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1、A 题：C教快速撤离的数学模型研究名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -C教快速撤离的数学模型研究摘要：结合我校 C教学楼的具体情况,在实际考察的前提下，测量出了各个楼梯、楼道及各个出口的宽度等实际数据。由于C教学楼有五个出口，以就近原则，把整个教学楼分成五个逃生通道（分法在图上以及下文已经阐明）。首先，在理想模型下，在不考虑进入教学楼的人流影响下，运用Pauls 的经验公式和 Predtechnskii等人的观测资料计算出人员流动密度以及人员流动速度V,求出人体流量 Q。通过对 Q的分析，间接地引入了人流股数的概念。在计算逃生时间时，每个通道的逃生都分为了
2、稳定状态和混乱状态（定义的两个概念）。总时间有三个部分构成，反应时间、稳定状态时间和混乱状态持续时间。在求稳定状态时间和混乱时间的时候以人流股数为基础，以每层的楼道所能容纳的人数为一个定值，建立了一个动态流水模型。求混乱状态持续时间时候，由于处于混乱状态，理论速度与实际速度不服，根据实际情况可以将剩余教学楼内的所有人员视为均匀、连续的流体更科学、更切合实际，所以以稳定状态和混乱状态两个阶段为基础，建立数学模型来解决C教学楼失火问题。12其次，在计算完每个通道的逃生时间后，又以一楼、二楼为整体，求解出逃生时间，以及各个逃生通道需要逃生的人数来优化C 教逃生模型。与优化前以就近原则为基础的逃生方案
3、划分作比较。在理想假设和就近原则前提下，对人员拥挤的逃生通道的人数作出合理的调整。最后，建立数学模型理论的计算出在发生火灾的情况下，有组织的撤离时最有效的快速逃生方案和最少的的逃生时间。关键字：快速逃生、就近原则、人流股数、稳定状态、混乱状态名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -1 一、问题的提出近年来，诸如地震、火灾等突发事件时常发生。当灾难发生在某一特定的建筑物的时候,如果不能迅速让建筑物内的人员有组织、有秩序地疏散撤离将会造成严重的人员伤亡,严重威胁公众的生命安全。对于一个特定的建筑物,应急疏散是事关多数人生命的重大问题。当险情发生时,要在尽可能短的时
4、间内有组织、有秩序的组织人员疏散撤离,必须制定处最佳的疏散和撤离方案。通过提高疏散速度和特定的建筑物实际数据的分析,尽可能减少和避免人员伤亡。本着居安思危安全第一的态度，假设某一天上午，学生正在我校C 教学楼上课，突然该楼发生火灾，我们用数学建模的方法，给出一种使学生快速撤离C 教学楼的方案;并用此方案给出其第一、二层学生快速撤离的具体方案和所用时间，给学校提供合理的建议。二、基本假设和符号说明2.1 基本假设：1.疏散过程中人群以就近原则往临近的逃生通道逃跑，各自对逃生通道比较熟悉;2.所有人员在突发事件发生后同时疏散中途不退后；3.所有人员在疏散过程中不发生踩踏事件；4.在极度恐慌状态下，
5、同学们的行为没有失去理性，头脑依然清醒，不会选择其它出口逃跑或者跳楼或爬窗逃生；5.全部被疏散员的反应时间是一样的，在反应时间内个通道已经彻底打开；6.学生在水平通道和斜直通道行走时间隔均匀，且在两个通道上时行进速度各自保持不变。7.C教接收通知的设备完好无缺。8.学生具有相同的身体特征，都具有足够的身体条件跑到安全地点；9.我们设定一个安全撤离时间，即如果在2分钟内人员不能完全撤离就算是撤离失败。10.C教A区走到可视为水平，忽略部分小台阶。2.2 符号说明：Ni第i 出口在达到混乱状态时候可以逃生的人数；iN第i 出口在优化模型理想情况下能够逃生的人数；从教室到走廊人员密度;V 从教室到走
6、廊人员的撤离速度；Q从教室到走廊人流量;dL教室门的宽度；eiL第i 个出口相对应的出口宽度wiL第i 个出口相对应的走廊宽度;siL第i 个出口相对应的楼梯宽度;liL第i 个出口相对应的走廊长度；ciL第i 个教室的宽度名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -2 ijN第i 个出口第 j 层楼道所能容纳的人数；Sij第i 个出口第 j 层楼道相对应的面积；0t人员撤离时需要的反应时间；1it第i 个出口第 1层达到稳定状态需要的时间；2t对应逃生出口在混乱状态下持续的时间；2ti第i 个出口第 2层达到稳定状态需要的时间；1t总第i 个逃生通道逃生完毕所需
7、要的逃生总时间；M 教学楼大厅所能容纳的人数；S 教学楼大厅的面积三、模型建立3.1 人流密度人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度,通常是指单位面积内分布的人员的数目。通过查阅相关文献3 可知人流密度：0*(1)*)*2wn sndn W,n 为一定面积的总人数,S为单位水平投影面积,0d为人流间的间距,W为人流间的厚度,w为疏散通道宽度。3.2 行走速度我们知道人在危险时刻下行走速度会比正常情况下快。经查阅文献资料4可知，正常时情况下行走速度：432(112*380*432*217*57)60V,一般00.9,当人流密度达到或超过这一数值时,人流便会出现拥挤或堵塞。紧急危险情况下人流在水平
8、通道内的行走速度为：*VV实式中,1.490.36。3.3 疏散速度疏散速度是指人流疏散整体的行进速度。经过大量研究表明5，人流疏散速度是人流密度的函数：()Vf=max*(1)mV名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -3 说明：m为单位面积内容纳的最多人数；maxV为行走时的最大速度。由于性别、年龄、身体条件的不同，被疏散人员的能力也各有不同。为简化起见,我们将楼栋里的人群视为人流处理,并具有一定的密度、速度V及流量Q,而不单独考虑人群内各个人员的具体特征。上图显示了在不同疏散路线上人员行走速度与人员密度的关系。假设教学楼中配备有完整的火情警报系统以及消防
9、设备，通风良好。C教学楼中，学生上课用的教室各楼层之间的分布基本上很有规律的，一层的平面图如图上图所示。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -4 经实际测量：出口宽度：16.8eLm、22.8eLm、34.2eLm、41.4eLm、52.2eLm；楼梯宽度：12sLm、21.6sLm、31.6sLm、41.6sLm、51.6sLm；走廊宽度：14.2wLm、(25)2.6wLm；门的宽度：=0.9mdL单、d=1.6mL双；教室的长度：c1L=8.6m、2L10.8cm、3L15.3cm、416cLm按普通教室 95%，大教室90%的就座率，考虑到有的教室可
10、能没有课程，各个部分的实际人数再乘以 80%，粗略估计得出实际本楼层上课人数，有结论如图：一二层人数总数统计楼层理论总人数估计实际总人数一楼880 641 二楼1150 835 由已知假设，教室内，C楼中有统一的警报设备和合理指挥以保证同学们可以第一时间接到警报迅速撤离，火灾发生后，火灾所在教室有一个反应时间为0t，然后撤离事故现场，其余教室在同一时间接到警报撤离，大约花费 30秒，在此时间内各个通道完全打开。设从教室撤离人流密度为，撤离速度为V，人流量为Q。*Q LV,全部人员撤离完毕所用的时间为t总，收到人员反应时间0t，一楼从开始逃生到达到混乱状态的时间为1it，混乱状态持续时间为2t，
11、则总时间：每层的教室个数及座位数实际参数楼层教室数量座位一楼教室1 4 40 教室2 5 80 教室3 2 160 二楼教室1 4 40 教室2 4 80 教室3 2 160 教室4 1 350 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -5 20ttii总四、模型求解定义1：人流股数：每秒可以宽度为0.9m的通道的人数。定义2：稳定状态：从开始逃生到人员充满楼道的阶段。混乱状态：从楼道被充满至人员全部撤离的阶段。4.1 出口1 所用时间：（以就近原则，线 A右面 1、2层（见 C教平面图）1.反应时间0t：设0t=30s为火灾发生后学生的反应时间。2.从教室楼道
12、：有1=3*0.5*(2*0.5+3*1)*0.45=2.7000个/2m故可取 w=int2，用matlab 计算可得，1V=(112*w4-380*w3+434*w2-217*w+57)/60=1.8500m/s*VV实，查阅相关文献可知，在危险情况下V实受到的影响，1.490.361Q=dL*1*1V=1*0.518*1.85*2.7=2.5874个/2m有以上数据可知，通过宽度为0.9m的通道时的人流股数为 2。经过实践调查，以及根据以上数据分析假定：通道一出口稳定前人流股数为5，稳定后的人流股数 8。通道二出口稳定前人流股数为2，稳定后的人流股数 4。通道三出口稳定前人流股数为3，稳
13、定后的人流股数 6。通道四出口稳定前人流股数为1，稳定后的人流股数 2。通道五出口稳定前人流股数为2，稳定后的人流股数 4。我们先从 2楼开始考虑，2wL=4.2m，2lL=15.6m可得2cS=65.522m。以2人/2m计算=13 人。一二层出口人数统计出口楼层1 2 3 4 5 总计一楼146 173 173 58 91 641 二楼179 173 299 58 126 835 各通道需要逃生人数325 346 472 116 217 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -6 设通道一 2楼楼道达到论乱时候需要的时间为21t，有流水模型，有的同学从教室
14、往外出，有的同学从楼梯往下走，但是楼道的容量是一个定值，可知2cN=2*（2*21t+4*2*21t）-321t求解可得：21t=7.6471s 可知，每个教室两个单开门门，单开门人流股数为 2，教室2在到达混乱状态时出来了 32=2*2*8人，同时我们可得，二楼每个教室在达到稳定状态时候能够从教室走到走廊上的人数。例如，教室1可以出来 32人。一楼：同样利用流水模型，有的同学往一楼下，一楼的同学往楼道上走，有的同学已经逃离教学楼，但楼道的容量仍是一个定值，S为大厅门口处的面积。由于一楼人数较多，外部影响因素比较复杂，故通过6.8m门宽的人流股数为 5，经过实际测量 S=7*19=1332m，
15、它理论可容纳的人数 M 为266人，实际容纳人数为理论的 50%，即133人。1cN=2cN+M=266 人，1cN=2*（2*11t+2*2*11t）+311t-5*11t可得：11t=26s 分析可知：经过大概 26 s 时，1出口的一楼楼道已经充满了人，已经进入一个近似的均匀连续状态，即混乱状态。在达到混乱状态时可以逃生的人数为：1N=26*5=130人在混乱状态下，经过设计调查一般行人人的速度为7375m/min，“拥挤状态下的人流模型”定量的给出了人流股数为：8人/s。2t=(146+179-130)/8=24.3750s 1012t=ttt总=30s+26+24.3750s=80s
16、。4.2 出口 2 所用时间：(以就近原则，为 A线左边 1、2楼部分（见 C 教平面图）)先从二楼开始计算，东西方向：2lL=30m，2wL=2.6m，南北方向：2lL=45m，2wL=2.6m，故22S=75*2.6=1952m,依照通道一的计算方法同理可得：22N=195*2=390 人设设通二 2楼楼道达到论乱时候需要的时间为22t22N=2*3*2*22t-222t，22t=39s 设设通二 2楼楼道达到论乱时候需要的时间为12t21N=22N=2*3*2*12t+212t-212t名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -7 12t=32.5s 2N=2*32.5=65 人2t=（173+173-65）/4=70.2500s 1022t=ttt总=30+32.5+70.2500=133s 4.3 出口 3 所用时间：(以就近原则，为 B、C线之间 1、2楼部分（见 C教平面图）)从二楼开始考虑，2.6wALm，2cS=2.6*（15.3/2+15.3）+16*5=1402m，以 2人/2m计算，2cN=280人。由流水模型，同理可列：32N=
