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1、初高中数学衔接教材1 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。aa 0)正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0 的绝对值是0，即 时=0(a=0)-a(a 0)两个负数比较大小，绝对值大的反而小两个绝对值不等式:I xl 0)=x a(a0)u x +c)c i+b+c+2ab+2ac+2bc完全立方公式：(a b)3=/3/6 +3 ab2+b33 分解因式：把个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的
2、方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。关于方程ax=8解的讨论当aw 0时，方程有唯一解x=2；a当a=0,时，方程无解当a=0,6=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。5 二元一次方程组：(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。(4)解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法。6不等式与不等式组(1)不等式：用符不等号(、0A0方程有两根同号。cxx2=0、aA0方程有两根异号
3、=cXjX2=0、ah r韦达定理及应用：玉+马=a aVA _ y/b2-4acX 12=（玉 +x2）1 4 1 42-2XX2,x-x2=+x2）2-4x,x2x；+x；=(%)+x2)(x；-x,x2+%2)=(xi+x2)(xi+x2)2 _ 3 X j X2 8函数(1)变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。(2)一次函数：若两个变量y,x间的关系式可以表示成y=H +b(b 为 常 数,左不等于0)的形式，则称y是x的一次函数。当匕=0时，称y是x的正比例函数。(3)一次函数的图象及性质把一个函数的
4、自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数y=A x的图象是经过原点的一条直线。在一次函数中，当k 0,6 0,则经2、3、4象限；当 0忖，则 经1、2、4象限；当k 0,b 0,b 0时，则 经1、2、3象限。当%0时，y的值随x值的增大而增大，当上 0,I 1=0,-a,a 4.练 习1.填空：(1)若忖=5,则*=若 国=|一 4|,则x=(2)如 果 时+忖=5,且a=1,2 .选择题:下列叙述正确的是(A)若 同=网，则a =6(C)若a b,则同 5).贝ijb=；若|1一。|=2,则 =
5、()(B)若 同 b,则a(D)若同=问，则=。1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)3 6)=/一/；(2)完全平方公式(a b)2-a2 2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(a+b)(a2-ab+b2)-a3+b3；(a-b)(a2+ah+b2)-a3-b3；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+a c):(a+6)3=/+3/6+3/+凡(a-b f a3-3 a2b+3ah2-h3.对 上面列出的五个公式，有兴趣的同
6、学可以自己去证明.例 1 计算：(X+l)(x l)(x?X+1)(+X+1).例 2 已知。+匕 +。=4,ab+bc+ac=4,求。+/?一+厂的值.练 习1.填空：(1)-a2-b2=(-b +-a)()；9 4 2 3(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2 b-c)2=a2+4/?2+c2+().2.选择题：(1)若 f+J 加x+左是一个完全平方式，贝必等于2()2mA)z2m1-B)427 7.1-37、1 2(D)-一 m16(2)不论。，为何实数，/+/一 2。一4。+8 的值)(A)总是正数(C)可以是零(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数1.1.3.
7、二次根式一般地，形 如 正(0 2 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3 a+A/2+b+2b,da。等是无理式,而+x2+-J2xy+y2,J?等是有理式.1 .分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例 如 血 与收，3&与8,、6+C与 百 一 灰，263行 与26+3JL等等.一般地，与4，a4 x+b.Jy与-b j ，8与。五 一8互为有理化因式.分母有理化的方法是分母
8、和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 过 程 中，二 次 根 式 的 乘 法 可 参 照 多 项 式 乘 法 进 行，运 算 中 要 运 用 公 式五 布=疝3 2 0,6 2 0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化筒的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次 根 式 的 意 义必=同沁-a,a 0)；(3)j 4x 6 y(x 0).例 2 计算：7 3-(3-7 3).例3试
9、比较下列各组数的大小:（1）疝-J T T和 J i T J i。；（2）和2亚一瓜V 6+4例4化简：（6+/严 叫 /5-&产叫例 5 化简：(1)7 9-47 5:(2)Jxi H 2 2(0 x ,+3)2 的 值.练 习1.填空:(1)1 y/31+V 3(2)若 J(5-x)(x-3)2 =(x-3),则x 的取值范围是(3)4 7 2 4-6 7 5 4+3 -2 7 1 5 0=；若 A 字则Jx+1+JX 1+Jx+1+X 1Jx+1 _ yjX 12.选择题:等式J W=刀 旦 成 立 的 条 件 是N X-2 yJx 2)(A)(B)x 0 (C)x2(D)0 x ，或)
10、.1.1.4.分式1.分式的意义A A A形如一的式子，若 B 中含有字母，且则称一为分式.当MWO时，分式 具有下列性质:B B BA _ AxMB BxM；A _ AM加-B+M.上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式a像 一 工，空答1这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d 2mn+p例 1若，5x +4=二A+，B一,求 常 数 A,8 的值.x(x +2)x x +2例 2(1)试证：一=-一(其中n 是正整数);n(n+1)n H+1(2)计算:1 1-H-1 x 2 2 x 319 x 1 0+(3)证明：对任意大于1的正整数n,有一!一+一+1 l,2 c25a
11、 c+2 a2=0,求 e 的值.a练 习1.填空题：对任意的正整数n,1 =(1-)；(/2+2)n +22 .选择题:若生二2=2,则 三=x+y 3 y5(A)1 (B)一43 .正数x,y满足Y 一)J =2肛，一一 1 1 1)4 6(C)-(D)一5 5求 匕 的 值.x+y4.计算-1-1-F.H-.1x2 2 x3 3 x4 99x100习题1.1A组1.解不等式：(1)|x-l|3；(2)|x+3|+|x-2|6.2 .已知x+y =l,求/+9+3的值.3.填空:(1)(2 +0,2-6)1 9=；(2)若J(l _ a)2+J(l +a =2,则。的取值范围是(3)1+V
12、 2 yp2,+,/3 y/3 +V?yfi+V 5 V 5 +V 6B组1.填空:(1)an.3 a2 ah则-2 33 a 2+5帅-2/(2)若 犬+盯 一2 y2 =0,则x2+3盯+y22 2x+y2.已知：x=,y=,求 l 丫 /-y l 的值.C组1.选择题：(1)若 J-a-b-2,cib fb J-a,则(A)a h(C)a b 0(2)计算aE等于(A)J-a (B),u(C)-J-a2 .解方程2(/+与)-3(x+)1 =0.X X()(D)h a 0.于是(1)当b?-4a c 0时，方程的右端是个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-by/b2-4 ac(2)当
13、b?4a c=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根(3)当b 2-4a c 0时，方程有两个不相等的实数根 byjb2-4ac(2)当 A=0 时，方程有两个相等的实数根(3)当 A V0 时，方程没有实数根.例 1判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x23 x+3=0；(2)x-a x 1=0；(3)X2a x+(a 1)=0；(4)x22 x+a=0.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程a x2+b x+c=0(a H O)有两个实数根-b+Jh2-4ac-h-yjh2-4acx,=-,=-,1 2a 2
14、2a则有-b+b-4ac-b-b-4ac-2b bM +x,=-+-=-=；2a 2a 2a a-b+db2-4ac-b-y/b2-4ac b2-(b-4ac)4ac cY Y _ _ _ _1 2 2a 2a 4/4/a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：b c如果a x +b x+c=O (a W O)的两根分别是x”x2,那么xi +x2=，X i -x2=.这一关系也被称为韦达定理.a a特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程x2+px+q=0,若 X1,X 2 是其两根，山韦达定理可知X i +x2=p,X i X 2=q,即 p=(X 1+X 2),q=X i X 2
15、,所以，方程x2 +px+q=0 可 化 为 x2(xJ+x2)x+xi -x2=0,由于X i,X 2 是一元二次方程x-+p x+q=O 的两根，所以，X i,X 2 也是一元二次方程x?(xi +x2)x+xi X 2 =0.因此有以两个数X”X 2 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是XJ(X 1+X 2)x+xi x2=0.例 2 已知方程5%2+&*-6=0的 一个根是2,求它的另一个根及k的值.例 3 已知关于x 的方程x2+2(m-2)x+m 2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2 1,求 m的值.例 4已知两个数的和为4,积为一 12,求这两个数.
16、例 5 若 也和 我分别是一元二次方程2(+5*-3=0 的两根.(1)求|X 1X 2 I 的值；(2)求v +-L的值；xj x2(3)xiJ+x23.说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 X 和 X 2 分别是一元二次方程ax 2+bx +c=0 (a#0),则-b+yjh2-4ac-h-y/b2-4ac再,x22a2a,-b+yJb-4ac-h y/b-4ac 2-Jb2-4acX i x2|=|-=-2a 2a la于是有下面的结论：若 x i 和 X 2 分别是一元二次方程 ax +bx +c u。(a W O),则 I X|X 2 I=(其 中 =b-4ac).I a I例 6 若关于x的一元二次方程x 2 x+a 4=O 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围.练 习1.选择题：(1)方程一一26h+3/=0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若 关 于 x 的 方 程 m x2+(2 m+l)x
