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1、第十二章第十二章 复习课全等全等三角形三角形1.能完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.把两个全等的三角形重合,重合的顶点叫做对应顶点,重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边,全等三角形性质BCEF 3.下图中点A和 ,点B和 ,点C和_ _是对应顶点.AB和 ,BC和 ,AC和 是对应边.A和 ,B和 ,C和 是对应角.AD点D点E点FDEEFDFDEFABCDEF 4.性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.如图:ABCDEF,AB=DE,BC=EF,AC=DF A=D,B=E,C=F.应用格式:用符号语言表达为:在ABC与DEF中ABCDEF(SAS).1.两边和它们的夹角对应相等的两
2、个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).FEDCBAAC=DF,C=F,BC=EF,三角形全等的判定方法A=D,AB=DE,B=E,在ABC和DEF中,ABCDEF(ASA).2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形 全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).用符号语言表达为:FEDCBA 3.三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为 “边边边”或“SSS”).ABCDEF在ABC和 DEF中,ABC DEF(SSS).AB=DE,BC=EF,CA=FD,用符号语言表达为:4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三 角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).5.斜边和一条直角
3、边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.ABCDEF注意:对应相等.“HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中,AB=DE,AC=DF,RtABCRtDEF(HL).角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E 角的平分线的判定 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 如图,已知ACEDBF,CE=BF,AE=DF,AD=8,BC=2(1)求AC的长度;(2)试说明CEBF解:(1)ACEDBF,AC=BD,则AB=DC.BC=2,2AB+2=8
4、,AB=3,AC=3+2=5.(2)ACEDBF,ECA=FBD,CEBF 全等三角形的性质专题1例1 两个全等三角形的长边与长边,短边与短边分别是对应边,大角与大角,小角与小角分别是对应角.有对顶角的,两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的,公共边一定是对应边.有公共角的,公共角一定是对应角.练习练习1:如图所示,ABDACD,BAC=90(1)求B;(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由解:(1)ABDACD,B=C.又BAC=90,B=C=45.(2)ADBC理由:ABDACD,BDA=CDA.BDA+CDA=180,BDA=CDA=90,ADBC 已知,ABCDCB,ACB DBC
5、,求证:ABCDCBABCDCB,BCCB,ACBDBC,证明:在ABC和DCB中,ABCDCB(ASA).BCAD分析:运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 全等三角形的判定专题2例2练习练习2:已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=FD 如图,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证:DEC=FEC.ABCDFEG分析:欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DE
6、C=DCE转化为证明DEG DCG 全等三角形的性质与判定的综合应用专题3例3ABCDFEG证明:CEAD,AGE=AGC=90.在AGE和AGC中,AGE=AGC,AG=AG,EAG=CAG,AGE AGC(ASA),GE=GC.AD平分BAC,EAG=CAG.ABCDFEG在DGE和DGC中,EG=CG,EGD=CGD=90,DG=DG.DGE DGC(SAS).DEG=DCG.EF/BC,FEC=ECD,DEG=FEC.利用全等三角形证明角相等,首先要找到两个角所在的两个三角形,看它们全等的条件够不够;有时会用到等角转换,等角转换的途径很多,如:余角、补角的性质,平行线的性质等,必要时要
7、想到添加辅助线.练习3:如图,OBAB,OCAC,垂足为B、C,OB=OC,BAO=CAO吗?为什么?OCBA解:BAO=CAO.理由:OBAB,OCAC,B=C=90.在RtABO和RtACO中,OB=OC,AO=AO,RtABORtACO (HL),BAO=CAO.利用全等三角形解决实际问题 如图,两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上,旗杆与地面垂直,另一端分别固定在地面上的木桩上,两根木桩离旗杆底部的距离相等吗?ABCD分析:将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC,ADBC.专题4例4ABCD解:相等.理由如下:ADBC,ADB=ADC=90.在Rt
8、ADB和RtADC中,AD=AD,AB=AC,RtADB RtADC(HL).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度,还可对某些因素作出判断,一般采用以下步骤:(1)先明确实际问题;(2)根据实际抽象出几何图形;(3)经过分析,找出证明途径;(4)书写证明过程.练习练习4:如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状,A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A、B间的距离吗?解:要测量A、B间的距离,可用如下方法:过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C、D,使CD=BC;再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上.ACB=ECD,CB=CD,
9、ABC=EDC,EDCABC(ASA)DE=BA即测出DE的长就是A、B之间的距离CDE 角平分线的性质与判定 如图,1=2,点P为BN上的一点,PCB+BAP=180.求证:PA=PC.BACN)12P分析:由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF,构造角平分线的性质与判断的基本图形.EF专题5例5证明:过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E、F.BACN)12PEF1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E、F,PE=PF,PEA=PFC=90.PCB+BAP=180,BAP+EAP=180.EAP=PCB.在APE和CPF中,PEA=PFC=90,EAP=FCP,PE
10、=PF,APE CPF(AAS),PA=CP.方法2思路分析:由角是轴对称图形,其对称轴是角平分线所在的直线,所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD(如图).则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.ACN)12PB证明过程请同学们自行完成!D归纳拓展:角的平分线的性质是证明线段相等的常用性质.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路,一种作垂线段构造角平分线性质基本图;另一种是构造轴对称图形.练习5:如图,1=2,点P为BN上的一点,PA=PC,求证:PCB+BAP=180.BACN)12PEF证明:过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E、F.1
11、=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E、F,PE=PF,PEA=PFC=90.PA=PC,PE=PF,在RtAPE和RtCPF中,RtPAE RtPCF(HL).EAP=FCP.BAP+EAP=180,PCB+BAP=180.想一想:本题如果不给图,条件不变,请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢?BACN)12PEF全等三角形性 质基本性质和其他重要性质判 定判定方法基本思路作 用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件(包括图中隐含条件)选定判定方法证明准备条件角 的 平 分 线的 性 质 定 理角 的 平 分 线的 判 定 定 理证明两条线段相等证 明 角 相 等辅助线添 加 方 法课堂总结课堂总结