分析】根据题意由向量的坐标公式结合向量模和数量积的夹角公式，代入数值计算出结果即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和 的直角三角形(如图所示)， 根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积为 . 故答案为：B. 【分析】根据题意由三视图可知该几何体是一个三棱锥，结合三棱锥的体积公式，代入数值计算出结果即可。 9．【答案】B 【解析】【解答】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线， 又A(1，0)，B(0，2)，AB的中点为 ，kAB＝－2， AB的中垂线方程为y－1＝ ，即2x－4y＋3＝0. 故答案为：B． 【分析】由已知条件即可得出中点的坐标，结合斜率的坐标公式代入数值计算出斜率的取值，再由点斜式计算出结果即可。 10．【答案】D 【解析】【解答】 故答案为：D 【分析】根据题意由球的体积公式代入数值计算出、、的值，由此得出答案。 11．【答案】C 【解析】【解答】解：如图1，取AD中点M，连接MD1与MQ， 则MQ∥D1C1，B 平面MQC1D1，则PQ与BD1异面，矛盾，故①错误；如图2，取CD中点R，易得平面PQR∥平面BB1D1D，故②正确；若③正确，则PQ⊥B1C，则C1Q⊥B1C，矛盾，故③错误； 如图2， .故④正确. 故答案为：C. 【分析】根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行由此判断出①错误，结合正方体的几何性质由线面平行的判定定理即可判断出②正确；根据题意由正方体的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理此即可判断出③错误；由已知条件结合三棱锥的体积公式代入数值即可得出答案，从而得出④正确，由此即可得出答案。 12．【答案】B 【解析】【解答】设正方体棱长为2. 对①，如图1， 在正方体 中，连接AC，BD，则 ， 面 ，所以 ，而 ，所以 面 ，而 面 ，所以 .①正确； 对②，如图2， 设AC交BD于Q，则Q为AC的中点，而M为 的中点，所以 ，而 交平面 于M，所以 与平面 不平行； 对③，如图3， 易知点P在面ABCD上的投影点N在线段AC上，则 与平面 所成角为 ， ，则当NE最小时正切值最大，因为 分别为 的中点，所以 ，由于 ，则 ，此时点N为点E在线段AC上的投影 ，且 为EF的中点.所以，此时 ， .故③正确； 对④，如图4， 易知 为 的外心，作 面 ，交 于 ，则三棱锥 的外接球球心 在 上，记外接球半径为R， ，所以 ， 即 ，于是当 时，R最小，即外接球体积最小，此时 重合.故④错误. 故答案为：B. 【分析】由已知条件作出辅助线，由正方体的几何性质即可得出线线垂直，然后结合线面垂直的性质定理和判定定理即可判断出①正确；结合正方体的几何性质和中点的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得出 ② 错误；根据题意由线面角的定义结合已知条件，由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果由此判断出③正确；由正方体外接球的几何性质，把数值代入到体积公式计算出结果即可，由此判断出④错误，从而得出答案。 13．【答案】 【解析】【解答】根据题意，圆锥母线长为： ，底面周长为： ，则圆锥侧面积为： . 故答案为： . 【分析】根据题意由圆锥的几何性质，代入数值计算出圆锥的侧面积即可。 14．【答案】 【解析】【解答】解：因为 ，且 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即直线的斜率 ，所以直线方程为 ， 故答案为： 【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式计算出的取值，从而求出正切的值即斜率的值，结合点斜式求出直线的方程即可。 15．【答案】6x-y-5=0 【解析】【解答】设点A关于直线 的对称点 ，则线段 的中点为 ， 于是 ，即 ，所以 ， 于是，反射光线所在直线的方程为 . 故答案为：6x-y-5