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1、大学数学公式手册目录第 1 章 高 等 数 学.11.1 函数、极限、连续.11.2 一元函数微分学.51.3 一元函数积分学.131.4 向量代数和空间解析几何.211.5 多元函数微分学.301.6 多元函数积分学.363?1.7 无穷级数.411.8 常微分方程.4849第 2 章 线性代数.53552.1 行列式.53552.2 矩阵.54562.3 向量.57592.4 线性方程组.60632.5 矩阵的特征值和特征向量.61632.6 二次型.6365第 3 章 概率论与数理统计.66683.1随机事件和概率.66683.2随机变量及其概率分布.69723.3多维随机变量及其分布.
2、72743.4随机变量的数字特征.74773.5大数定律和中心极限定理.77803.6数理统计的基本概念.79g4-3.7参数估计.80S33.8假设检验.8386大学数学公式手册一-高等数学第 1 章 高 等 数 学1.1函数、极限、连续对座公式出理 评 念公式、定理、概念函数：设有两个变量X和y,变量x的定义域为。，如果对于。中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应,则称变量y为变量x的函数，记作：y =/(x)基本初等函数包括五类函数：1 幕函数:y =x(M e R);2指数函数y =a*(a 0且。/1);3 对数函数:y =l o g“x(且awl);4 三角函
3、数:如 y =s i n x,y =c o s x,y =t an x 等；5反三角函数:如y=ar c s i n x,y=ar c c o s x,y =ar c t an x 等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.1 l i m/(x)=A o (X o)=1/；(%)=AX T%2 l i m /(x)=A /*0)=A +(x),其中l i m a x =0 x-X a大学数学公式手册-高 等数学设 l i m f(x)=A 又 0(或A 0,当x e (%)-8,%+8),年工 与时，f(x)0(曲
4、(尤)0,则a(x)是(x)的k阶无穷小夕*)常用的等阶无穷小：当v f 耐s i n xar c s i n x1 1 21-c o s x xt an x2ar c t an x?1(l +x)n-1 -xl n(l +x)ner-l无穷小的性质(1)有限个无穷小的代数和为无穷小大学数学公式手册一-高等数学T h 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大lim/(x)=A/img(x)=B 则(1)lim(/(x)(x)=A B；(2)limjf(x)g(x)=A B；(3)lim =-(B 0)g(x)B1(夹逼定理)设在x0的邻域内，恒有仪x)V/(x)V欢x
5、),且 lim e(x)=lim 0(x)=A,则 lim f(x)=AX X T与 X T XQ2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限3 两个重要极限：(l)lim=1 (2)lim(l+x y=e.r 0 元 JV-0%,=tn重要公式：lim 4y:+3 +=.0；zn4 几个常用极限特例lim/n-1,lim arctan x=n o ox-+oo 2大学数学公式手册-一高等数学lim arc cot x=XTFlimeA=0,X T-0 0lim eA=oo,A-+X lim xx=1,x-+0+连续函数在闭区间上的性质：（1）（连续函数的有界性）设函数“X）在 a,h 上连续，则
6、“X）在。肉 上有界，即m 常数M 0,对任意的x e 凡目,恒有1 小（最值定理）设函数/（*）在 上 连 续，则在。上/（X）至少取得最大值与最小值各一次，即3,/7 使得：/=憾 7（力词;）=/，”词（3）（介值定理）若函数“X）在 a,上连续,是介于/（a）与f （b）（或最大值M 与最小值机）之间的任一实数，则在 a,可上至少三一个使得/）=.（a 4 4 4b）（4）（零点定理或根的存在性定理）设 函 和 在 l a 定1卜 连大学数学公式手册-一高等数学/=0.(9)1.2 一元函数微分学对应公式、定理、概念公式、定理、概念1导 数 定 义：尸(%)=1加 以 止 止 皿 (1
7、)x-0 X或)=iim 二 3 3 与 X -XQ2函数/(x)在x。处的左、右导数分别定义为：左导数：r(x0)=lim/(/亿)=lim/3一/3。)W=%+词右导Ar-0-AX x-石 X XQ数：f；(x0)=lim/0一 也=lim x)z/(承机”Ax 1 珀 x-%)T h l:函数f(x)在x()处可微=/*)在/处可导T h2:若函数y=/(x)在点与处可导，则y=f(幻在点/处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:/(%)存在 o(X 0)=(Xo)设函数/(x)在=不处 可 导，则/(尤)在M (%,%)处的切线方程：y -y0=f x0)(x-xa)法 线
8、 方 程：y-yQ=-(x-X o),/)0-f Uo)四则运算法则:设函数“=(X),v=Wx)在点X可导则大学数学公式手册一-高等数学小/、，v u u v/八、/、vdu-udv(3)(-)=(vO)d(一)=z-V V V V基本导数与微分表(1)y=c(常数)y =ody=0y=x=(a 为 实 数)/=axaldy=axa Xdxy=axyr=ax In dy=ax In adx特例(evy=eAJ(eA)=exdxy=：xn aJ1ay=-xlntzdx特 例y=nx(In=Xd(ln x)=dxX(5)y=sinxy=cos xJ(sinx)=COSAZZT(6)y=cosx/
9、=-sinxJ(cos x)=sin xdxy=tanxy,=-1；=sec 2xcos Xd(tan x)=sec2 xdx(8)y=cot xyf=-T：-=-esc2 xsin。J(cot x)=esc2 xdxy=secx/=secxtanxJ(sec x)=sec 工 tan xdx(10)y=esc 尤/=-cscxcotxd(esc x)=-esc x cot xdx(1 1)y=arcsin xJ(arcsin x)=dxVI-x2(1 2)y=arccosxy =-7 i-x2d(arccos x)=J dxV l-x2(1 3)y=arctan x 1 +x2d(arcta
10、n x)=dx+x(1 4)y=arccotxy=1+x2tZ(arc cot x)=-5dx1+x大学数学公式手册一-高等数学1反函数的运算法则：设y=/(幻在点大的某邻域内单调连续，在点X处可导且/(X)工0,则其反函数在点X所对应的)，处可导，并且有序=;d x d xd y2复合函数的运算法则:若=以幻在点x可导，而y =/(A)在对应点(4=?(幻河 导，则复合函数y =/(9(切在点X可导，且 y =/()”(x)3隐函数导数电的求法一般有三种方法：d x(1)方程两边对X求导，要记住y是X的函数，则y的函数是x的复合函数.例如工，/，I n y,e，等均是x的复合函数.y对X求导
11、应按复合函数连锁法则做.公式法.由尸(x,y)=0知 虫=_ *),其 中,F：(x,y),d x 耳(x,y)F(x,y)分别表示尸(x,y)对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性常用高阶导数公式(1)(优严=a，l n a (a 0)严=e*(2)(s i n kx)(n)=k s i n(f c v+n )2(3)(c os履)=k c os(履+:)_ 大学数学公式手册一-高等数学(5)(l n x)(w)=(-l)(n-1)(6)莱布尼兹公式：若(x),v(x)均阶可导,则(找严=2 c,，其中u(0=u,v(0)=v1=0T h l(费马定理)若函数/(尤)满足条件：函数/(x)
12、在与的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(.x)/(%),(2)/(x)在/处可导，则有 尸(x0)=OT h 2(罗尔定理)设函数/(x)满足条件：(1)在闭区间可上连续；(2)在他向内可导,则在(,3内m 一个g,使 r e)=oT h 3(拉格朗日中值定理)设函数/(x)满足条件：在 30上连续；(2)在(a,6)内可导;则在(a,b)内m 一 个 使baT h4(柯西中值定理)设函数/(x),g(x)满足条件：在 a,切上连续；(2)在(a,力内可导且/(X),g(x)均存在，且g，(x)w O则在(a,份内三一 个 八 使 半2g(b)-gd g)洛必达法则：法 则I (件)设函数
13、x),g(x)满足条件：lim/(x)=0,lim g(x)=0;/(x),g(x)在 xQ 的邻域内可导大学数学公式手册一-高等数学(在x0处可除外)且g，(x)。0 ：lim 54存在(或O 0).则f。g(x)r小)r小)hm;=hm-g(x)-0 g(x)法则r年型)设函数x)，g(x)满足条件：lim/(x)=0,即 g(x)=0 J一个 X 0,当 WX时，/(x)，g(x)可导，且 g(x)*0 ;lim 存在(或8).则l i m44=l i m g i.i g(x)法则n(?型)设函数x),g(x)满足条件：lim/(x)=o o,lim (x)=o o ;x),g(x)在/
14、的邻域内可X f”X .(x)ns in x =x-x3+3!+土 s in丝+上n2 5 +1)!./“7 1 +1 、或=x-x3+3!H-s in-F o(x )n 21X H7T +1大学数学公式手册-一高等数学或=1-X2+C O S +（7（XW）2!n 21 ,1 Rln（l+x）=x .v+x+（1 产%（一1）“尸-1-7九 （九 +1）（1 +）.或=x x2+x3 +（+r?（xz,）2 3 n八 、，,（？一+1）（1 +x）m=1 +/nr+-x2 4-+-xn2!n+?（加-1）（一+1）/（+夕 皿 或八 、，1?（?一 1）2（1 +x）=1 +rnx H-x
15、4-2!+x”+*，）7?!I 函数单调性的判断:T h l设函数/（x）在（,b）区间内可导，如果对Vxe（a,Z ）,都有/,（x）0（或/3 0）,则函数/（x）在（a,3 内是单调增加的（或单调减少）Th2（取极值的必要条件）设函数/（x）在 x0处可导，且在与处取极值，则/（）=0.Th3（取极值的第一充分条件）设函数/（x）在吃的某一邻域内可微,且 八%）=0（或/3）在 内处连续，但/（%）不存在.）若当X经过X。时，/（X）由“+”变则/（X。）为极大值；若当X经过z 时，八 X）由变“+”，则/（%）为极小值；大学数学公式手册-一高等数学Th4(取极值的第二充分条件)设f(x
16、)在点/处有了”(X)KO,且/1Uo)=O,则 当/”(x0)0 时，f(x0)为极小值.注：如 果/,(%)=(),此方法失效.2 渐近线的求法：水平渐近线 若 lim/(x)=&,或 lim/(x)=8,则)，=b称为函数)，=/(X)的水平渐近线.(2)铅直渐近线 若 lim/(x)=8,或 lim/(x)=8,则工=不X T而 X T 琉称为y=/(X)的铅直渐近线.(3)斜渐近线 若 a =lim/，),Z?=lim|/(x)-ar,则y=av+b 称为y=f(x)的斜渐近线3 函数凹凸性的判断：Thl(凹凸性的判别定理)若在I 上/(x)0),则/(x)在 I 上是凸的(或凹的).Th2(拐点的判别定理1)若在/处/(x)=0,(或/(x)不存在)，当x 变动经过与时，/(X)变号，则(题,/(七)为拐点./4 口 H AA.vt/il 1 4,v mn.-/v-H A A 廿 A n U-TT*B人 1=3.4 0,大学数学公式手册一-高等数学1 .弧微分：d S=+y,2d x.2.曲率：曲线y =/(x)在点Q,y)处的曲率2二 V v.(i+y,2)7对于参数方程
