考点规范练15 导数与函数的单调性
基础巩固
1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增
B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减
C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增
D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增
2.函数f(x)=12x2-ln x的单调递减区间为( )
A.(0,1)
B.(0,1)∪(-∞,-1)
C.(-∞,1)
D.(-∞,+∞)
3.下列函数中,在区间(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sin2x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=-x+ln(1+x)
4.(2021山西太原一模)已知函数f(x)=ex-1ex+1-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围为( )
A.a>12 B.a>1
C.a≥12 D.a≥1
5.若函数f(x)=ex(sin x+a)在R上为增函数,则实数a的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(2,+∞)
6.(2021云南昆明一中模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sinx,若f(t)+f(1-3t)<0,则实数t的取值范围是( )
A.12,+∞ B.-∞,12
C.14,+∞ D.-∞,14
7.若函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是 .
8.已知函数y=f(x)在定义域-32,3内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式xf'(x)≤0的解集为 .
9.若函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
10.试求函数f(x)=kx-lnx的单调区间.
11.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.
能力提升
12.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为( )
A.(0,4) B.(-∞,1),43,4
C.0,43 D.(0,1),(4,+∞)
13.(2021安徽黄山二模)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论错误的是( )
A.f(4)>ef(3)
B.f(4)>4e3-1
C.f(-4)>e2f(-2)
D.f(-4)<-4e2-1
14.已知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为 .
15.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围.
16.已知函数f(x)=kx-lnx.
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求k的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.
高考预测
17.设函数f(x)=x2-1lnx.
(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)内都单调递增;
(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.
答案:
1.C 解析由题图知,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,
所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.
2.A 解析f(x)=12x2-lnx的定义域为(0,+∞),
f'(x)=x-1x,令f'(x)<0,即x-1x<0,
解得0
0,所以00,所以函数f(x)在R上单调递增.
因为f(t)+f(1-3t)<0,所以f(t)<-f(1-3t)=f(3t-1),
所以t<3t-1,解得t>12.
7.(0,+∞) 解析∵f(x)=ax3-x,
∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不等实根,
∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).
8.-32,-13∪[0,1]∪[2,3) 解析对于不等式xf'(x)≤0,当-320).
令x-9x≤0,解得x≤-3或00,∴00,且a+1≤3,解得10时,由f'(x)<0,即kx-1x<0,
解得00,即kx-1x>0,解得x>1k.
∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,
单调递增区间为1k,+∞.
综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.
11.解(1)∵a=1,
∴f(x)=x3+x2-x+2,
∴f'(x)=3x2+2x-1,
∴f'(1)=4.
又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),
∴所求切线方程为y-3=4(x-1),
即4x-y-1=0.
(2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),
由f'(x)=0得x=-a或x=a3.
又a>0,由f'(x)<0,得-a0,得x<-a或x>a3,
故f(x)的单调递减区间为-a,a3,单调递增区间为(-∞,-a)和a3,+∞.
12.D 解析由题中图象可知,过点(0,0)及点43,0的图象为函数f'(x)的图象,
且g'(x)=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex,
令g'(x)<0,可得f'(x)4符合该不等式,
故所求单调递减区间为(0,1),(4,+∞).
13.C 解析设g(x)=f(x)+1ex,则g'(x)=f'(x)·ex-[f(x)+1]·exe2x=f'(x)-f(x)-1ex,
又当x>0时,f'(x)-f(x)>1,
即f'(x)-f(x)-1>0,
则当x>0时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
依次分析选项:
对于A,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(3),即f(4)+1e4>f(3)+1e3,变形可得f(4)+1>ef(3)+e,则有f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),A正确;
对于B,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(1),即f(4)+1e4>f(1)+1e1=4e,变形可得f(4)>4e3-1,B正确;
对于C,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(2),即f(4)+1e4>f(2)+1e2,变形可得f(4)+1>e2f(2)+e2,即-f(-4)+1>-e2f(-2)+e2,则有f(-4)4e3-1,即-f(-4)>4e3-1,变形可得f(-4)<1-4e3,而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)<0,则有f(-4)<1-4e3<-4e2-1,D正确.
14.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析令g(x)=f(x)x2(x≠0),
则g'(x)=x2f'(x)-2xf(x)x4=xf'(x)-2f(x)x3.
因为xf'(x)-2f(x)>0,所以,当x>0时,g'(x)>0,
所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又f(x)是偶函数,
故g(x)=f(x)x2(x≠0)也是偶函数,
而f(1)=1,
故g(1)=f(1)12=f(1)=1,
因此,f(x)>x2⇔f(x)x2>1,
即g(x)>g(1),即g(|x|)>g(1),
所以,|x|>1,解得x>1或x<-1.
则不等式f(x)>x2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
15.解(1)当a=-14时,
f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-1),
f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)(x>-1).
当f'(x)>0时,解得-11.
故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,
所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,
即a≤-12x(x+1)对任意x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=-12x(x+1),则g'(x)=4x+2[2x(x+1)]2.
因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0,
所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-14,故a≤-14.
即实数a的取值范围为-∞,-14.
16.(1)解∵f(x)=kx-lnx,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
∴f'(x)=k-1x≥0在区间(1,+∞)内恒成立,
∴k≥1x在区间(1,+∞)内恒成立,
∴k≥1.
(2)证明不妨设x1>x2>0,
∵f(x1)=f(x2)=0,
∴kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,
可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),
要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是证k(x1+x2)>2,
∵k=lnx1-lnx2x1-x2,
∴