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1、习题111 1-1.直角三角形ABC的A点上，有电荷qlq2 4.8 1091.8 109C，B点上有电荷0.03mC,试求C点的电场强度（设BC0.04m，ACi）解：q l在C点产生的场强：Elql4 OrACq229j24 0rBq2在C点产生的场强：C44E EE 2.7 lQil.8 lOj；12，C 点的电场强度:E2C点的合场强：E3.24 104V 1.833.7 3342m2.7方向如图：。11-2.用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm,电量为3.12109c和方向。xl 2 rd 3.12m解：棒长为，arctan1.电荷线密度：可利用补偿法，若有一均匀
2、带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0,有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d 0.02m长的带电棒在该点产生的场强,即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在。点产生的场强。解法 1：利用微元积分：dEOx EO14 0q1.0 io9C m1RdR2cos4OR2解法2：直接利用点电荷场强公式:cos d4 OR2sind4 OR20.72V m1由于dr，该小段可看成点电荷：q dEOq22.0 10l lC4 0R(0.5)则圆心处场强：。方向由圆心指向缝隙处。11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷 线 密 度 为，四分之一-圆弧A B的半径为R,
3、试求圆9.0 1092.0 101120.72V m1心O点的场强。解：以。为坐标原点建立xO y坐标，如图所示。对于半无限长导线A 在O点的场强：E(coscos)Ax4 R2 0E(sinsin)Ay4 R20 有：对于半无限跨导线B在 O 点的场强:E(sin sin)Bx4 R2 0E(coscos)By4 R20 有：Ey对于ABEABx E ABy圆弧在O 点的场强：有:cos d204 OR4 OR2(sin2sin)4 ORsin d4 OR(cos2cos).总场强:EOx4 OREOy4 OR,得：EO4 OR(ij)045 o或写成场强：11-4.个半径为R的均匀带电半圆
4、形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为,求环心处。点的场强E。E解：电荷元dq产生的场为：根据对称性有：dEEydEdq4 OR20，则：2dExdEsinRsin d4 OR E2 OR2 O R o方向沿x轴正向。即：1 1-5.带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为 sin，式中 为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心O处的电场强度。解：如图,dEdl4 OR2Osin d4 ORdEx dEcos dEy dEsin考虑到对称性，有：Ex0；8 O R,二方向沿y轴负向。11-6.一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心O处的电场强度。解：如图，把球面
5、分割成许多球面环带，环带宽为dl Rd,所带电荷：dq 2 r dl。4 OR4 OREdEydEsinOsin d20(lcos2)d20dExdq32 rxdl3利用例11-3结论，有:dE4O(xr)2224 0 2 Reos Rsin Rd 4 0(Rsin,)(Rcos)222 ，E 4 0,/.E2 0化简计算得：201sin2 d 24 01 1-7.图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即 图 线（设原点在带电平板的中央平面上，O x轴垂直于平板）。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S 1为高
6、斯面，dE dS 2E Sx q 2x SS 2 时，由当和，1有：当Ex 0S2dx2时，由E dS 2E S和 q 2d S,X2 O o图像见右。有：1 1-8.在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面（如图所示），平面到q的距离为d,试计算通过该平面的E的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、A B为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。Ed【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r,有球冠面-一 条微元同心圆带面积为：dS2 rsin rd，球冠面的面积:2 r(l2SO2 rsin rd 2 rcos2Ocosdrdr)2.球面面积为：S球 面4 r球冠,通过闭合球面
7、的电通量为：12（1dr）q闭合球面qo9由：球面S球面S球冠，球冠0q2 0（11 1-9.在半径为R的“无限长 直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为p，求圆柱体内、外的场强分布，并作Er关系曲线。解：由高斯定律长为1的高斯面。（1）当r R时，（2）当r R时，1E dS0qS内i,考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r,E2 rl Erl 02r2 0，有22 rl ERl 0,则:E2 (r R)0E 2R (r R)2 Or 即：；r图见右。1 1-1 0.半径为R I 和 R 2 (R I R 2)的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有 电 量 和，试求：(1)r R 1；(2)R I r R
8、 2；(3)r R 2 处各点的场强。解：利用高斯定律：S1E d S0qS内1 0(1)r R 1 时，高斯面内不包括电荷，所以：E 1 0；(2)R I r R 2 时,利用高斯定律及对称性，有：E 22 r l E 2，则：2 Or(3)r R 2 时，利用高斯定律及对称性，有：2 r l E 3E 0 任 E r 2 0 r E 0 即：r R 1 R 1 r R 2 r R 2 0,则：E 3 0；。1 1-1 1.一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O,两球心间距离0 0 d,如图所示。求：(1)在球形空腔内，球
9、心O 处的电场强度E 0；(2)在球体内P点处的电场强度E,设 O、0、P三点在同一直径上，且OP do解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为 的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。(I)以0 为圆心，过0点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：，方向从。指向0;(2)过 P 点以0 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定理有：4 d3E dS dE Pl SI 033 0 4 d3E dSdE 0 SI 033 0,方向从。指向P,过 P 点以O 为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有：S23 r 43EP2 E dS r23 Od 03,E EP1EP2 3 0(
10、dr324d),方向从 O 指向 P。E cxill-12.设真空中静电场E 的分布为，式中c 为常量，求空间电荷的分布。S 有：E0 由高斯定理：dS exO SS IE dSqS内,设空间电荷的密度为(x),有：x0exO SxOO(x)Sdx 000/.0,可 见(x)为常数 0c。11-13.如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为R1和 R2,在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O 的电势.(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示,易知，环面圆半径为：r xtan(x)dxxOcdx2dldxcos2,环面圆宽：dxd
11、S 2 r dl 2 xtan2cos2利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上xO处电势的表达式:U 环14 02dxcos22 xtandU14 0dxcostan dx2 02x有：9xl RI cot2考虑到圆台上底的坐标为：，ux2 R2cotx2xl2 0tan2dx2 0tanR2cotRlcot22dx(R2R1)2 0o11-14.电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处(r R)P点的电势。解：利用高斯定律：1E dS Q330qs 内E 内Qr4 0RQ4 Or23(1)r R 时，(2)r R 时,4 rE 内ORQ；有：4 rE外20;有：E 外离球心r
12、 处(r R)的电势：UrUrRrE 内drQr23RE外dr,即：RrQr4 OR3drRQ4 Or2dr3Q8 OR8 OR11-15.图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为R 1,外表面半径为R 2.设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当r R时，因高斯面内不包围电荷，有：E11043(rRl)4 Or233当 RI r R2E3时，有：4333E2(rRl)3 Or233(R2R1)4 Or2当 r R 2时，有：R2R1(R2R1)3 Or23333以无穷远处为电势零点，有:UE2 drR2E3 drR2RI(rRl)3 Or233dr(R2R1)3
13、Or2R2dr2 0(R2R1)2211-16.电荷以相同的面密度.分布在半径为r110cm和 r22 0 cm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0 3 0 0 V o（1）求电荷面密度；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度 为多少?8.8 5 1 011 2C N2 1m2）解：（1）当r r时，因高斯面内不包围电荷，有:E当当，r l r r 2时，利用高斯定理可求得:E 3E 2r l O r2 29(r l r 2)O r22 2r r 2时，可求得：r 2 r l92 2U 0E 2 d rr 2E 3 d rr 2 r lr l O rr 2(r
14、 l r 2)O r922 2r0(r r 2)r l r 2 3 O 1 0 那么：(2)设外球面上放电后电荷密度则有:U05(r l y 2)/0 00 U 08.8 5 1 01 23 0 038.8 5 1 0 C m2r lr 22则应放掉电荷为：q 4 r 2 2()34 r 2 24 3.1 4 8.8 5 1 0 1 2 3 0 0 0.2 6.6 7 1 0 9 C 21 1-1 7.如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q,沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电 荷 线 密 度 为，长度为1,细线左端离球心距离为r 0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球
15、面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。解：(1)以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为：(r R)o取细线上的微元：d q d l d r.,.Fr p l rEq 4 O r2d F Edq,有：q 4 O x2d r”q l r4 O r O(r p l)-为r行方向上的单位矢量)Uq 4 O r(2).,均匀带电球面在球面外的电势分布为:为电势零点)。（r R,dr对细线上的微元dq d r,所具有的电势能为：Wq4 0dWq4 Orrr4 OrO o/.p与E之11-18.一电偶极子的电矩为p,放在场强为E的匀强电场中
16、，间 夹 角 为，如图所示.若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，外力需作功多少？解：由功的表示式：dA Mdr01drqInrplM p E考虑到:,有：ApEsin d 2pEcos11-19.如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为（0）今有一质量为m,电荷为q的粒子（q 0）沿圆板轴线（x轴）方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为v 0,求粒子击中圆板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x 0处产生的电势为:u2 0 x0),那么,122UOb UOUb 2 0(Rbl,12mv02由能量守恒定律，2有：v v02mv 2mvO(qUOb)2q 2 0(Rb,q m 0(RbRb)2思考题1111-1.两个点电荷分别带电q 和 2 q,相距1,试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零？qQ答：由 4 0 x2 2qQ4 0(1x)2,解得：x 11),即离点电荷q 的距离为 11)。11-2.下列儿个说法中哪一个是正确的？(A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受
