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1、1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了1946年Schoenberg提出的样条方法,提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。样条的史话如何理解B-样条？l样条插值，三对角方程 (函数、参数)l给定分划，所有的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数l由B样条基函数代替Bezier曲线中底Bernstein基函数，即B样条曲线。3.3.1 B样条的递推定义和性质B样条曲线的方程定义为：是控制多边形的顶点 (i=0,1,.,n)称为k阶（k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的
2、序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。de Boor-Cox递推定义 并约定 几个问题几个问题l 的非零区间是什么？l需要多少个节点？l定义区间是什么？以k4，n=4为例2性质l局部支承性。l权性。l微分公式。B样条曲线类型的划分l曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。lB样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。l均匀B样条曲线。节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布，所有 节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。l准均匀B样条 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲
3、线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题l分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。l非均匀B样条曲线 任意分布的节点矢量 ，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复
4、度k，内节点重复度k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。3.3.2 B样条样条曲线的性质曲线的性质l局部性。k 阶B样条曲线上参数为的一点至多与k个控制顶点有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。l 连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。l凸包性 P(t)在区间 上的部分位于k个点 的凸包 内，整条曲线则位于各凸包 的并集之内。l分段参数多项式P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式l 导数公式 l变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(
5、t)的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t)的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。l几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。l仿射不变性即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。l直线保持性控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。l 造型的灵活性。用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况.对于四阶（三次）B样条曲线.若要在其中得到一条直线段，只要四点 位于一条直线上l为了使P(t)能过P(i)点，只要使 重合l尖点也可通过三重节点的方法得到l为了使曲线和某一直线L相切，只要取 位于L上及 的重数不大于2。3.3.3 de Boor 算法欲计算B样条
6、曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。lde Boor 算法的导出l现令则这就是著名的de Boor 算法de Boor 算法的递推关系如图De Boor 算法的几何意义lde Boor算法有着直观的几何意义 割角，即以线段 割去角 。从多边形 开始，经过 k-1 层割角，最后得到P(t)上的点 3.3.4 节点插入算法通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。l插入一个节点 在定义域某个节点区间 内插入一个节点t，得到新的节点矢量：重新编号成为这个新的节点矢量U1决定了一组新
7、的B样条基原始的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知新顶点 表示Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式 r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。3.3.5 B样条曲面给定参数轴u和v的节点矢量 pq阶阶B样条曲面样条曲面定义如下 构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格特征网格。和 是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。3.4 NURBS曲线与曲面B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。提出NURBS方法，即非均匀有理非均匀
8、有理B样条样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。lNURBS太过复杂，常令人望洋兴叹lNURBS Book，走向实用化 (见下页)Some years ago a few researchers joked about NURBS,saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational B-Splines,write the authors in their foreword;they formulate the aim of changin
9、g NURBS to EURBS,that is,Everybody.There is no doubt that they have achieved this goal.I highly recommend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS.It is extremely helpful for students,teachers and designers of geometric modeling systems.Helmut PottmannNURBS方法的主要优点l既为标准
10、解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。提出NURBS方法，即非均匀有理非均匀有理B样条样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。两类研究问题l逼近问题：圆弧的Bezier曲线逼近，挪威Oslo学派的工作l精确表示问题：权因子、顶点满足什么条件才能精确表示圆弧？NURBS方法的主要优点l既为标准解析形状(即前
11、面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式l修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。l具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术l对几何变换和投影变换具有不变性。l非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。应用NURBS中还有一些难以解决的问题：l比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间l权因子选择不当会引起畸变l对搭接、重叠形状的处理很麻烦。l反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题 (MAF方法)在讲NURBS 的定义前，先回顾一下B样条的定义：3.4.4.1NURBS曲线的定义曲线的定义NURBS曲线是由分段有理
12、B样条多项式基函数定义的Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：l局部支承性：Ri,k(t)=0，tti,ti+kl权性：l可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处(k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。l若i=0，则Ri,k(t)=0；l若i=+，则Ri,k(t)=1；NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质：l局部性质。l变差减小性质。l凸包性。l在仿射与透射变换下的不变性。l在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。l如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。l若 ，则当 时，l非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲
13、线的特殊情况3.4.2 齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标系xyw中的控制顶点为k阶非有理B样条曲线可表示为：l以坐标原点为投影中心，则得到平面曲线l三维空间的NURBS曲线可以类似地定义。l非有理B样条的算法可以推广到NURBS曲线，只不过是在齐次坐标下进行。3.4.3.3 权因子的几何意义权因子的几何意义l如果固定曲线的参数t，而使 变化，则NURBS曲线方程变成以 为参数的直线方 程，即NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上。分别是 对应曲线上的点，即N，Bi可表示为：(Pi，Bi，N，B)四点的交比（1）若i增大或减小，则也增大或减小，所以曲线被拉向或推离开Pi点；（2）若j增大或
14、减小，曲线被推离或拉向Pj（ji）。3.4.4圆锥曲线的NURBS表示取节点向量为 则NURBS曲线退化为二次Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。称为形状因子，的值确定了圆锥曲线的类型。时，上式是抛物线弧，时，上式是双曲线弧，时，上式是椭圆弧。时，上式退化为一对直线段P0P1和 P1P2，时，上式退化为连接两点P0P2的直线段3.4.5 NURBS曲线的修改常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。修改权因子l当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶点。欲将曲线在该点S拉向或推离控制顶点Pi一个距离d，以得到新点S，可由重新确定相应的权因子 使
15、之改变为 来达到修改控制顶点l修改控制顶点的位置，曲线随之变形。基于几何约束的形状修改l问题的提法：求新的控制顶点，使曲线上的 点S变到T。T S P(t)l将曲线改写为其中l约束优化方法 假设控制顶点 改变，以满足点约束。我们对以上每个点，给一个扰动量 ，并用约束优化方法求之。约束条件为 令 由 Lagrange 函数 可得方程组 解方程组可得 当只有一个控制顶点可动时，即为 此为CAD主编Piegl于1989年提出的公式。该方法可推广到其他几何约束及曲面。基于能量极小的方法l 曲线 strain energy l曲面 Thin plate energy 3.4.6非均匀有理B样条（NURBS）曲面NURBS曲面的定义 规定四角点处用正权因子，即 ，其余 。NURBS曲面的性质 与非有理B样条基函数相类似的性质：l局部支承性质l权性l可微性.在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微l极值.若p，q1，恒有一个极大值存在l是双变量B样条基函数的推广 谢谢!
