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1、第第 2章章 平面力学平面力学本章内容本章内容本章内容本章内容 1 力在力在轴上的投影与力上的投影与力对点的矩点的矩 2 力偶矩力偶矩 平面力偶系的平面力偶系的简化化 3 平面力系的平面力系的简化化4 平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系的平衡条件与平衡方程式5 平面力系平衡方程式的平面力系平衡方程式的应用用举例例6 物系的平衡物系的平衡 静定与超静定的概念静定与超静定的概念7 滑滑动摩擦及其平衡摩擦及其平衡问题第二章第二章第二章第二章 平面力系平面力系平面力系平面力系力系力系平面力系平面力系平面力系平面力系空间力系空间力系空间力系空间力系各力作用线共面的力系各力作用线不共面的力系本章将详细
2、地讨论平面力系的简化和平衡问题。第一第一第一第一节节 力在力在力在力在轴轴上的投影与力上的投影与力上的投影与力上的投影与力对对点点点点的矩的矩的矩的矩一一一一、力在轴上的投影、力在轴上的投影、力在轴上的投影、力在轴上的投影如图2-1所示，已知力F F与轴x，称力F F与轴x的单位向量i i的数量积为力F F在轴x上的投影，记为 。于是有图 2-1从几何上看，是过力矢的起点A和终点B分别向轴x引垂线所得到的有向线段 的长度。图 2-1力在轴上的投影是一个代数量，其正负号可由力F F与轴x的正向夹角来反映。由式（2-1）知：当 时，当 时，通过几何上判断其正负号如图2-1所示。当有向线段 与x轴正
3、向一致时，为正，反之为负。力在轴上的投影在两种情况下等于零：力等于零；力与轴垂直，即当 时，。为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-2所示。此时有图 2-2反表示力F的大小与方向，即之，若已知力F在一对直角坐标轴上的投影 与 ，就可由它们来F的大小与方向，即式中：，分别表示力F与x轴和y轴的夹角。力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小在数值上是相等的根据合矢量投影规则，可以得到一个重要的结论，即合力投影定理合力投影定理合力投影定理合力投影定理 力系的合力在某轴上的投影等于各分力力系的合力在某轴上的投影等于各分力力系的合力在某轴上的投影等于各分力力系的合力在
4、某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。在该轴上投影的代数和。在该轴上投影的代数和。在该轴上投影的代数和。设一平面力系由 组成，其合力记为 。称 为该力系的主矢。力系的合力 与主矢 是有区别的证合力 的大小和方向与主矢 是相同的，故，与 在任一轴上的投影相等。根据合力投影定理，可得（2-3）故（2-4）式中：，分别表示合力 与x轴和y轴的夹角。二二二二、力对点的矩、力对点的矩、力对点的矩、力对点的矩例例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动效果就越明显，反之亦然，如图2-3所示。图 2-3可以用力对点的矩这样一个物理量
5、来描述力使物体转动的效果。力F F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积，并冠以适当的正、负号，记作其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小；是一个代数量。规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。根据定义图2-3所示的力 对点O的矩为由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，即平面力系的合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。设平面力系由 组成，该力系合力为 ，则有例如果计算力F对点O的矩，如图2-5所示，由合力矩定理，有图 2-5
6、第二第二第二第二节节 力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩 平面力偶系的平面力偶系的平面力偶系的平面力偶系的简简化化化化力偶力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力偶的力偶矩，记为 ，简记为M。如图2-6所示：与 组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。在力偶作用面内任选一点O，设点O到力 的距离为a；按定义，该力偶的力偶距 为图 2-6力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点，写力偶矩时不必写出矩心，只记作 或M即可，有力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零，这也是
7、力偶所特有的性质力偶不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡力和力偶是静力学中的两个基本要素。根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。该定理等价于下列事实：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。（3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力 偶臂的长短。讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为图2-7 平面力偶系的简化（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。由于 ，所以有（2）将各力偶在平面内移动和转
8、动，使各对力的作用线分别共线。（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力 等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为即平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。图 2-8第三第三第三第三节节 平面力系的平面力系的平面力系的平面力系的简简化化化化一一一一、力平移的定理、力平移的定理、力平移的定理、力平移的定理作用在刚体上A点处的力F F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力线平移定理。证设刚体上A点作用着一个力F F，在刚体内任选B点，现在把力F F平移到B点。根据加减平衡力系公理在B
9、点处加上一对平衡力 ，使得故点A处的力F F就由点B处的力 及附加力偶等效代替了，而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。意义意义意义意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。例图 2-11（a）图 2-11（b）攻螺纹用的铰杠丝锥攻螺纹用的铰杠丝锥二、二、二、二、平面力系的平面力系的平面力系的平面力系的简简化化化化 主矢与主矩主矢与主矩主矢与主矩主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系 ，如图2-12所示。图 2-12（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心简化中心简化中心简化中心。（2）将平面汇交力系中的各个
10、力作矢量和，得到一个合力矢，称为原力系的主矢，记为 。由简化过程知（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知其力偶矩记为 ，称为原力系的主矩，它等于各力偶矩的代数和，也等于原力系中各力对简化中心O点的矩的代数和，即综上所述，平面力系向作用面内任意一点简化，可以得到一个力和一个力偶；力称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换一个任意的平面力系，都可以
11、由一个力和一个力偶等效替换选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影 ，最后求得主矢即 ，即式中：，分别是 与x轴和y轴的夹角固定端（插入端）约束。固定端（插入端）约束。固定端（插入端）约束。固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。例（a）（b）图 2-13固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。如图所示注意注意注意注意固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动，而平面铰链约
12、束则只限制被约束体移动，并不限制其转动；从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样，用一对正交分力表示约束力的主矢之外，还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。三、三、简化化结果的果的进一步一步讨论 合力矩定理的合力矩定理的证明明对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，可能出现以下四种情况：（1）（2）（3）（4）分别讨论这些情况分别讨论这些情况分别讨论这些情况分别讨论这些情况情况（1），说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。情况（2），说明原力系的简化结果
13、是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心（否则）。这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记为 ，以将它与一般力系的主矢相区别。情况（3），这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理知，与 可以由一个 等效代替。这个力，但作用线不通过简化中心O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 。三、三、简化化结果的果的进一步一步讨论 合力矩定理的合力矩定理的证明明情况（情况（情况（情况（3 3 3 3）证明）证明）证明）证明其中 为合力 的作用点，图 2-15（a）（b）（c）另外，由图2-15（b）及证明过程知情况（4），表明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定律，此时物体将处于静止或匀速直
14、线运动状态，即物体处于平衡状态。三、三、简化化结果的果的进一步一步讨论 合力矩定理的合力矩定理的证明明第四第四第四第四节节 平面力系的平衡条件与平衡平面力系的平衡条件与平衡平面力系的平衡条件与平衡平面力系的平衡条件与平衡方程式方程式方程式方程式平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。证由主矢为零，即得而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以 ，代表力在轴上的投影，以 表示力对点O的矩，得（2-182-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内一对正交坐标轴上的
15、投影代数和以及各力对作用面内任意点O之矩的代数和同时为零。二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，或者为平衡力系；由 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线最后，由 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。三矩式平衡方程为其中，A，B，C三点不得共线。图 2-16由 ，知，该力系只可能为作用线过A，B两点的合力或是平衡力系；由式 ，且C点不在AB连线上知
16、，该力系无合力，为平衡力系，如图2-17所示。图 2-17应用方程式（2-19）或式（2-20）时，不得违背其限制条件，否则会得到不独立的方程式，仍然不能求得三个未知量。例例对于平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，假定各力线汇交于点O，则取O点为简化中心，这时由于不必进行力线的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力系就平衡。其平衡方程为（2-21）图 2-18例例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满足的，故其平衡方程式为（2-22）图 2-19对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。所以，平面力偶系的平衡方程为第五第五第五第五节节 平面力系平衡方程式的平面力系平衡方程式的平面力系平衡方程式的平面力系平衡方程式的应应用用用用举举例例例例应用平衡方程式求解平衡问题的方法，称为解析法解题方法包含以下步骤1 1选取研究
