四川大学考研真题

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1、四川大学一九九七年攻立就士学位Sf变生试基辔玄舁于鬲等代致澧用专忆 至也数学三.用我学 甘真我学布无方存：以上专文叁三究二河一.（1场）设 11（X）.：3（X），一 二-I;工 1 a二 至多卓父，吉a-I.二 一 2v xi*;r 讨,fao I 0工、-证明：X-1 I fu（x）；k）S _ _1 A tC*衣r*9 /行i.ft*-拧*r-,.三（1年）登？方三百左莅.二=：，?=xn SA=-A S S XatrA-X at,3.Ui江瑁：S为巨然致，呈手三5人 毛 整 与 与 式&三？。-nh三:A：i a,四.（】铝 行 WAWRI X,控w7 r专生5=可 率 三 韭：AZ.

2、mw一第4=3 AA为正定建（A表A式于文空1.三(2 6 )是欧氏空同V的一个城拄交类，且代在一标准正交三下为电苒为i 2 1 1 -1 A=L 2 -i 1 ：.17 2 1i -I 1 1 2 Ii(1)三翡：i延与王竺)，耳，若 线性相关J2)本厂为一行准工文三，凌丹在识3下更户为对盍国R.XIS-T T：烹：；古堂W P上美n裹域性至间，#是V上的线芒变狡，若)r iin?*V d in凭=V;二.五殂：fl)=a R Ti rs)当左K聿：(v,熨务于空 网.-.W =，同V +L(a)C(,T (0)+L”)为金主大亍三芹求卬的一人壬.四川大学一九九八年攻读硕士学位研究4小学考试

3、试题考为斗目：高等代我.适用Wh研究方向：革 础 教 学.血 眯 学、以上专业各研究方向1.(1 0 分)ft f(x)*0 6 P(x .f(x)-*f(x)1 f.(x).证明：x?-a 1 f(x).2.*1 6 分)设A G P ,x n,证明：对任意矩防B W P一，矩阱方程A X-B ffM r a n kA-s 3.1 1 6 兮设V是数域P：的n维线性空间，A是V!：的线性变换，证明：A在 的任意系F的布烟情同 A罡数乘变掩*4.(1 6 分、设A、B都为n /实对称矩咫，沌明：A H=B A 存在讦交矩阱T,使与B T同为时角阵.设 c、，a.”.与 0 ,F.。、隆 n 维

4、欧氏空间V的两个标尚1咬 茎，:，金2,力；.3n=l/k(,-。，、：仟给 W J.先义，(),，T(n r)1,rt.论 f(:“，x ._ _ _ x.,)hn.L x.!it-5 1 X X,b为赤辈实物.泗 gkjwn.1、硼定m 、b的定假市4 1,W?f(xx,x.，x八为正定二次型.c 求正交变换竹 仃一 x,.x j化力壮徘影9q斗 大 学2。年攻读硬土学位研究生入学考试试H考试制目：遗明6：4 0 敷学.限用数学.计尊依拿.霰率论与数理统计.士号学与控怆碉穴方向：a 上，业善方网一(12分X”下大多式在有理依域上的可花住.并说明理fig/(x)x,+6x+1；二(12分1次

5、才是一个力取方陆./a A 的体M J 3 果宇我”雄隼零列为1 1 a.瑞足,彳。，0 量期,拿 齐 次 戏 愫 方 程 设 有 第=皿 q=”-：三(23分、设A 1 I4 位欧氏的，上於一个线性受鼻.A 左V 中差_ 近妨盘正交割.,.0 4 下 皿 5为，(1 2 2 2 宋正文爬峰兀便理厂4 7 为封京而遗簿力”的T棋 正 外 4&册民点A 在“下 的 第 即初角部雄秀。二分 收;是 建欧氏仝RAB是y 上的再个对/支1 L C.P 上的 一 反 评 Et AAC*了 上箝.在交裳 上圮v中长患因直a.A JT(A a/K ro?:.t(7i-)+rank(A+4)=n.六(i2分)

6、.设黄是恭城户上的段性空间,A是。上的一个线性变换.并设/(X),g(X)G 尸 且(/(x),g(x)=l.证明：若&工0)6匕则(A)a与g(A)c至少有一个不为学.七(12分)设A,B是两个”阶实对称正定矩阵，证明：AB是实对称矩阵O AB黑实对称正定姮阵.六（12处 设数域P上有1反 维 性 交 向V为 子 轲 匕 和 心 的 反 和.W =L（a ）V史 _ 告何，犷 c 匕=0,JF r K=.求于交河S=。；不）r）（r,+甲）时维聂；并求U S的T 0基.七（18分设厂是聂域产上n维线性空间.,4为V的线性变换1.4的短小多项式mG.）=z.*-aj.-a _ I-a左P上不可

7、约.（1）。分）证明：尸不能分解成两个非平凡4-于交向的耳和；Q）C为 证 明:y S q，4,c-MG=lJ.-,n-l）:2分）求 在上述至J%j 下 的 螭 You are encouraged to answer ihe fallowing qucaon in English.八(8 分X Let 4，a”,q be different integers.Prove at the polynomial/(x)=(x-alX x-a:)-(x-aM)-h1is irreducible 妁)or a square of some poiynomiaover the ratiocai num

8、ber field.a四 川 大 学2002年 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题考试科目，高等代数科目代号：43 2 适用专业，基础数学.计算数学、应用教学.展室论与数理统计（本武器共2 其）f答案必须玛在试卷上，写在试题上不冷分）一、（本息满分24分，每小题8 分）解答下列专题.1.证明多项式工）=3 -5工+1 在有理数域Q 上不可约.2,设.4 为 n 阶 方 阵 且/+A=2 E.其中E 为”阶单位矩阵.证明；r（A-）+t（A+2E）=n,其中r（A）表示矩阵4 的秩.3.设 n 维线性空间V 上的线性变换T 璘足，T2=T.证明T、E 可逆，其中E 为恒等

9、变换.二、（本题满分12分）设13 10|21 16)求 420叫三.（本题满分12分）设V是数域F上的三维线性空间.证明，不存在I，的线性变换T使得T在 的两组基下的矩阵分别为：.（本题满分12分）设。.3 c是三次方程工3+3工-1=0的根，求。-中十:的值.本题满分16分）利用正交变换将二次型/（11，%，工3）=外叫+工 3 +22的化为标准形，并写出相应的正交变换和标选形.六、（本题满分12分，每小题6分）设48是n阶实正交矩阵，t为矩阵的特征根-1的重数.证明：1.det（B）=1的充要条件是t为偶数.2.A+8 的秩 r（.4+B）=n-t.七、（4理满分12分）设.,心 ,为欧

10、氏空间V的一组线性无关向量，而国,达,嬴 和）1门2，.为V的两组正交向量组.假设对每个1 S i g m,凡 和%均可以由,02,.线性表出.证明，存在m个实数。卜。2,“E 使 福 0i=a.7i,1 i .共 20分 闻/（上）在（1.+M 上单调速武旦/7 7 住 也收敛.1.证明，Am,一了/（）a 0；2.看 i 一+8时/（x）t 0 且 f（x）建M,证 期/T*H3a 也收式三,峰 小 题 10分，关 2 0 分）1.被对每个正整数n.小 *（0,11内的单医递“连罐函数，且/3 7%住）=1.证则若10 n 收 敛.M 1/ir r ij .=；1*1 12.E 7焉 出E

11、 M 本黑上分15分）收 y=/（x）在 ”+0+力 上 3E.证明，/(“*如 u)d S =27/(3 a1 /工 ；du.其 中 S 为单位球BL/+五.(本是满分2 0 分)】.设武土)为首一的n次多项式，对任意的aa,计算行列式，Mf(a)n)./叫 a)/r(a)尸尸i)/叫 a)尸 尸(a).产)2.把对称多项式/(x p，一 xn)=r*+x i+.+4 表示成初等对称专项式的多项式.六本意满分1 5 分)设A是一个n阶方阵，八的秩为r(.A).t r(.4)表示A的迹，即 A的主对角元素之和.1 .求证：r(A)u.O,-.u,A。、定兴f g二-Ciy 十十。内*.HE,，

12、/(x)=q叫 叫 凡.m,_ y /(x)=m a x(a n,a j.-20 分,/U)E(0.l h llt t I C i.:/0)=0.o r(*)ii a =y.8二 y：（3）u 石 电./=“1 ：,存在一盒f E （。,b）怏褥/=0.如计算g苧学芍其中S为M球而一y *二：，I I；.瓦C ：）冷（力e川土学2005年 埃 北 孽 士 学 位 研 究 生 人 学 才 玳 试 题 /*毁学分析，高等代fit和口久马52A,型 组 数 学.itN被 等.必 备 税 与 筮 理 籍 计，应洱担学.诺 婢 学 与 浸 利 金.不 雄 定 性 心 蓬 的 曾 学.信包算全（玫,兵 义

13、）（巨 史 fr 也注Mt跳 上,耳 衣 武 不“）uin：松#分为商。九.教学分析.分（第 至第g 1）in.嘉 中t敷.图分（充六居羊，十二）教学分析分.罐分其suiai.（本总满分is分 冰 籁 黑H rn sin-yT 0璃 分IS分定为0到 x j .比：师一5”鼎0。+二）=C$4n幸!叫。二，本演分力分/in 二重审分 R dxdy N中。由jr+y v l./=x.x=0所IM网、(4H*分 15夕用 y a c b c田./共&上二*4号.*/在(1改$孤）=1,科居八动#,。：3-、：W三F-：泞二算雯二M.3.1。分）&%知 巧 是 多 以 式.*二二二会三以 求一八三？

14、:多二式 ，使博它的全5 程先：一二议川式了）是欢城？上的金了彳：下=十=二二*/T椅迂多斗式.二：二分;尤任意式二；：笠，】孑齐麦误2 T 五建U/!，V-A6W2.（I。分）还喇：C纥亍三匚之一 夏3*）在 F上不可的.求d im j E：1-52 -2 2；，（10分）&/-2-I 4,中三意式xMM（x l或丫入H d r w*1 2 4-1J三、及 M式 了）是政城F 上短全4 K 丁三=电 八 二 气 当4 I,G、,W二三*TT:M,-M F 为 X i.4 V F.V w l（7）.L（5 分）i l 明：T 是 M,（F）上的今色身去.2.（10分）证明：。是4 的一个管笠像

15、二旦人二。g 是T 的一个粉注0L3.（10分）设a 作为A的将衽依的儿复*2：%E,季。作力T 的筹三嗔？7二一直殴（注，持征值的几何录故就是溟有在工的存证于至台归建文1 Ml四、数或F上的一个方阵1称为新军的，如果存在正链数A使得X ,0.1.（5分）设应8为可交堂的力阶幕零方阵.证明：4 +B也是哥零的.举例说明,存在阶寨零矩阵4 5使 得 不 是 暮 零 的.2.（S分）设4 8为舞阶方阵且1 8是累岑的.证明：6/也是零零的.举例说单，存在阶再零矩阵工8使得4 8不是某写的.3.（5分）设数域F上的阶方阵满足.广、0,但4 1 0.证明：久存在数域F上的月阶方阵B，使得4.15分 设

16、/为实对称矩阵.证明：才是等零总当口仅当/=0.:三.摒答下列各题.1.氏分）证明，”阶实对称矩阵妁特征但一定是实数.2.（15分）证明如下的定理：对任意”给实对称矩阵d,都存在正交阳年7 使纤厂F T为对角阵.X?”阶实对孙矩生d,如何求上述正交阵T?3.（5分）举例说明.复对称矩阵不一定能相低于一个对单冲.六、设，为”阶正定柜库.工（5分）证明：对任意整数长,4也是正定运（S.2.15分）证明：存在R”上的一个内积（,），使得（.）在T的某个号下的度笈JR.A，-rT/*i/3.（10分）对任意n x E 型笆实矩阵B,证殳：树 仍=树 阴 他.七、设y是线域5上的“堆发色空间，/：ix P F是r上？j一个双发性为软.工（5分闪任意a e V,定义映射T j y f F为l 7；（Z?）=/（a，Z J）e?.仔意夕匕匕证明：7。是上的级性函数.I2.（8分）设/是非退化的.定义映射：/1厂为：a f 任尊a=.证明；。是同构映好,其中广是P的对偶空间.