全国初中数学竞赛_1998~2010_(附解答)

1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（　　） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。 9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。 12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。 13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。 （1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。 （2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。 1999年全国初中数学竞赛试卷 　 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B， 　　C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里） 　 　　1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）． 　　　A．11 B．12 C．13 D．14 　 　　2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）． 　　　A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 　 　　3．已知，那么代数式的值为（ ）． 　　　A． B．－ C．－ D． 　 　　4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）． 　　　A．30 B．36 C．72 D．125 　 　　5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）． 　　　A．1 B．2 C．3 D．4 　 　　6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）． 　　　A．2 B．3 C．4 D．5 　 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 　 　　7．已知，那么x2 + y2的值为　　　　 ． 　 　　8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是　　　　　　 （0＜x＜10）． 　 　 　 　 　 　 　　9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么的值为　　　　　　　 ． 　 　　10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是　　　　　　 ． 　 11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是　　　　　　 ． 　　　　　　　　　　　　 　 　　12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两 台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机　　　　　　 台． 　 　 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分） 　 　　13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值． 　 　　14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长． 　 　 　 　　 　 　 　 　　15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到： 　　　　． 　　　（1）（10分）证明：可以得到22； 　　　（2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2． 　 2000年全国初中数学竞赛试题解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。 （A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。 答：（B）。∵M＝，N＝，P＝，M－P＝， ∵a＞b＞c，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。 答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。 （A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。 答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线y=平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。 （A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。 答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。 5、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。 （A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。 答：（B）。由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。 6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。 （A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。 答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。 二、填空题 7、已知：，那么＝________。 答：1。∵，即。∴ 。 8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。 答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。 9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。 答：5。①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。 答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。） 11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。 答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。 12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。 （注：×100％） 答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得： ×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为×100％＝17％。 三、解答题 13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。 （1）若，求的值。 （2）求的最大值。 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以 ，∴。根据题设，有。 （1）因为 ，即。 由于，故。 （2） 。 设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。 14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。 解：由题设得AB2＝2AE2