《线性代数-相似矩阵及二次型PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数-相似矩阵及二次型PPT课件（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第4章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型042 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵向量的内积、长度及正交性3 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵4 第4章 相似矩阵及二次型一、向量的内积、长度5 第4章 相似矩阵及二次型一、向量的内积、长度证明6 第4章 相似矩阵及二次型一、向量的内积、长度7 第4章 相似矩阵及二次型二、正交向量组8 第4章 相似矩
2、阵及二次型定理 1二、正交向量组9 第4章 相似矩阵及二次型二、正交向量组解10 第4章 相似矩阵及二次型二、正交向量组11 第4章 相似矩阵及二次型三、施密特正交化过程12 第4章 相似矩阵及二次型三、施密特正交化过程解13 第4章 相似矩阵及二次型三、施密特正交化过程解例314 第4章 相似矩阵及二次型四、正交矩阵证明12315 第4章 相似矩阵及二次型四、正交矩阵16 第4章 相似矩阵及二次型四、正交矩阵证明例417 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵
3、方阵的特征值与特征向量18 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量的 概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质19 第4章 相似矩阵及二次型定 义设 是 阶矩阵,如果数 和 维非零列向量 使关系式那么数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.例如，矩阵，则有所以数3是矩阵 的特征值，是 的对应于特征值3的特征向量.成立，一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法20 第4章 相似矩阵及二次型 可见，是 个未知数 个方程的齐次线性方程组 的非零解.假设矩阵 有特征值 ，对应于特征值 的特征向量为 ，则有 .
4、一个任意给定的 阶矩阵 会有多少个特征值？对应的特征向量又该如何求呢？而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即将 改写成一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法21 第4章 相似矩阵及二次型记 则 是 的 次多项式，称为矩阵 的特征多项式.从而公式 可以写成 ，这是以 为未知数的一元 次方程，称为 的特征方程，而 的特征值就是特征方程的根.我们知道，一元 次方程在复数范围内恒有 个根(重根按重数计算).因此，阶矩阵 在复数范围内有 个特征值，通过解矩阵 的特征方程就可以得到这 个特征值.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法22 第4章 相似矩阵及二次型那么 便是 的对应于特征值
5、 的特征向量.若 为复数，则 可取复向量.）例 1求矩阵的特征值和特征向量.可求得非零解 ，设 为矩阵 的一个特征值，则由方程 （若 为实数，则 可取实向量；一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法23 第4章 相似矩阵及二次型解矩阵 的特征多项式为所以 的全部特征值为,由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法24 第4章 相似矩阵及二次型当 时，解方程 ，得基础解系于是 是对应于特征值 的全部特征向量.由当 时，解方程 ，得基础解系由于是 是对应于特征值 的全部特征向量.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法25 第4章 相似矩阵及二
6、次型当 时，解方程 ，得基础解系于是 是对应于特征值 的全部特征向量.由一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法26 第4章 相似矩阵及二次型例 2求矩阵的特征值和特征向量的特征多项式为所以 的全部特征值为解一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法27 第4章 相似矩阵及二次型当 时，解方程 ，得基础解系对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.由当 时，解方程 ，得基础解系由对应于 的全部特征向量为 （常数 ）.一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法28 第4章 相似矩阵及二次型一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法例3解29 第4章 相似矩阵及二次型一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
7、30 第4章 相似矩阵及二次型设 阶矩阵 的特征值为 ，则(i)(ii)由此可见，阶方阵 可逆的充分必要条件是 的特征值全不为零.性质1二、方阵的特征值与特征向量的性质31 第4章 相似矩阵及二次型若 是方阵 的特征值，为对应于特征值 的特征向量，则性质2若矩阵 的多项式是 ，则方 阵 的特征值是 （其中 是关于 的多项式），对应于特征值 的特征向量是 .04OPTION 是方阵 的特征值（为非负整数），对应于特征值 的特征向量是 ；01OPTION 是方阵 的特征值（为任意常数），对应于特征值 的特征向量是 ；02OPTION当 可逆时,是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 ；03O
8、PTION二、方阵的特征值与特征向量的性质32 第4章 相似矩阵及二次型证所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .因 是方阵 的特征值，为对应于特征值 的特征向量，故有 .于是所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .(i)(ii)二、方阵的特征值与特征向量的性质33 第4章 相似矩阵及二次型(iii)当 可逆时，特征值均不为零，于是所以 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 .由(i)可知，所以方阵 的特征值是 ，对应于特征值 的特征向量是 .(iii)二、方阵的特征值与特征向量的性质34 第4章 相似矩阵及二次型设3阶矩阵的特征值为 ，求 的特征值.因 的
9、特征值全不为0，知 可逆，故 .这里，虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质2(iv)来由 得 的特征值为例 4解而 ，记计算 的特征值.二、方阵的特征值与特征向量的性质35 第4章 相似矩阵及二次型如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量，则 (、不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.由，得所以 (、不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.性质3证明二、方阵的特征值与特征向量的性质36 第4章 相似矩阵及二次型设 是方阵 的 个互不相同的特征值，是依次与之对应的特征向量，则 线性无关.设 和 是矩阵 的两个不同的特征值，和 是分别对应于 和 的线性无关的特征
10、向量，则线性无关.性质4性质5二、方阵的特征值与特征向量的性质37 第4章 相似矩阵及二次型二、方阵的特征值与特征向量的性质证明38 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵相似矩阵39 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.3相似矩阵一、方阵相似的定义与性质二、方阵的相似对角化40 第4章 相似矩阵及二次型一、方阵相似的定义与性质41 第4章 相似矩阵及二次型定理 1一、方阵相似的定义与性质证明42 第4章 相似矩阵及二次型一、方阵相似
11、的定义与性质43 第4章 相似矩阵及二次型一、方阵相似的定义与性质44 第4章 相似矩阵及二次型把矩阵 列分块为由 ，得 ，即于是有可见 为 的特征值，而 的列向量 就是 对应于特征值 的特征向量.二、方阵的相似对角化45 第4章 相似矩阵及二次型 反之，如果 阶矩阵 恰好有 个特征向量，则这 个特征向量即可构成矩阵 ,由上面的讨论即有：推论定理2并且这 个特征向量必定是线性无关的，从而 可逆，因此有 .使得 .阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量.如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.二、方阵的相似对角化46 第4章 相似矩阵及二次型
12、例 1解设有三个线性无关的特征向量，求 与 应满足的条件.因为矩阵 是3阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 可以相似对角化.由二、方阵的相似对角化47 第4章 相似矩阵及二次型故对应重根 应有2个对应单根 ，可求得线性无关的特征向量恰好有1 个，由 可知，要使系数矩阵 的秩 ，必须 .得到 的特征值为线性无关的特征向量，亦即系数矩阵的秩 .有 2个线性无关的解，即方程 二、方阵的相似对角化48 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵实对称矩阵的相似对角化4
13、9 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.4实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值和 特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化50 第4章 相似矩阵及二次型一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质性质151 第4章 相似矩阵及二次型一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质52 第4章 相似矩阵及二次型一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质53 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化54 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化55 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化例1解56 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化57 第4章 相
14、似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化例2解58 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化59 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化60 第4章 相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的相似对角化61 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化正定二次型与正定矩阵二次型及其标准形62 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形63 第4章 相似矩阵及二次
15、型一、二次型及其标准形的定义64 第4章 相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的定义65 第4章 相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的定义66 第4章 相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的定义67 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形68 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形69 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形70 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形71 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形例1解72 第4章 相似矩阵及二次型二、用正交变换化二次型为标准形73 第4章 相似矩阵及二次型二、用正
16、交变换化二次型为标准形74 第4章 相似矩阵及二次型三、用配方法化二次型为标准形75 第4章 相似矩阵及二次型三、用配方法化二次型为标准形76 第4章 相似矩阵及二次型三、用配方法化二次型为标准形77 第4章 相似矩阵及二次型三、用配方法化二次型为标准形78 第4章 相似矩阵及二次型三、用配方法化二次型为标准形79 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的内积、长度及正交性方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似对角化二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵80 第4章 相似矩阵及二次型目录/Contents4.6正定二次型与正定矩阵一、惯性定理二、正定二次型与正定阵81 第4章 相似矩阵及二次型一、惯性定理定理182 第4章 相似矩阵及二次型二、正定二次型与正定阵83 第4章 相似矩阵及二次型二、正定二次型与正定阵84 第4章 相似矩阵及二次型二、正定二次型与正定阵85 第4章 相似矩阵及二次型二、正定二次型与正定阵例1解86 第4章 相似矩阵及二次型二、正定二次型与正定阵例2证明87 第4章 相似矩阵及二次型谢谢观看
