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1、山西省太原市杏花岭区第二中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 数列的一个通项公式是( )A、 B、 C、 D、参考答案:B略2. 设且,则锐角为( )(A) (B) (C) (D)参考答案:A略3. 已知,则( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】分别判断出、的范围,然后比较大小即可.【详解】,所以.故选:C【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质,注意比较大小时与0和1比较,属于基础题.4. 函数f(x)= log2 x在区间1,2的最小值是A1 B0
2、C1 D2参考答案:B函数上f(x)= log2 x的底数大于 1,f(x)= log2 x在定义域(0,+)上单调递增,则 f(x)在区间1,2上为增函数,因此,当x=1 时,f(x)取最小值,即f(1)=0.5. 以下给出了5个命题:( )(1)两个长度相等的向量一定相等; (2)相等的向量起点必相同; (3)若,且,则; (4)若向量的模小于的模,则.(5)若且,则(6)与同方向的单位向量为其中正确命题的个数共有A3 个 B2 个 C1 个 D0个参考答案:B6. 在下列函数中,与函数是同一个函数的是( )A B C D参考答案:D略7. 直线与互相垂直,则的值是( )A B1 C0或
3、D1或参考答案:D8. 将边长为的正方形沿对角线折起,使得,则三棱锥的体积为 A B C D参考答案:D略9. 将函数的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( )A. B. C. D. 参考答案:C略10. 一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形,则该机器零件的体积为()A8+B8+C8+D8+参考答案:A【考点】L!:由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体的下部是边长为2正方体,上部是球,且半球的半径为1,代入体积公式求出正方体的体积与球的体积相加【解答】解:由三视图知几何体的下部是边长为2正方体,上部是球,且半
4、球的半径为1,几何体的体积V=V正方体+=23+13=8+故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)=3x+a的反函数y=f1(x),若函数y=f1(x)的图象经过(4,1),则实数a的值为 参考答案:1【考点】反函数【分析】根据反函数的性质可知:原函数与反函数的图象关于y=x对称,利用对称关系可得答案【解答】解:f(x)=3x+a的反函数y=f1(x),函数y=f1(x)的图象经过(4,1),原函数与反函数的图象关于y=x对称f(x)=3x+a的图象经过(1,4),即3+a=4,解得:a=1故答案为:1【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系,其象关
5、于y=x对称,即坐标也对称,属于基础题12. 关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .参考答案:略13. 已知在等比数列an中,a5,a95为方程x210x+16=0的两根,则a5a20a80+a10a90a95= 参考答案:160【考点】88:等比数列的通项公式【分析】由a5,a95为方程x210x+16=0的两根,可得a5+a95=10,a5?a95=16=a20a80=a10a90=,代入即可得出【解答】解:a5,a95为方程x210x+16=0的两根,a5+a95=10,a5?a95=16=a20a80=a10a90=,则a5a20a80+a10a90a95=(a5+a95)=
6、1610=160故答案为:160【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题14. 一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第一组随机抽取的号码为t,则在第k组中抽取的号码个位数字与tk的个位数字相同,若t7,则在第8组中抽取的号码应是_参考答案:75略15. 已知集合,其中,表示和中所有不同值的个数设集合 ,则 .参考答案:516. 已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为参考答案:【考点】元素
7、与集合关系的判断【分析】根据集合元素的特征,即可求出【解答】解:集合A=m+2,2m2+m,若3A,m+2=3,且2m2+m3,或m+23,且2m2+m=3,解得m=1,或m=,当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,故1舍去,故答案为:【点评】本题考查了元素与集合的关系,属于基础题17. 已知,使成立的x的取值范围是_参考答案:2,2 【分析】根据分段函数的解析式做出函数的图象,使成立的的取值范围就是函数在虚线及以上的部分中的取值范围,再分别求解和,可得的取值范围.【详解】函数图象如下图所示:虚线表示,函数在虚线及以上的部分中的取值范围即为不等式的解集,由图可知,的取值范围就是点横坐标与点横
8、坐标之间的范围。中令,得,即为点横坐标。中令,得或,所以点横坐标为,所以不等式的解集为.故填:.【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求解不等式的问题,关键在于做出图像求解出满足不等式的范围端点值,属于基础题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设全集是实数集,.(1)当时,求AB和AB;(2)若,求实数a的取值范围参考答案:,.本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。(1)因为全集是实数集R,得到,当时,故,.。(2)由于,得到集合的关系在求解参数的范围。解析:,当时,故,.由,知。,;当时,只要满足,则;综上所述.19.
9、(8分)证明函数f(x)=1在(0,+)上是减函数参考答案:考点:函数单调性的判断与证明 专题:证明题;函数的性质及应用分析:运用单调性的定义证明,注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤解答:证明:设x1,x2是(0,+)上的两个任意实数,且x1x2,f (x1)f (x2)=1(1)=因为x2x10,x1x20,所以f (x1)f (x2)0即f (x1)f (x2),因此 f (x)=1是(0,+)上的减函数点评:本题考查函数的单调性的证明,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题20. (本小题满分16分)已知函数(1)画出函数y=f(x)的图像(2)若存在互不相等的实数a,b,
10、使f(a)=f(b),求ab的值。参考答案:(1)图像如图所示 .6分(2)依题意, 不妨设ab,因为,由图像可知0a1, 所以-lga=lgb,可得lga+lgb=0,即lgab=0,故ab=0 .10分21. (本小题14分)已知二次函数满足:,且该函数的最小值为1. 求此二次函数的解析式; 若函数的定义域为= .(其中). 问是否存在这样的两个实数,使得函数的值域也为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.参考答案:综上:存在满足条件的,其中。略22. 已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(kR)是偶函数(1)求k的值;(2)设函数,其中a0若函数f(x)与g(x)的图象有且只
11、有一个交点,求a的取值范围参考答案:【考点】函数与方程的综合运用;偶函数【分析】(1)由已知中函数f(x)=log2(4x+1)+kx(kR)是偶函数由偶函数的定义,构造一个关于k的方程,解方程即可求出k的值;(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,即方程log2(4x+1)x=在(,+)有且只有一解,即方程在上只有一解,利用换元法,将方程转化为整式方程后,分类讨论后,即可得到a的取值范围【解答】解:(1)函数f(x)=log2(4x+1)+kx(kR)是偶函数f(x)=log2(4x+1)kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立即log2(4x+1)2xkx=log2(4x+1)+kx恒成立解得k=1(2)a0函数的定义域为(,+)即满足函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,方程log2(4x+1)x=在(,+)有且只有一解即:方程在上只有一解令2x=t,则,因而等价于关于t的方程(*)在上只有一解当a=1时,解得,不合题意;当0a1时,记,其图象的对称轴函数在(0,+)上递减,而h(0)=1方程(*)在无解当a1时,记,其图象的对称轴所以,只需,即,此恒成立此时a的范围为a1综上所述,所求a的取值范围为a1