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1、2022年安徽省合肥市寿春中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量，且，则实数m的值为（ ）ABCD参考答案：B2. 伦敦奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员,两队之间共需进行五场比赛,其中一场双打,四场单打,每名队员都需比赛两场(双打需两名队员同时上场比赛),要求双打比赛必须在第三场进行,若打满五场,则三名队员不同的出赛顺序安排共有A.144 B.72 C.36 D.18参考答案：C略3. 与命题“”等价的命题是 （ ） A B C D参考答案：答案:D 4. 已知的三边长成公差为
2、的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是 （ ）A. B. C. D.参考答案：D5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=2
3、2=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C6. 函数y=的值域是（ ）A（-，）（，+） B（-，）（，+） CR D（-，）（，+）参考答案：B7. 已知xyR+，a=（x，1），b=（1，y1），若ab，则的最小值为 A4 B9 C8 D10参考答案：B略8. 设全集，集合，则（ ）A1,0) B(0,5 C1,0 D0,5 参考答案：D9. 1已知是虚数单位，则ABCD参考答案：B10. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是A. B. C.4 D.5参考答案：【知识点】圆的方程和性质 H3【答案解析】C 解析：作出如下示意图：圆是圆关于轴对称的
4、圆，则圆的圆心为：，半径为1，则最短的距离为故选：C【思路点拨】先作出圆C关于x轴的对称的圆C，问题转化为求点A到圆C上的点的最短路径，方法是连接AC与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC，然后减去半径即可求出二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，且），则记，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是 .若，则 若，且，则 若，且，则若，且，则参考答案：12. 已知函数上随机取一个数，则使得不等式成立的概率为 参考答案：13. （几何证明选讲选做题）已知O的割线PAB交O于A,B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3
5、,AB=4,PO=5，则O的半径为_参考答案：214. 已知命题：如果对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是；命题“”的否定是“”；在中，的充要条件是；函数上为增函数.以上命题中正确的是_（填写所有正确命题的序号）.参考答案：15. 已知函数若在R上为增函数，则实数的取值范围是 _参考答案：略16. 等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 参考答案：17. 若斜的内角成等差数列,则 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，过点的直线l的
6、参数方程为（t为参数）.（）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（）若直线l与曲线C交于A、B两点，求的值，并求定点P到A、B两点的距离之积.参考答案：（）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（）.【分析】（）由可得曲线的直角坐标方程为；用消参法消去参数，得直线的普通方程.（）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.【详解】（）由（为参数），消去参数，得直线的普通方程.由，得曲线的直角坐标方程为.（）将直线的参数方程为（为参数），代入，得.则，.，.所以，的值为，定点到，两点的距离之积为.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通
7、方程，直线的参数方程.19. 设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，满足，的周长为12（）求椭圆的方程；（）求的最大值和最小值；（）已知点，是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由参考答案：略20. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程分别为，.（1）求曲线和的公共点的个数；（2）过极点作动直线与曲线相交于点，在上取一点，使，求点的轨迹，并指出轨迹是什么图形.参考答案：（1）0；（2）以为圆心，1为半径的圆.试题分析：（1）曲线C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，即可求出公共点的个数；（2）设
8、P（，），Q（0，），则0=2，可得,，利用C2的极坐标方程，可得结论试题解析：（1）的直角坐标方程为，它表示圆心为，半径为1的圆，的直角坐标方程为，所以曲线为直线，由于圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，即曲线和没有公共点.考点：轨迹方程；查极坐标方程21. 已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（其中a0）（）求函数f（x）=f1（x）?f2（x）的极值；（）若函数g（x）=f1（x）f2（x）+（a1）x在区间（，e）内有两个零点，求正实数a的取值范围；（）求证：当x0时，1nx+0（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；
9、利用导数研究函数的极值 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；（）写出g（x）表达式，利用导数可判断函数g（x）的单调性，结合图象可得g（x）在区间（， e）内有两个零点时的限制条件，解出不等式组即可；（III）问题等价于x2lnx，构造函数h（x）=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）minh（x）max，即可证得结论【解答】解析 （）f（x）=f1（x）?f2（x）=x2alnx，f（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x0，a0），由f（x）0，得x，由f（x）0，得0x函数f（
10、x）在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数，f（x）的极小值为f（）=，无极大值（）函数g（x）=，则g（x）=x+（a1）=，令g（x）=0，a0，解得x=1，或x=a（舍去），当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减；当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增函数g（x）在区间（，e）内有两个零点，只需，即，解得x，故实数a的取值范围是（）（）问题等价于x2lnx，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为，设h（x）=，h（x）=得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+）减，h（x）max=h（2）=，因（）=0，f（x）minh（x）max，x2lnx，
11、lnx（）0，lnx+0【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的最及函数恒成立问题，考查转化思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力22. (本小题满分14分)已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围. 参考答案：（1）当时， 1分由,解得. 2分在上是减函数，在上是增函数. 3分的极小值为，无极大值. 4分（2）. 6分当时，在和上是减函数，在上是增函数；7分当时，在上是减函数； 8分当时，在和上是减函数，在上是增函数. 9分（3）当时，由（2）可知在上是减函数，. 10分由对任意的恒成立， 11分即对任意恒成立，即对任意恒成立， 12分由于当时，. 14分
