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1、2021-2022学年湖南省株洲市醴陵青云中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 过点(0,-1)作直线l,若直线l与圆x2+(y-1)2=1有公共点,则直线l的倾斜角范围为( )A. B. C. D. 参考答案:C2. 已知函数f(x)=x2sinx,则的大小关系为()ABCD参考答案:D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数值的大小即可【解答】解:f(x)=x2sinx,f(x)=12cosx,令f(x)0,解得:
2、2kx2k,令f(x)0,解得:2kx2k+,故f(x)在(,)递减,而13log1.2,故f(1)f()f(log31.2),故选:D3. 先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正、反面情况,则下列事件包含3个基本事件的是 ()A“至少一枚硬币正面向上”;B“只有一枚硬币正面向上”;C“两枚硬币都是正面向上”;D“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”.参考答案:A4. 设a=3x2x+1,b=2x2+x,则()AabBabCabDab参考答案:C【考点】不等式比较大小【专题】计算题;不等式【分析】作差法化简ab=x22x+1=(x1)20【解答】解:a=3x2x+1,b=2x
3、2+x,ab=x22x+1=(x1)20,ab,故选:C【点评】本题考查了作差法比较两个数的大小的应用5. 复数满足则等于( ) A. B. C. D.参考答案:C略6. 下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是ABCD参考答案:B7. 用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时,从nk到nk1时,等式左边应添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D. (k1)2(k1)21参考答案:B略8. 直线l过P(1,2),且A(2,3),B(4,5)到l的距离相等,则直线l的方程是A. B. C. 或D. 或参考答案:C【分析】由条件可知直线平行于直线或过
4、线段的中点,当直线时,利用点斜式求出直线方程;当直线经过线段的中点时,利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,(1)的斜率为,当直线时,的方程是,即;(2)当直线经过线段的中点时,的斜率为,的方程是,即,故所求直线的方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用,以及斜率公式、直线平行的充要条件,分类讨论思想的应用,意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.9. 在数列an中,an+1=can(c为非零常数)且前n项和Sn=3n+k,则k等于()A1B1C0D2参考答案:A【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和【分析】由递推式可知
5、给出的数列是等比数列,写出等比数列的前n项和公式后,结合给出的数列的前n项和即可得到结论【解答】解:由an+1=can,得,所以数列an是等比数列,因为当公比不等于1时等比数列的前n项和Sn=,而Sn=3n+k,由此可知k=1故选A【点评】本题考查了等比关系的确定,考查了等比数列前n项和公式中含qn项的系数与常数之间的关系,关键是把我其中的规律,是基础题10. 已知命题,则是( )A. B.C. D.参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体中,分别是的中点,则异面直线所成角的大小为 _.参考答案:12. 在某次数学测验中,学号的四位同学的考试成绩,且满足,
6、则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为_种.参考答案:15【分析】分两类,按的情况,共有种,按的情况,共有种,再用分类计数原理求解.【详解】从所给的5个成绩中,任取4个,即可得到四位同学的考试成绩,按的情况,共有种,从所给的5个成绩中,任取3个,即可得到四位同学的考试成绩,按的情况,共有种,综上:满足,这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为15种.故答案为:15【点睛】本题主要考查组合问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.13. 抛物线 在点P和Q处的切线斜率分别为1和1,则 。参考答案:解析:设过点p的抛物线的切线方程为yx+b 则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为yxb 又设
7、 将代入 由直线与抛物线相切得 由得 由此解得 因此得14. 已知等于_.参考答案:15. 已知数列an的前n项和为Sn,a1=2且Sn=(n+1)an+1,则an= 参考答案:【考点】数列递推式【分析】a1=2且Sn=(n+1)an+1,n2时,Sn1=nan,可得:an+1=an即可得出【解答】解:a1=2且Sn=(n+1)an+1,n2时,Sn1=nan,可得:SnSn1=nan,可得:an=(n+1)an+1nan,an+1=anan=故答案为:16. 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于一个常数的点的轨迹是参考答案:双曲线(a0时)或线段F1F2的中垂线(a=0时)17.
8、函数的最大值是_.参考答案:2略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列。(1)该数列共有多少项?(2)这个数列的第96项是多少?参考答案:(1)120项;(2)4532119. (本小题满分12分)在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。()求甲和乙都不获奖的概率;( )设X是甲获奖的金
9、额,求X的分布列。参考答案:解:()设“甲和乙都不获奖”为事件A , 1分 则P(A)=, 答:甲和乙都不获奖的概率为. 5分()X的所有可能的取值为0,400,600,1000,6分P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= , P(X=1000)= , 10分X的分布列为X04006001000P略20. 本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P满足,其中M、N是椭圆上不同两点,直线OM、ON的斜率之积为,求动点P的轨迹方程。参考答案:解:(2)设,动点因为M、N在
10、椭圆上 所以 又所以则 因为OM、ON的斜率之积为所以即动点P的轨迹方程为 略21. 如图,已知椭圆(ab0),A(2,0)是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且=0,|=2|()求椭圆的方程;()设P、Q为椭圆上异于A,B且不重合的两点,且PCQ的平分线总是垂直于x轴,是否存在实数,使得=,若存在,请求出的最大值,若不存在,请说明理由参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【分析】()由已知条件推导出AOC是等腰直角三角形,C(1,1),由点C在椭圆上,得,由此能求出椭圆方程()对于椭圆上两点P,Q,由PCQ的平分线总是垂直于x轴,知PC与CQ所在直线关于x=1对称,k
11、PC=k,则kCQ=k,PC的直线方程为y=k(x1)+1,QC的直线方程为y=k(x1)+1,由此求出PQAB,从而得到存在实数,使得=,求出|的最大值,即可得出结论【解答】解:(I)=0,ACB=90,又|=2|,即|=2|,AOC是等腰直角三角形 A(2,0),C(1,1),而点C在椭圆上,b2=,所求椭圆方程为; (II)对于椭圆上两点P,Q,PCQ的平分线总是垂直于x轴,PC与CQ所在直线关于x=1对称,kPC=k,则kCQ=k,C(1,1),PC的直线方程为y=k(x1)+1,QC的直线方程为y=k(x1)+1,将代入得(1+3k2)x26k(k1)x+3k26k1=0,C(1,1
12、)在椭圆上,x=1是方程的一个根,xP=以k替换k,得到xQ=kPQ=ACB=90,A(2,0),C(1,1),弦BC过椭圆的中心O,A(2,0),B(1,1),kAB=,kPQ=kAB,PQAB,存在实数,使得= |=当时即k=时取等号,又|=,max= 22. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,记函数在上的最大值为m,证明:.参考答案:(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析.【分析】(1)利用导数求函数的单调性即可;(2)对求导,得,因为,所以,令,求导得在上单调递增, ,使得,进而得在上单调递增,在上单调递减;所以,令 ,求导得在上单调递增,进而求得m的范围.【详解】(1)因为,所以,当时,;当时,故的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)当时,则,当时,令,则,所以在上单调递增,因为,所以存在,使得,即,即.故当时,此时;当时,此时.即在上单调递增,在上单调递减.则 .令,则.所以在上单调递增,所以,.故成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围,也考查了构造新函数,转化思想,属于中档题.