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1、2021年广东省汕尾市东海东海第三中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A24 B19 C36 D40参考答案：A由，得，。所以，故选择A。2. 设平面向量等于 （A）4 （B）5 （C）3 （D）4 参考答案：D略3. 顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在y轴上的角的集合是( )A B C. D参考答案：C4. 某几何体的三视图如图1所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（） （A） （B） （C） （D）参考
2、答案：A略5. (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p = (A) 1(B) (C) 2(D) 3参考答案：C6. 函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()Af(x)xsinx BCf(x)xcosx Df(x)x(x)(x)参考答案：C7. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）ABCD 参考答案：【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】C 由约束条件得如图所示的阴影区域，由目标函数可得：y=-2x+z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选C【思路
3、点拨】先画出约束条件 的可行域，平移目标函数，找出目标函数2x+y的最小值8. 已知实数满足，则的最大值为( ) （A） （B） （C） （D）参考答案：C9. 的展开式的常数项是 A2 B3 C-2 D -3参考答案：B10. 函数，则函数的导数的图象是（）ABCD参考答案：C【考点】函数的图象【分析】求出函数的导数，利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点即可推出结果【解答】解：函数，可得y=是奇函数，可知选项B，D不正确；当x=时，y=0，导函数值为负数，排除A，故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4
4、）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则=_.参考答案：112. 在ABC中，点O是BC的三等分点，过点O的直线分别交AB，AC或其延长线于不同的两点E，F，且，若的最小值为，则正数t的值为_.参考答案：2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【详解】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为 ,则有,解可得或(舍），故，故答案为2.【点睛】本题主要考查平面向量的
5、运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13. 等差数列，记，则当_时，取得最大值参考答案：414. 点P是双曲线=1（a0，b0）上一点，F是右焦点，且OPF是POF=120的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是参考答案：+1考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得P
6、在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（ccos60，csin60），代入双曲线方程，由离心率公式，解方程即可得到结论解答：解：由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（ccos60，csin60），即为（c，c），代入双曲线方程，可得=1，即为=1，由e=，可得e2=1，化简可得e48e2+4=0，解得e2=42，由e1，可得e=+1故答案为：+1点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要方程的运用和离心率的求法，正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键15. 已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）|l
7、nx|的零点个数为 参考答案：2考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：化简f（x）=sgn（lnx）|lnx|=，从而求出函数的零点即可解答：解：由题意，f（x）=sgn（lnx）|lnx|=，显然x=1是函数f（x）的零点，当x1时，令1lnx=0得，x=e；则x=e是函数f（x）的零点；当0x1时，1+lnx0，故没有零点；故函数f（x）=sgn（lnx）|lnx|的零点个数为2；故答案为：2点评：本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题16. 如图，点D在ABC的边AC上，且，则的最大值为_参考答案：【分析】先计算出的值，利用可得
8、，两边平方后整理可得，设，则，利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，所以因为，所以即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，设，所以，因为，所以，当且仅当，时等号成立，故填.【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.17. 函数的值域为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且点P（an，Sn）（其中n1且nN*）在直线4x3y1=0上，数列是首项为1
9、，公差为2的等差数列（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Tn参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用点在直线上，得到递推关系式，判断数列是等比数列，然后求出通项公式（2）化简数列的通项公式，利用裂项法求和即可【解答】（1）解：由点P（an，Sn）在直线4x3y1=0上，4an3Sn1=0即3Sn=4an1，又3Sn1=4an11（n2），两式相减得an=4an1，an是以4为公比的等比数列，又a1=1，是以为首项，以2为公差的等差数列，（2）由（1）知，以上两式相减得，=+，Tn=19. 如图四棱锥中，是梯形，ABCD，AB=PD=4，CD=2，M
10、为CD的中点，N为PB上一点，且。（1）若MN平面PAD；（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。参考答案：（1）证明：若，连接EN，DE，ENAB，且M为CD的中点，CD=2，又ABCD，EN DM四边形DMNE是平行四边形，MNDE，又平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD6分（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD，则以D为坐标原点建立空间直角坐标D-yz，点D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0），P（0，0，4），=（2，0，0），=（0，-2，4），该平面PBC的法向量为，
11、则令z=1，y=2，x=0，该直线AN与平面PBC所成的角为，则解得设直线AD与直线CN所成角为，则所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为12分20. (本题满分14分) 已知实数a满足1a2，设函数f (x)x3x2ax() 当a2时，求f (x)的极小值；() 若函数g(x)4x33bx26(b2)x (bR) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10参考答案：()解：当a2时，f (x)x23x2(x1)(x2) 列表如下：x(，1)1(1，2)2(2，)f (x)00f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f (x)的极小值为f (2)6分(
12、) 解：f (x)x2(a1)xa(x1)(xa)由于a1，所以f (x)的极小值点xa，则g(x)的极小值点也为xa而g (x)12x26bx6(b2)6(x1)(2xb2)，所以，即b2(a1)又因为1a2，所以 g(x)极大值g(1)43b6(b2)3b86a210 故g(x)的极大值小于等于1014分略21. （本小题满分12分）椭圆C：(ab0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1|，|PF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2y24x2y0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程参考答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c(c0)，因为点P在椭圆C上，所以2a|PF1|PF2|6，所以a3. 又PF1F1F2，所以|F1F2|2，即2c2，所以c.从而b2a2c232()24.因此，椭圆C的方程为1. 5分(2)方法1：圆x2y24x2y0的方程可化为(x2)2(y1)25，所以圆心M的坐标为(2,1)，()当直线l的斜率不存在时，即lx轴时，A、B两点关于点(2,0)对称，不可能关于点M对称，所以此时不合题意，舍去. 7分()当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，由，得1，即(9k2
