2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，1，2，，，则 A．， B．， C．， D．，2． A． B． C． D．3．图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.94．已知向量，，，若，，，则 A． B． C．5 D．65．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种6．若，则 A． B． C． D．7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，且，（1），则 （ A． B． C．0 D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数的图像关于点，中心对称，则 A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线10．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则 A．直线的斜率为 B． C． D．11．如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则 A． B． C． D．12．若，满足，则 A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知随机变量服从正态分布，且，则 ．14．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．15．设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．16．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合，中元素的个数．18．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．（1）求的面积；（2）若，求．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．20．（12分）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．21．（12分）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．（1）求的方程；（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，1，2，，，则 A．， B．， C．， D．，【思路分析】解不等式求集合，再根据集合的运算求解即可．【解析】，解得：，集合，．故选：．【试题评价】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．2． A． B． C． D．【思路分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．【解析】．故选：．【试题评价】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．3．图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【思路分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．【解析】设，则，，，由题意得：，，且，解得，故选：．【试题评价】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考查学生的知识运用能力，是基础题．4．已知向量，，，若，，，则 A． B． C．5 D．6【思路分析】先利用向量坐标运算法则求出，再由，，，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数的值．【解析】【解法一】向量，，，，，，，，，解得实数．故选：．【解法二】（补解）：，，，，，，，，，解得实数．故选：．【解法三】（补解）：记,,,由题意可得，OC为OA与OB为邻边的棱形对角线，且，故.故选: C.【试题评价】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【思路分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【解析】【解法一】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，甲站在两端的情况有种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，故选：．【解法二】（补解）：先把丙和丁捆绑在一起有种情况，然后把丙丁当成一个元素和乙、戊三个元素一起排有种情况，最后利用插空法排甲，三个元素排好有四个空，首尾各一个空，但是根据题意甲不能站两端，所以甲只能站在中间的两个空中，所以排甲有种情况，最后总情况数为种情况.故选：.【试题评价】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．6．若，则 A． B． C． D．【思路分析】由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而可求．【解析】【解法一】因为，所以，即，所以，所以，所以，所，，所以，所以．故选：．【解法二】（补解）：，所以，即，由和差化积公式得，所以，所以，所以，，所以，所以故选：．【解法三】（补解）：（特值法）令，则原式为，，，.故选：．【解法四】（补解）：（特值法）令可排除A，D.令可排除B.故选：．【试题评价】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A． B． C． D．【思路分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积．【解析】【解法一】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得或解得，该球的表面积为．故选：．【解法二】（补解）：设，或，在中，，即，在中，，即，，该球的表面积为．故选：．【试题评价】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目．8．已知函数的定义域为，且，（1），则 A． B． C．0 D．1【思路分析】先根据题意求得函数的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．【解析】【解法一】令，则，即，，，，则，的周期为6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故选：．【解法二】（补解）：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．【解法三】（补解）：取符合条件，则，计算可得（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，【试题评价】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数的图像关于点，中心对称，则 A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线【思路分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断、、、的真假．【解析】因为的图象关于点，对称，所以，，所以，因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．【试题评价】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则 A．直线的斜率为 B． C． D．【思路分析】由已知可得的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．【解析】【解法一】如图，，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故正确；，，，故错误；，故正确；，，，，，，，，均为钝角，可得，故正确．故选：．【解法二】（补解）：对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，，，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，，，，代入抛物线得，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.【解法三】（补解）：记，B选项可利用，，，代入抛物线得，下同解法1;C可利用通径=，C对.【试题评价】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11．如图，四边形为正方形，平面，，．记三。
