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1、4.1 填空题（1）如果序列)(nx是一长度为 64 点的有限长序列)630(n，序列)(nh是一长度为 128 点的有限长序列)1270(n，记)()()(nhnxny（线性卷积），则)(ny为点的序列，如果采用基FFT2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则 FFT 的点数至少为点。解：64+128-1191 点;256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100 s，每次复加需20 s，今用来计算 N=1024 点的 DFT)(nx。问直接运算需（）时间，用 FFT运算需要（）时间。解：直接运算：需复数乘法2N次，复数加法）（1NN次。直接运算所用计算时间1T为ssNNNT808
2、64.12512580864020110021）（基 2FFT 运算：需复数乘法NN2log2次，复数加法NN2log次。用 FFT 计算 1024点 DTF 所需计算时间2T为ssNNNNT7168.071680020log100log2222。(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换和利用旋转因子kNje2的来减少计算量，其特点是_、_和_。解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置（4）N点的 FFT的运算量为复乘、复加。解：NNLNmF2log22；NNNLaF2log4.2 选择题1 在基 2DITFFT运算中通过不断地将长序列的DFT分解成短序列的 DFT，最后达到
3、2 点 DFT 来降低运算量。若有一个64 点的序列进行基2DITFFT 运算，需要分解次，方能完成运算。A.32 B.6 C.16 D.8 解：B 2在基 2 DITFFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -点数 N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为。A.8 B.16 C.1 D.4 解：C 3在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。在16 点 FFT 中，原来 x(9)的位置扰乱后信号为：。A x(7)B.x(9)C.x(1)D.x(15)解：B 4.用按
4、时间抽取 FFT 计算 N 点 DFT 所需的复数乘法次数与()成正比。A.N B.N2C.N3 D.Nlog2N 解：D 5.直接计算 N 点 DFT 所需的复数乘法次数与()成正比。A.N B.N2C.N3 D.Nlog2N 解：B 6.N 点 FFT 所需的复数乘法次数为()。A.N B.N2C.N3D.(N/2)log2N 解：D 7.下列关于 FFT 的说法中错误的是()。A.FFT 是一种新的变换 B.FFT 是 DFT 的快速算法 C.FFT 基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 D.基 2 FFT 要求序列的点数为2L(其中 L 为整数)解：A 8.不考虑某些旋转因子的特殊
5、性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为()。A.1 和 2 B.1 和 1 C.2 和 1 D.2 和 2 解：A 9计算 N=2L（L 为整数）点的按时间抽取基-2FFT 需要()级蝶形运算。AL B.L/2 C.N D.N/2 解：A 10.基-2 FFT 算法的基本运算单元为()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算解：A 11.计算 256点的按时间抽取基-2 FFT，在每一级有 _个蝶形。()A.256 B.1024 C.128 D.64 解：C 12.如图所示的运算流
6、图符号是_基2FFT 算法的蝶形运算流图符号。()A.按频率抽取B.按时间抽取C.A、B 项都是D.A、B 项都不是解：B 13.求序列 x(n)的 1024 点基 2FFT，需要 _次复数乘法。()A.1024 B.10241024 C.51210 D.102410 解：C 4.3 问答题1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。答：相同点：（1）进行原位运算（2）运算量相同，均为NN2log2次复乘、NN2log次复加；不同点：（1）时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况（2）蝶形运算不同2.回答以下问题：（1）画出按
7、时域抽取4N点基FFT2的信号流图。（2）利用流图计算 4 点序列)4,3,1,2()(nx（3,2,1,0n）的 D F T。（3）试写出利用 FFT 计算 IFFT 的步骤。解：（1）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -)0(x)1(x)2(x)3(x)0(X)1(X)2(X)3(X)0(0Q)1(0Q)0(1Q)1(1Q111jjkr001102W02W02W12Wkl001104W04W14W2304W04W04W24W34W4 点按时间抽取 FFT 流图加权系数（2）112)2()0()1(532)2()0()0(00 xxQxxQ341)3()1
8、()1(541)3()1()0(11xxQxxQ1055)0()0()0(10QQX31)1()1()1(1140jQWQX055)0()0()2(1240QWQXjQWQX31)1()1()3(1340即：3,2,1,0),31,0,31,10()(kjjkX（3）具体步骤如下：1）对)(kX取共轭，得)(*kX；2）对)(kX做 N 点 FFT；3）对 2）中结果取共轭并除以N。3.已知两个 N点实序列)(nx和)(ny得DFT分别为)(kX和)(kY，现在需要求出序列)(nx和)(ny，试用一次 N点IFFT运算来实现。解：依据题意)()(),()(kYnykXnx取序列)()()(kj
9、YkXkZ对)(kZ作 N 点 IFFT 可得序列)(nz。又根据 DFT 性质)()()()()()(njynxkYjIDFTkXIDFTkjYkXIDFT由原题可知，)(),(nynx都是实序列。再根据)()()(njynxnz，可得)(Im)()(Re)(nznynznx4.4 计算题1.对于长度为 8点的实序列)(nx，试问如何利用长度为 4点的FFT计算)(nx的8点DFT？写出其表达式，并画出简略流程图。解：708)()(nnkWnxkX名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -3,2,1,0),()()()()12()2(8304830430)12(
10、83028kkHWkGWrhWWrgWrxWrxkrrkkrrkrkrrrk30)4(44830)4(4)()()1(rkrkrkrWrhWWrgkX2,1,0),()()()(83048304kkHWkGWrhWWrgkrrkkrrk按照式和式可画出如下图所示的流程图。)2(x)4(x)6(x)1(x)3(x)5(x)7(x)1(G)2(G08)0(WH18)1(WH28)2(WH38)3(WH)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X111)0(G)0(X)0(x)3(G14点DFT4点DFT2.kX是N点序列)(nx的DFT，N为偶数。两个2N点序列定义为)122(211n
11、xnxnx120),122(212Nnnxnxnx1kX和2kX分别表示序列1nx和2nx的2N点DFT，试由1kX和2kX确定nxN点DFT。解：DFT1022120222NlmlNNkmkNWlxWkxkx（l 为偶数）)2(2121102NmXmXWWlxmlNNLlNN名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -DFT102121202 1212NllmNNkmkNWlxWkxkx）（l为奇数）mNmNmlNlNNNlWNmXmXWWWlx2(212)1(210120,2)1(41)1(411NmNmXWmXWmXmNmN120,2)1(41)1(412Nm
12、NmXWmXWmXmNmN解上述方程可得120,)1()1(21NmmXWmXWmXmNmN120,)1()1(221NmmXWmXWNmXmNmN3.已知长度为 2N 的实序列)(nx的 DFT)(kX的各个数值)12,.,1,0(Nk，现在需要由)(kX计算)(nx，为了提高效率，请设计用一次N 点 IFFT 来完成。解：如果将)(nx按奇偶分为两组，即令1,2,1,0)12()()2()(Nnnxnvnxnu那么就有1,2,1,0)()()()()()(22NkkVWkUNkXkVWkUkXkNkN其中)(kU、)(kV分别是实序列)(nu、)(nv的 N 点 DFT，)(kU、)(kV
13、可以由上式解出1,2,1,0)()(21)()()(21)(2NkNkXkXWkVNkXkXkUkN由于)12,.,1,0)(NkkX是已知的，因此可以将)(kX前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了)(kU和)(kV。令)()()(njvnuny根 据)(kU、)(kV，做 一 次 N 点 IFFT 运 算，就 可 以 同 时 得 到)(nu和)(nv)1,.,1,0(Nn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -它们分别是)(nx的偶数点和奇数点序列，于是序列)(nx)12,.,1,0(Nn也就求出了。4-7 采用 FFT 算法，可用快速卷积完成线性卷积。现
14、预计算线性卷积)()(nhnx，试写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。答：如果)(nx，)(nh的长度分别为1N,2N,那么用长度121NNN的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT 运算来求)()(nhnx值（快速卷积）的步骤如下：（1）对序列)(nx，)(nh补零至长为 N，使121NNN，并且MN2(M为整数)，即1,.1,01,.1,0)()(111NNNnNnnxnx1,.,1,01,.,1,0)()(222NNNnNnnhnh（2）用 FFT 计算)(nx，)(nh的离散傅立叶变换)()(kXnxFFT（N 点）)()(kHnhFFT（N 点）（3）计算)()()(kHkXkY（4
15、）用 IFFT 计算)(kY的离散傅立叶变换得：)()()(kYIFFTnhnx（N 点）4-8 试推导时域抽取基-2 FFT 算法，并画出 8 点的 FFT 计算流图。解：10NnkNnX kx n W2 12 121200221NNrkrkNNrrxr WxrW2 12 12200221NNrkrkkNNNrrxrWWxrW2 12 12200221NNrkkrkNNNrrxr WWxrWkNG kW Hk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -其中2 1202 120221NrkNrNrkNrG kxr WH kxrWG k和Hk分别是2xr和21xr的2N点的 DFT，周期为2N。所以：2NGkGk，2NHkH k又因为：222NjkNkkNNNWeW2222NkkNNNNNXkG kWHkG kW Hk所以222kNkNXkGkWHkNNNXkGkWHk，0,1,12Nk8 点的 FFT 计算流图见教材。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -
