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1、第十二章 不等式选讲知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线绝对值绝对值不等式不等式1.理解理解绝对值绝对值的几何意的几何意义义，并能利用，并能利用绝绝对值对值不等式的几何意不等式的几何意义证义证明以下不等明以下不等式：式：(1)|ab|a|b|.(2)|ab|ac|cb|.1.会用不等式会用不等式(1)、(2)证证明一些明一些简单问简单问题题.2.2.会利用会利用绝对值绝对值的几何意的几何意义义求解以下求解以下类类型型 3.的不等式：的不等式：4.|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c.热热点是在客点是在客观观题题中考中考查绝对查绝对值值不等式解法不等式解法与含与含绝对值绝对值号号
2、的函数的最的函数的最值值，恒成立恒成立问题问题.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线不等式不等式证证明明了解了解证证明不等式的基本方明不等式的基本方法：比法：比较较法、法、综综合法、分合法、分析法、反析法、反证证法、放法、放缩缩法法.考考查简单查简单不等式的不等式的证证明，多用比明，多用比较较法、法、综综合法、分析法合法、分析法.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线平均平均值值不不等式等式能能够够利用平均利用平均值值不等式求一些特不等式求一些特定函数的极定函数的极值值.用平均用平均值值不等式求一些特不等式求一些特定函数的极定函数的极值值是考是考试试的的热热点，点，题题型多型多为
3、为客客观题观题.第一节 绝对值不等式与均值不等式一、绝对值三角不等式一、绝对值三角不等式1.定理定理1：如果：如果a，b是实数，则是实数，则|ab|，当且仅，当且仅当当时，等号成立时，等号成立.|a|b|ab0(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？(2)不等式不等式|a|b|ab|a|b|中中“”成立的条件成立的条件分别是什么？分别是什么？提示：提示：(1)当当a，b不共线时，不共线时，|ab|a|b|，它的几，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边何意义就是三角形的两边之和大于第三边.(2)不等式不等式|a|b|ab|a|b|，右侧
4、，右侧“”成立成立的条件是的条件是ab0，左侧，左侧“”成立的条件是成立的条件是ab0且且|a|b|；不等式；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧，右侧“”成立的条件是成立的条件是ab0，左侧，左侧“”成立的条件是成立的条件是ab0且且|a|b|.2.定理定理2：如果：如果a，b，c是实数，则是实数，则|ac|，当且仅当，当且仅当时，时，等号成立等号成立.|ab|bc|(ab)(bc)0二、绝对值不等式的解法二、绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a的解集的解集不等式不等式a0a0a0|x|aaxaxa或或x0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法(1)
5、|axb|c.(2)|axb|c.caxbcaxbc或或axbc3.|xa|xb|c(c0)和和|xa|xb|c(c0)型不等式型不等式的解法的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想结合的思想.方法二：利用方法二：利用“零点分段法零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想数与方程的思想.三、平均值不等式三、平均值不等式a1，a2，an为为n个正数，则个正数，则，当且仅当，当且仅当a
6、1a2an时等式成立时等式成立1已知已知2a3，3b4，则，则a|b|的取值范围是的取值范围是()A(6,3)B(6,3C(6,6)D(6,6解析：解析：3b4 0|b|4 a|b|(6,3.答案：B2不等式不等式|5xx2|6的解集为的解集为()A(1,2)B(3,6)C(1,2)(3,6D(1,2)(3,6)答案：答案：D解析：解析：|5xx2|6 1x2或或3x6.3不等式不等式|2x1|x1的解集是的解集是()A(0,2)B(0,2C(2,0)D(2,0解析：解析：|2x1|x1(x1)2x1x1，即，即0 x2.答案：答案：A4函数函数y|x1|x2|的最小值及取得最小值时的最小值及
7、取得最小值时x的的值分别是值分别是_、_.解析：解析：|x1|x2|3，当且仅当，当且仅当x 1,2时，时，y取最小取最小答案：答案：3x 1,25函数函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点的图象恒过定点A，若，若点点A在直线在直线mxny10上，其中上，其中m，n0，则，则的最小值为的最小值为_解析：函数解析：函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定的图象恒过定点点A(2，1)，则，则(2)m(1)n10,2mn1，m，n0，答案：答案：86已知不等式已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若若a1，求，求x的取值范围；的取值范围；(2)若已知不等式解集不是空集，求若已
8、知不等式解集不是空集，求a的取值范围的取值范围解：解：(1)2|x3|x4|2，|x3|x4|1.1对绝对值三角不等式定理对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时最值时2该定理可以强化为：该定理可以强化为：|a|b|ab|a|b|，它，它经常经常用于证明含绝对值的不等式用于证明含绝对值的不等式3对于对于y|xa|xb|或或y|xa|xb|型的最值求型的最值求法利用该不等式更简洁、方便法利用该不等式更简洁、方便“|xa|m，且，且|ya|m”是是“|xy|2m”(x，y，a，m R)的
9、的_(填充分不必要条填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件件，或必要不充分条件，或充要条件)利用绝对值三角不等式，推证利用绝对值三角不等式，推证与与|x-y|2m的关系即得答案的关系即得答案.解析：解析：|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m，|xa|m，且，且|ya|m是是|xy|2m的充分条件的充分条件取取x3，y1，a2，m2.5，则有，则有|xy|252m，但，但|xa|5，不满足不满足|xa|m2.5，故故|xa|m且且|ya|m不是不是|xy|PM.答案：答案：NPM绝对值不等式的常见类型及其解法绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如形如|f(x)|a，|f(x)
10、|a(a R)型不等式型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即此类不等式的简单解法是等价命题法，即当当a0时，时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或或f(x)a.当当a0时，时，|f(x)|af(x)0.当当a0时，时，|f(x)|af(x)有意义有意义(2)含有两个绝对值的不等式的解法含有两个绝对值的不等式的解法零点分段法零点分段法零点分段法解绝对值不等式的步骤：零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；求零点；b.划分区划分区间、去绝对值号；间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；分别解去掉绝对值的不等式；d.取每取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区
11、间的端点值个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了了与前提条件求交集与前提条件求交集利用利用|xa1|xa2|的几何意义的几何意义利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点x到两个到两个定点定点a1、a2的距离之和的距离之和(差差)解下列不等式解下列不等式(1)|2x5|7x；(2)|x1|x2|7x，可得，可得解得解得x2或或x4.原不等
12、式的解集是原不等式的解集是x|x2（2）分别求）分别求|x1|，|x2|的零点，即的零点，即1，2.由由2,1把数轴分成三部分：把数轴分成三部分：x1.当当x2时，原不等式即时，原不等式即1x2x5，解得，解得3x2；当当2x1时，原不等式即时，原不等式即1x2x5，因为因为31时，原不等式即时，原不等式即x12x5，解得，解得1x2.综上，原不等式的解集为综上，原不等式的解集为x|3x22若关于若关于x的不等式的不等式|x2|x1|a的解集为的解集为，求实数，求实数a的取值范围的取值范围解：令解：令y1|x2|x1|，y2a.y1、y2的图象如图所示：的图象如图所示：由图可知，当由图可知，当
13、a3时，时，|x+2|+|x-1|a的解集为的解集为.绝对值不等式的证明主要有两类：绝对值不等式的证明主要有两类：一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题已知已知f(x)，ab，求证：，求证：|f(a)f(b)|ab|.利用绝对值不等式放缩证明利用绝对值不等式放缩证明.证明：证明：3
14、已知二次函数已知二次函数f(x)x2axb(a，b R)的定义域为的定义域为1,1，且，且|f(x)|的最大值为的最大值为M.(1)试证明试证明|1b|M；(2)试证明试证明证明：证明：(1)M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|，2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，|1b|M.(2)依题意，依题意，M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|，又又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|，4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2，M平均值不等式是基本不等式的推广，多用于证明平均值不等式是基本
15、不等式的推广，多用于证明不等式或求最值，应用时注意不等式成立的条件不等式或求最值，应用时注意不等式成立的条件“a1，a2，an为为n个正数个正数”和成号成立的条件和成号成立的条件“a1a2an”设设a，b，c为正实数，求证：为正实数，求证：直接由平均值不等式证明直接由平均值不等式证明.证明：因为证明：因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得为正实数，由平均值不等式可得即即所以所以而而所以所以4设设a为实常数，试求函数为实常数，试求函数f(x)|sinx(acosx)|(x R)的最大值的最大值解：引入正常数解：引入正常数，使得使得f2(x)sin2x(acosx)2sin2x(2cos2x)
16、(a22)(a22)(a22)，当且仅当当且仅当时，等号成立，消去时，等号成立，消去x可得：可得：24a22a20，解之得：，解之得：2故当故当cosx时，时，f(x)max绝对值不等式是对必修绝对值不等式是对必修5中中“不等式不等式”的补充和深的补充和深化化,其解法与证明是考查的重点，若单独命题，多以填空其解法与证明是考查的重点，若单独命题，多以填空题形式出现，也可与其他知识结合考查解答题题形式出现，也可与其他知识结合考查解答题.如如2009年福建年福建21题，题，2009年辽宁年辽宁24题，题，2009年宁夏、海南年宁夏、海南24题都考查了绝对值不等式的解法题都考查了绝对值不等式的解法.(2009辽宁高考辽宁高考)设函数设函数f(x)|x1|xa|.(1)若若a1，解不等式，解不等式f(x)3；(2)如果对任意如果对任意x R，f(x)2，求，求a的取值范围的取值范围解解(1)当当a1时，时，f(x)|x1|x1|，由由f(x)3得得|x1|x1|3.当当x1时，不等式化为时，不等式化为1x1x3，即即2x3.不等式组不等式组当当11时，不等式化为时，不等式化为x1x13，即，即2
