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1、2021-2022学年湖南省株洲市醴陵青云中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点（0，-1）作直线l，若直线l与圆x2+(y-1)2=1有公共点，则直线l的倾斜角范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C2. 已知函数f（x）=x2sinx，则的大小关系为（）ABCD参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数值的大小即可【解答】解：f（x）=x2sinx，f（x）=12cosx，令f（x）0，解得：
2、2kx2k，令f（x）0，解得：2kx2k+，故f（x）在（，）递减，而13log1.2，故f（1）f（）f（log31.2），故选：D3. 先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是 ()A“至少一枚硬币正面向上”；B“只有一枚硬币正面向上”；C“两枚硬币都是正面向上”；D“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.参考答案：A4. 设a=3x2x+1，b=2x2+x，则（）AabBabCabDab参考答案：C【考点】不等式比较大小【专题】计算题；不等式【分析】作差法化简ab=x22x+1=（x1）20【解答】解：a=3x2x+1，b=2x
3、2+x，ab=x22x+1=（x1）20，ab，故选：C【点评】本题考查了作差法比较两个数的大小的应用5. 复数满足则等于（ ） A. B. C. D.参考答案：C略6. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是ABCD参考答案：B7. 用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D. (k1)2(k1)21参考答案：B略8. 直线l过P(1,2)，且A(2,3)，B(4,5)到l的距离相等，则直线l的方程是A. B. C. 或D. 或参考答案：C【分析】由条件可知直线平行于直线或过
4、线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，（1）的斜率为，当直线时，的方程是，即；(2)当直线经过线段的中点时，的斜率为，的方程是，即，故所求直线的方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.9. 在数列an中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于（）A1B1C0D2参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和【分析】由递推式可知
5、给出的数列是等比数列，写出等比数列的前n项和公式后，结合给出的数列的前n项和即可得到结论【解答】解：由an+1=can，得，所以数列an是等比数列，因为当公比不等于1时等比数列的前n项和Sn=，而Sn=3n+k，由此可知k=1故选A【点评】本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列前n项和公式中含qn项的系数与常数之间的关系，关键是把我其中的规律，是基础题10. 已知命题，则是（ ）A. B.C. D.参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体中，分别是的中点，则异面直线所成角的大小为 _.参考答案：12. 在某次数学测验中，学号的四位同学的考试成绩，且满足，
6、则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为_种.参考答案：15【分析】分两类，按的情况，共有种，按的情况，共有种，再用分类计数原理求解.【详解】从所给的5个成绩中，任取4个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种，从所给的5个成绩中，任取3个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种，综上：满足，这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为15种.故答案为：15【点睛】本题主要考查组合问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.13. 抛物线 在点P和Q处的切线斜率分别为1和1，则 。参考答案：解析：设过点p的抛物线的切线方程为yx+b 则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为yxb 又设
7、 将代入 由直线与抛物线相切得 由得 由此解得 因此得14. 已知等于_.参考答案：15. 已知数列an的前n项和为Sn，a1=2且Sn=（n+1）an+1，则an= 参考答案：【考点】数列递推式【分析】a1=2且Sn=（n+1）an+1，n2时，Sn1=nan，可得：an+1=an即可得出【解答】解：a1=2且Sn=（n+1）an+1，n2时，Sn1=nan，可得：SnSn1=nan，可得：an=（n+1）an+1nan，an+1=anan=故答案为：16. 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于一个常数的点的轨迹是参考答案：双曲线（a0时）或线段F1F2的中垂线（a=0时）17.
8、函数的最大值是_.参考答案：2略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列。（1）该数列共有多少项？（2）这个数列的第96项是多少？参考答案：（1）120项；（2）4532119. (本小题满分12分)在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。（）求甲和乙都不获奖的概率；（ ）设X是甲获奖的金
9、额，求X的分布列。参考答案：解：（）设“甲和乙都不获奖”为事件A , 1分 则P（A）=， 答：甲和乙都不获奖的概率为. 5分（）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，6分P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= , P(X=1000)= , 10分X的分布列为X04006001000P略20. 本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若动点P满足，其中M、N是椭圆上不同两点，直线OM、ON的斜率之积为，求动点P的轨迹方程。参考答案：解：（2）设，动点因为M、N在
10、椭圆上 所以 又所以则 因为OM、ON的斜率之积为所以即动点P的轨迹方程为 略21. 如图，已知椭圆（ab0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，|=2|（）求椭圆的方程；（）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得=，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由已知条件推导出AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得，由此能求出椭圆方程（）对于椭圆上两点P，Q，由PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，k
11、PC=k，则kCQ=k，PC的直线方程为y=k（x1）+1，QC的直线方程为y=k（x1）+1，由此求出PQAB，从而得到存在实数，使得=，求出|的最大值，即可得出结论【解答】解：（I）=0，ACB=90，又|=2|，即|=2|，AOC是等腰直角三角形 A（2，0），C（1，1），而点C在椭圆上，b2=，所求椭圆方程为； （II）对于椭圆上两点P，Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=k，C（1，1），PC的直线方程为y=k（x1）+1，QC的直线方程为y=k（x1）+1，将代入得（1+3k2）x26k（k1）x+3k26k1=0，C（1，1
12、）在椭圆上，x=1是方程的一个根，xP=以k替换k，得到xQ=kPQ=ACB=90，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，A（2，0），B（1，1），kAB=，kPQ=kAB，PQAB，存在实数，使得= |=当时即k=时取等号，又|=，max= 22. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记函数在上的最大值为m，证明：.参考答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增， ，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令 ，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，则，当时，令，则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使得，即，即.故当时，此时；当时，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则 .令，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.
