全国初中数学竞赛_1998~2010_(附解答)

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1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题:(每小题6分,共30分) 1、已知a、b、c都是实数,并且,那么下列式子中正确的是(  ) (A)(B)(C)(D) 2、如果方程的两根之差是1,那么p的值为( ) (A)2(B)4(C)(D) 3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( ) (A)12(B)14(C)16(D)18 4、已知,并且,那么直线一定通过第( )象限 (A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四 5、如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a、b)共有( ) (A)17个(B)64个(C)72个(D)81个 二、填空题:(每小题6分,共30分) 6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。 7、已知直线与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。 9、已知方程(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。 10、B船在A船的西偏北450处,两船相距km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。 三、解答题:(每小题20分,共60分) 11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,点E为腰AC中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积。 12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点,(1)求a的值;(2)求的值。 13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。 (1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值。 (2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。 1999年全国初中数学竞赛试卷   一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,   C,D的四个结论,其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里)     1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( ).    A.11 B.12 C.13 D.14     2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应交煤气费( ).    A.60元 B.66元 C.75元 D.78元     3.已知,那么代数式的值为( ).    A. B.- C.- D.     4.在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面积是( ).    A.30 B.36 C.72 D.125     5.如果抛物线与x轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC的面积的最小值是( ).    A.1 B.2 C.3 D.4     6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得△PCD与△BCD的面积相等,并且△ABP为等腰三角形,这样的不同的点P的个数为( ).    A.2 B.3 C.4 D.5   二、填空题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)     7.已知,那么x2 + y2的值为     .     8.如图1,正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上,且EB=10cm,点P在边DC上运动,EP与AB的交点为F.设DP=xcm,△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2,那么,y与x之间的函数关系式是       (0<x<10).               9.已知ab≠0,a2 + ab-2b2 = 0,那么的值为        .     10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中,A,B两点在第Ⅰ象限内,OA与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是       .   11.设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么A4的周长是       .                  12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等.如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机       台.     三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)     13.设实数s,t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0,t2 + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求的值.     14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径,对角线AC和BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.                  15.有人编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,将上次的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2或乘3.例如,30可以这样得到:     .    (1)(10分)证明:可以得到22;    (2)(10分)证明:可以得到2100 + 297-2.   2000年全国初中数学竞赛试题解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设a,b,c的平均数为M,a,b的平均数为N,N,c的平均数为P,若a>b>c,则M与P的大小关系是( )。 (A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。 答:(B)。∵M=,N=,P=,M-P=, ∵a>b>c,∴>,即M-P>0,即M>P。 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又原路返回b千米(b﹤a),再前进c千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是( )。 答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。 (A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。 答:(A)。由题意知3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。 4、一个一次函数图象与直线y=平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。 (A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。 答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-1+4N,y=-25+5N,(N是整数).在线段AB上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+5N≤0,∴≤N≤5,即N=1,2,3,4,5。 5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长,且,则它的内角∠A、∠B的关系是( )。 (A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。 答:(B)。由得,延长CB至D,使BD=AB,于是CD=a+c,在△ABC与△DAC中,∠C为公共角,且BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。 6、已知△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,△A1B1C1的三边长分别为a1,b1,C1面积为S1,且a>a1,b>b1,c>c1则S与S1的大小关系一定是( )。 (A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。 答:(D)。分别构造△ABC与△A1B1C1如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然,即S>S1;②设,则,S=10,,则S1=×100>10,即S<S1;③设,则,S=10,,则,S1=10,即S=S1;因此,S与S1的大小关系不确定。 二、填空题 7、已知:,那么=________。 答:1。∵,即。∴ 。 8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD的面积等于________。 答:66+6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2,AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴。 9、已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。 答:5。①当时,;②当时,易知是方程的一个整数根,再由且是整数,知,∴;由①、②得符合条件的整数有5个。 10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。 答:2.4米。作PQ⊥BD于Q,设BQ=米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得及,两式相加得,由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。) 11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么=________。 答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线通过,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。 12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。 (注:×100%) 答:17%。设原进价为元,销售价为元,那么按原进价销售的利润率为×100%,原进价降低6.4%后,在销售时的利润率为×100%,依题意得: ×100%+8%=×100%,解得=1.17,故这种商品原来的利润率为×100%=17%。 三、解答题 13、设是不小于的实数,使得关于的方程有两个不相等的实数根。 (1)若,求的值。 (2)求的最大值。 解:因为方程有两个不相等的实数根,所以 ,∴。根据题设,有。 (1)因为 ,即。 由于,故。 (2) 。 设上是递减的,所以当时,取最大值10。故的最大值为10。 14、如上图:已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=AE,且BD=2,求四边形ABCD的面积。 解:由题设得AB2=2AE2
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