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1、北京延庆县张山营中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0参考答案:A【考点】圆的切线方程【专题】计算题;直线与圆【分析】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程【解答】解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,所以=,所以b=5,所以所求直
2、线方程为:2x+y+5=0或2x+y5=0故选:A【点评】本题考查两条直线平行的判定,圆的切线方程,考查计算能力,是基础题2. 若关于x的不等式|x1|+|x2|log4a2恒成立,则实数a的取值范围为()A(2,2)B(,2)C(2,)D(2,0)(0,2)参考答案:D【考点】函数恒成立问题【分析】若不等式|x1|+|x2|k恒成立,只需 k小于|x1|+|x2|的最小值即可由绝对值的几何意义,求出|x1|+|x2|取得最小值1,得1log4a2求出a的范围【解答】解:若不等式|x1|+|x2|log4a2恒成立,只需log4a2小于等于|x1|+|x2|的最小值即可由绝对值的几何意义,|x
3、1|+|x2|表示在数轴上点x到1,2点的距离之和当点x在1,2点之间时(包括1,2点),即1x2时,|x1|+|x2|取得最小值1,1log4a2所以a24,a0,解得a(2,0)(0,2)故选:D3. 若,则( )A. 6B. 15C. 15D. 6参考答案:B【分析】对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算【详解】答案为B【点睛】本题考查了导数的计算,属于简单题.4. 用“辗转相除法”求得和的最大公约数是、 、 、 、参考答案:D5. 在棱长为1的正方体ABCD中,M和N分别为和的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是A B C D 参考答案:A略6. 二项式的展开式中含项的系数为
4、A B C D参考答案:D7. 已知回归方程为: =32x,若解释变量增加1个单位,则预报变量平均()A增加2个单位B减少2个单位C增加3个单位D减少3个单位参考答案:B【考点】BK:线性回归方程【分析】根据回归方程=32x的斜率为2,得出解释变量与预报变量之间的关系【解答】解:回归方程为=32x时,解释变量增加1个单位,则预报变量平均减少2个单位故选:B8. 用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a、b全为0(a、bR)”,其反设正确的是()Aa、b至少有一个不为0Ba、b至少有一个为0Ca、b全不为0Da、b中只有一个为0参考答案:A【考点】反证法与放缩法【分析】把要证的结论否定之后,即得
5、所求的反设【解答】解:由于“a、b全为0(a、bR)”的否定为:“a、b至少有一个不为0”,故选 A9. 曲线 的切线的斜率的取值范围是( )A. (- , 0) B. (0 , + ) C.(- ,+) D.( 0,1 )参考答案:B10. 已知点F为双曲线的右焦点,点P是双曲线右支上的一点,O为坐标原点,若,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D. 2参考答案:C【分析】记双曲线左焦点为,由,求出,根据双曲线的定义,即可得出结果.【详解】记双曲线左焦点为因为,又,所以在中,由余弦定理可得,所以,因为点是双曲线右支上的一点,由双曲线定义可得,所以,双曲线C的离心率为.故选C【点睛】本
6、题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列四个命题:若ab0,则 ;若ab0,则a b ;若ab0,则 ;若a0,b0,且2ab1,则 的最小值为9.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上) 参考答案: 略12. 在等比数列中, 若是方程的两根,则-=_.参考答案:-2 略13. 已知与圆相切,则=_参考答案:-6或-16略14. 集合,若,则的值为 .参考答案:4:,15. 若,则cos2=参考答案:【考点】GT:二倍角的余弦【分析】直接利用利用二倍角的余弦公式 cos2=12sin2,
7、把代入运算求得结果【解答】解:,则cos2=12sin2=12=,故答案为:【点评】本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值,属于基础题16. 数列的前项的和,则 参考答案:17. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,则不等式的解集是_ 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数f(x)=xlnxx2x+a(aR)在其定义域内有两个不同的极值点()求a的取值范围;()设两个极值点分别为x1,x2,证明:x1?x2e2参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值【分析】()由导数与极值的关系知可转化为方程f(x)=lnxax=0在(0,+
8、)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+)上有两个不同交点,或转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+)上有两个不同交点;或转化为g(x)=lnxax有两个不同零点,从而讨论求解;()问题等价于ln,令,则t1,设,根据函数的单调性证出结论即可【解答】解:()由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+),方程f(x)=0在(0,+)有两个不同根;即方程lnxax=0在(0,+)有两个不同根;(解法一)转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+)上有两个不同交点,如右图可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0ak令切点A(x0,ln
9、x0),故k=y|x=x0=,又k=,故 =,解得,x0=e,故k=,故0a(解法二)转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+)上有两个不同交点又g(x)=,即0xe时,g(x)0,xe时,g(x)0,故g(x)在(0,e)上单调增,在(e,+)上单调减故g(x)极大=g(e)=;又g(x)有且只有一个零点是1,且在x0时,g(x),在在x+时,g(x)0,故g(x)的草图如右图,可见,要想函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+)上有两个不同交点,只须0a(解法三)令g(x)=lnxax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,而g(x)=ax=(x0),若a0,可见g(x)0在(0
10、,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)单调增,此时g(x)不可能有两个不同零点若a0,在0x时,g(x)0,在x时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上单调增,在(,+)上单调减,从而g(x)极大=g()=ln1,又因为在x0时,g(x),在在x+时,g(x),于是只须:g(x)极大0,即ln10,所以0a综上所述,0a()由()可知x1,x2分别是方程lnxax=0的两个根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2,设x1x2,作差得ln=a(x1x2),即a=原不等式等价于ln,令,则t1,设,函数g(t)在(1,+)上单调递增,g(t)g(1)=0,即不等式成立,故所证不等式成立19. (
11、本题满分13分)已知两直线l1:mx8yn0和l2:2xmy10.试确定m、n的值,分别使(1)l1与l2相交于点P(m,1);(2)l1l2;(3)l1l2且l1在y轴上的截距为1.参考答案:20. 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD平面ABCD,F为PD的中点()求证:AF平面PCD;()求直线PB与平面ABF所成角的正切值参考答案:【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定【分析】()证明AF平面PCD,利用线面垂直的判定定理,只需证明AFPD,CDAF即可;()证明PBF为直线PB与平面ABF所成的角,求出PF,BF的长,
12、即可得出结论【解答】()证明:如图右,因为PAD是正三角形,F为PD中点,所以AFPD,因为底面ABCD为正方形,所以CDAD又因为平面PAD平面ABCD,且AD=面PAD面ABCD;所以CD平面PAD,而AF?平面PAD,所以CDAF,且CDPD=D,所以AF平面PCD;()解:由()证明可知,CD平面PAD,所以AB平面PAD因为PD?平面PAD,所以ABPD,又由()知AFPD,且AFAB=A,所以PD平面ABF,即PBF为直线PB与平面ABF所成的角AB=2,RtBAF中,所以,即求注若用等体积法,参照标准同样分步计分21. (本小题满分12分)已知点A(2,0),B(0,6),O为坐
13、标原点(1)若点C在线段OB上,且BAC=45,求ABC的面积.(2)若原点O关于直线AB的对称点为D,延长BD到P,且|PD|=2|BD|,求P点的坐标。(3)已知直线L:ax+10y+84-108=0经过P点,求直线L的倾斜角. 参考答案:解析:(1)设直线AC的斜率为k,则有直线AB到直线AC所成的角为45,即得到k=-2,所以-(3分 )(2)D()设点P(x,y)由2BD=PD有P-(6分)(3)P代入直线方程得到斜率k=-(3分)22. (本题满分12分) 如图,在正方体中,E、F分别是棱的中点()证明;()求与所成的角;()证明:面面.参考答案:方法1(坐标法解答前两问)(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系,设正方体的棱长为2a,则由条件可得 (1分)D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a