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1、工程数学概率统计简明教程（第二版）多媒体参考资料柴根象柴根象 蒋凤瑛蒋凤瑛 杨筱菡杨筱菡2011.121第一篇 概率论部分第二篇 统计部分2信息时代与统计（代序）2009年8月6日的美国纽约日报有篇文章，题为：对如今的毕业生而言，就一个词：统计学.谷歌的首席经济学家哈尔瓦里安说：“我一直都说，在未来10年，最具吸引力的工作将是统计师.”统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果，到2012年，全球电子数据约增长5倍.3 正如麻省理工学院的埃生克布林约尔松所说,我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界，但问题在于人类利用、分析和解释数据的能力！这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大
2、需求，鲜活客观的数据是解决长期经济需求问题，以及确定重要政策的优先程序的第一步.因而人们只有借助统计学这一重要工具，使用计算机和缜密的数学模型，在大量数据中发掘重要信息，寻求其规律和决定对策.4第一篇第一篇概概 率率 论论 部部 分分5（一）事件的概率（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征6（一）事件的概率1.随机事件2.概率的概念及性质3.古典概型71.随机事件在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）.对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性.8例例1（第一章例1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们
3、关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）.当试验结果出现3点时，事件A发生；当试验结果出现5点时，事件A不发生.总之，在试验前，无法判断事件A是否发生.9事件的关系（1）（B包含A）;（2）A=B（A与B相等）;（3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）.10事件的运算11 例例2（第一章例7）有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A=击落飞机，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件.如记Bi=击落第i个发动机,i1,2，C=击中驾驶员，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单.我们可以用B1、B2及C表示AA=B1B2C 这可以
4、简化复杂事件A的概率计算.12 事件分解事件分解的要点是：正的要点是：正确使用事件的运算建立各简确使用事件的运算建立各简单事件之间的单事件之间的关系关系.132.概率的概念及性质概率是事件发生的可能性大小的度量.概率的统计定义：概率是频率的稳定值,常常用于概率的近似计算，是非常有用的.但要注意，试验次数要足够多.14概率的三条公理15事件的加法公式及推广事件的加法公式及推广:对于任意事件对于任意事件A A、B B,有有1617概型的要求有限性：可能结果只有有限个；等可能性：各个可能结果出现是等可能的.概率的计算公式3.古典概型18 例例4（第二章例1）设有批量为100的同型号产品，其中次品有3
5、0件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任意抽取1件，观察后不放回，从剩下的产品中再任取1件.试分别按这两种抽样方式求:（1）两件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率.19解解容易验证满足古典概型的要求 记A=两件都是次品，B=第1件次品，第2件正品.只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原理，一共有n100 10010,000种可能结果，此即样本点总数.20 而构成事件A的样
6、本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，因而有k3030900种可能结果，于是 同理，可得212223（二）条件概率与事件的独立性1.条件概率2.全概率公式和贝叶斯公式3.事件的独立性241.条件概率25例例6（第三章例3）一批零件共100件，其中次品有10件，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率.解解 记A第一次为次品，B 第二次为正品，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)90/99，因此 P(AB)P(A)P(BlA)0.190/990.091.2627282.全概率公式和贝叶斯公
7、式原因A1原因A2原因An结果B 全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.29 贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B 30 在贝叶斯公式中，称P(A1)，P(An)为先验概率，而P(A1lB)，P(An lB)为后验概率，它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下，对先验概率的修正.31 例例8（第三章例6）血液化验 一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1的概率误将健康人检出阳性.设已知该种疾病的发病率为0.5，求已知一个个体被此项血液化验检出阳性条件下，该个体确实患有此种疾病的概率.32 解解 此例的“结果
8、”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是：一、带菌；二、健康人.问题是求从已知“结果”为阳性条件下，而事实上是“带菌”的条件概率：P(带菌l阳性)记B阳性，A1带菌，A2不带菌.已知 由贝叶斯公式得到33 带菌 不带菌总和阳性 0.95 1.99 2.94非阳性 0.05 197.01 197.06总和 1 199 200其中数字0.95，1.99是由假设条件及公式 0.951 0.95 1.99199 0.01算出.因此已检出阳性条件下（总共2.94人），带菌（只有0.95人）的条件概率为 为什么验出是“阳性”，而事实上为“带菌”的概率如此小？以下是平均总数为200人的分类表：
9、34353.事件的独立性36373839404142（三）（三）随机变量及其分布随机变量及其分布1.随机变量的分布函数2.离散型随机变量的分布3.连续型随机变量的分布4.二维随机变量的联合分布与边缘分布5.随机变量的函数及其分布431.随机变量的分布函数44分布函数的图像，分布函数的图像，y0及及y1是两条渐近线是两条渐近线y0y145462.离散型随机变量的分布4748 例例1212（第四章例5）袋中有5个球，分别编号1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数.解解 由于X表示取出的3个球中的最小号码，因此X的所有可能取值为1,2,3，X1表示
10、3个球中的最小号码为1，那么另外两个球可在2,3,4,5中任取2个，这样的可能取法有 种;而在5个球中取3个球的可能取法共有 种.49505152535455563.连续型随机变量的分布5758常用连续型分布5960 标准正态分布N(0,1)的密度函数图像616263644.二维随机变量的联合分布和边缘分布656667686970715.随机变量的函数及其分布72737475767778798081（四）随机变量的数字特征1.数学期望2.方差和标准差3.协方差和相关系数4.大数定律和中心极限定理821.数学期望83期望的性质848586 例例24（第七章例5）分赌本问题（point probl
11、em）甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等现已赌三局结果是：甲二胜一负由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？提示提示如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的；能否依据现在的胜负结果2：1来分呢？但仔细推算也是不合理的，当时著名数学家和物理学家帕斯卡提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的8788 例例25（第七章例11）把n个球放进M只盒子，假定每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望.89902.方差和标准差 设有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为：第一批 110，120，120
12、，125，125，125，130，130，135，140,第二批 90，100，120，125，125，130，135，145，145，145.可计算出两批数据的平均数都是126，但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较大的偏离.因此，欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标示不够的，尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标，对于随机变量也有相同的问题，除了使用期望描述分布的中心位置以外，尚需一个描述相对于期望的分散程度的指标.9192939495例例27 某公司初次加工的产品合格率为0.96，而不合格品中只有0.75可进行再加工，再加工的合格率为0.8,其余均为废品.已知每件合格
13、产品可获利80元，而出现一件废品则亏损20元.为保证公司每天平均利润不低于2万元，问该公司每天至少应生产多少件产品？解解 记该公司生产的产品的合格率为p，依假设有P=0.96+0.040.750.8=0.984.设公司每天生产n件产品，而X为其中的合格品 数，Y为n件产品的利润 则XB(n，p)，且Y=80X-20(n-X).注意到：EY=80EX-20(n-EX)=100EX-20n=100np-20n=78.4n.为使E(Y)20,000，当且仅当n 256.因此，每天至少应生产256件产品.963.协方差和相关系数97 两元正态分布的相关系数98 相关系数的性质99 4.大数定律和中心极
14、限定理100 切比雪夫大数定律101 独立同分布的中心极限定理102德莫弗拉普拉斯中心极限定理1031041051、每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。9月-229月-22Saturday,September 3,20222、成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦。17:41:2417:41:2417:419/3/2022 5:41:24 PM3、每天只看目标，别老想障碍。9月-2217:41:2417:41Sep-2203-Sep-224、宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子。17:41:2417:41:2417:41Saturday,September 3,20225、积
15、极向上的心态，是成功者的最基本要素。9月-229月-2217:41:2417:41:24September 3,20226、生活总会给你另一个机会，这个机会叫明天。03 九月 20225:41:24 下午17:41:249月-227、人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走。九月 225:41 下午9月-2217:41September 3,20228、业余生活要有意义，不要越轨。2022/9/3 17:41:2417:41:2403 September 20229、我们必须在失败中寻找胜利，在绝望中寻求希望。5:41:24 下午5:41 下午17:41:249月-2210、一个人的梦想也许不值钱
16、，但一个人的努力很值钱。9/3/2022 5:41:24 PM17:41:2403-9月-2211、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。9/3/2022 5:41 PM9/3/2022 5:41 PM9月-229月-22谢谢大家谢谢大家1、每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路2022/9/3 17:41:2417:412、成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦。17:41:2417:41:2417:419/3/2022 5:41:24 PM3、每天只看目标，别老想障碍Saturday,September 3,2022。9月-2217:41:2417:41Monday,July 19,202103-Sep-224、宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子5:41:24 下午。17:41:2417:41:2417:41Saturday,September 3,20225、积极向上的心态，是成功者的最基本要素17:41:24。9月-229月-2217:41:2417:41:24September 3,20226、生活总会给你另一个机会，9月-225:41:2
