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1、数值分析数值分析数值分析数值分析第二节第二节 非线性方程组的简单迭代法非线性方程组的简单迭代法一、引言一、引言数值分析数值分析数值分析数值分析非线性方程组解的复杂性非线性方程组解的复杂性数值分析数值分析数值分析数值分析clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,r:,x2,y2,b)xlabel(x),ylabel(y)(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4数值分析数值分析数值分析数值分析几类典型非线性问题几类典型非线性问题数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析例：半线性椭
2、圆型边值问题例：半线性椭圆型边值问题解解:(1)剖分求解域剖分求解域.YN+1N:2100 1 2 .N N+1 X数值分析数值分析数值分析数值分析(2)对微分算子进行离散对微分算子进行离散.在每个点在每个点(xi,yj)上的有限差分方程为上的有限差分方程为在边界上在边界上数值分析数值分析数值分析数值分析对非边界点进行编号对非边界点进行编号:顺序为顺序为-从下往上从下往上,从左往右从左往右相应的解向量和右端向量分别为相应的解向量和右端向量分别为 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析 多元向量值函数的导数多元向量值函数的导数数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值
3、分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析多元实函数的高阶导数多元实函数的高阶导数数值分析数值分析数值分析数值分析 研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。化为研究不动点的存在唯一性。二、压缩映射与不动点迭代（简单迭代法）二、压缩映射与不动点迭代（简单迭代法）数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数
4、值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、局部收敛性原理二、局部收敛性原理原理的局限性：原理的局限性：（1）收敛域）收敛域 很难找很难找（2）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件.如：如：数值分析数值分析数值分析数值分析P=1，C1为线性收敛，为线性收敛，P=2为平方收敛。为平方收敛。三、收敛速度三、收敛速度数值分析数值分析数值分析数值分析 第三节第三节 非线性方程组的非线性方程组的NewtonNewton型算法型算法一、一、Newton-Raphson
5、Newton-Raphson方法的迭代格式方法的迭代格式数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、二、NewtonNewton迭代法的收敛性迭代法的收敛性由迭代收敛阶的定义，由迭代收敛阶的定义，Newton迭代法是平方收敛的。迭代法是平方收敛的。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、同伦算法二、同伦算法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析
6、数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析三、拟牛顿法三、拟牛顿法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析第四节第四节 无约束优化算法无约束优化算法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析一、高斯一、高斯-牛顿法牛顿法数值分析数值分析数值分析数值分析用线性化思想构造求解上述方程组的迭代法用线性化思想构造求解上述方程组的迭代法数值分析数值分析数值分析数值分析二、搜索法二、搜索法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析习题习题 P279-1,3,7,9
