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1、2021年江苏省常州市市实验中学高二数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下面几种推理是合情推理的是 （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；（2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是A（1）（2） B（1）（3） C（1）（2）（4） D（2）（4）参考答案：C略2. 将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D.则
2、四面体ABCD的外接球的体积为( )A. B. C. D.参考答案：D3. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D参考答案：A4. 抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）A.(1,0) B. C.(0,1) D. 参考答案：D略5. 已知为椭圆上一点, 为椭圆的两个焦点，且,则( )A. B. C. D. 参考答案：C6. 已知等差数列中，则它的前9项和的值为( ) A144 B108 C72D54参考答案：C7. 复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）A. 1 B. i C. -1 D. - i 参考答案：C略8. 某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主
3、义核心价值观”作为关键词便于网民搜索此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A2倍以上，但不超过3倍 B3倍以上，但不超过4倍C4倍以上，但不超过5倍 D5倍以上，但不超过6倍参考答案：D9. 已知函数，则f（1+log23）的值为（ ）A B C D参考答案：B试题分析：由，故选B考点：分段函数的求值10. 一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( )A. B.C.D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面上一机器
4、人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=1的距离相等，若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是参考答案：k1或k1【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，=（2k24）24
5、k40，k1或k1故答案为：k1或k1【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题12. 已知，则 参考答案：24213. 若P为椭圆上任意一点, EF为圆的任意一条直径,则的取值范围是 .参考答案：5,21因为.又因为椭圆的，N(1,0)为椭圆的右焦点，.故答案为：5,21.14. 设，则、由小到大的顺序为 .参考答案：15. 如图1，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是_.参考答案：16. 若函数是实数集上的单调函数，则函数f(x)在区间1,1上的最大值与最小值的和的最小值为_.参考答案：
6、【分析】求出导数，分类讨论可得函数是实数集上的单调递增函数，由恒成立，可得，从而可得函数在区间上的最大值与最小值的和为，进而可得结果.【详解】因为，所以，若函数是实数集上的单调递减函数，则恒成立，不合题意；若函数是实数集上的单调递增函数，则恒成立，此时，函数在区间上递增，所以的最大值为，的最小值为，函数在区间上的最大值与最小值的和为，因为，所以，即函数在区间上的最大值与最小值的和的最小值为，故答案为.17. 已知动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为参考答案：3x2y2=12略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
7、18. 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，E是BC中点，F是PC上的点.（1）求证：平面AEF平面PAD；（2）若M是PD的中点，F是PC的中点时，当AP为何值时，直线EM与平面AEF所成角的正弦值为，请说明理由.参考答案：（1）见证明（2）【分析】（1）连接，由是正三角形，是的中点，证得，又，得，利用线面垂直的判定定理得平面，得到，进而得到平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可求解。（2）建立所示空间直角坐标系，令，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可【详解】（1）连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，是的中点，平面，又，因
8、为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面 （2）建立如图所示空间直角坐标系，令，则，则，设 是平面的一个法向量，则，得，设直线与平面所成角为，则， 化简得：0，解得， ，时，直线与平面的所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin
9、2C（1）若b=2a=4，求ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，求出sinC，即可求ABC的面积；（2）利用基本不等式求的最小值，并确定此时的值【解答】解：（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，cosC=，sinC=，ABC的面积S=；（2）2a2+b2=c22ab，2，即的最小值为2，此时b=a，c=2a， =220. (本小题满分14分)已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2
10、）若在的最大值为，求的值.参考答案：(1) .1分其判别式，因为， 所以， ，对任意实数， 恒成立，Ks5u所以，在上是增函数.4分（2）当时，由（1）可知，在上是增函数，所以在的最大值为，由，解得 （不符合，舍去）6分当时 ，方程的两根为， ，8分图象的对称轴 因为 （或）, 所以 由 解得 当，因为，所以 时，,在是减函数，在的最大值，由，解得 （不符合，舍去）.12分当，在是减函数， 当时，在是增函数.所以在的最大值或，由，解得 （不符合，舍去），14分综上所述21. 假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：（1）
11、回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？234562.23.85.56.57.0参考答案：.解：（1）依题列表如下：回归直线方程为（2）当时，万元即估计用10年时,维修费约为12.38万元略22. (本小题满分16分)将正整数作如下分组:(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，.分别计算各组包含的正整数的和如下， ，(1)求的值； (2)由,的值，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.参考答案：(1)2分(2) 3分猜测=5分证明如下：记,当n=1时，猜想成立。设当n=k时，命题成立，即.7分下面证明当n=k+1时，猜想也成立.事实上，有题设可知.所以10分所以从而，14分所以猜想在n=k+1时也成立。综合（1）（2）可知猜想对任何.16分
