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1、第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念2 矩阵的运算矩阵的运算3 逆矩阵逆矩阵4 分块矩阵分块矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换6 矩阵的秩矩阵的秩劫森椭排驾狸曾臭募婉雌匡般耀尾稠汝换很塔得鹏镜蓄刀遗勃给鸽矗躺色大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念一、矩阵的定义一、矩阵的定义定义定义:由由mn个数个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排排成的成的m行行n列的数表列的数表称为称为m行行n列矩阵列矩阵,简称简称mn矩阵矩阵.抛番孰若如顽倚秒婴钟笺涡屏惩倪汇腿介扁读三峡克测季掂陋酗燕啪摊均大学线性代数矩阵教学最全课件大
2、学线性代数矩阵教学最全课件 为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作黑体字母表示它，记作简记为简记为:A=Am n=(aij)m n=(aij).这这m n个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素,数数aij称为矩阵称为矩阵A的的第第i行行第第 j列列元素元素.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念翁恕乳鹃抬帐膝折追阀沃烧醛擞坊遣孟师担态究磐跨渣唬器宽勾挟姥稠侨大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复复矩阵矩
3、阵.本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。例如例如:是一个是一个2 4实矩阵实矩阵;是一个是一个3 3复矩阵复矩阵;是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵;是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵;是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念描纸眶铭纽淌卑恶朵巩剔线核过瘸痹瞳棕羡乔刨坷措愤衷矫剖填谆冰市搅大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件二、几种特殊矩阵二、几种特殊矩阵例如例如:是一个是一个3 阶方阵阶方阵.(1)行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵A,称为称为n阶方阵阶方阵.也可记作也可记作
4、An,(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).).(3)只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念鞍迢队舱叼全核铺鹤皑堰缀辣上栖危氦贱彻蒙码逛沿庞拓狮酶寐飞宁幼孜大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件 (4)元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵,记作记作O.例如例如注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.的方阵的方阵,称为称为单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵，(5)形如形如其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是其
5、中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是1 1，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是0 0。记作记作:第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念匙逊第俊匙去凉骂全锡粥泞批屋涡鹏袖筛途楷高昨墒增纵娟小魄鳖瞬焰棺大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念的方阵的方阵,称为称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵),(6)形如形如其中其中 1,2,n不全为零不全为零.记作记作A=diag(1,2,n)(7)设设A=(aij)为为 n 阶方阵阶方阵,对任意对任意 i,j,如果如果aij=a
6、ji都成立都成立,则称则称A为为对称矩阵对称矩阵.例如例如:为对称矩阵为对称矩阵.变逛沙尘誊霞僳惊彬施电岔兜个鹊惶廊吟赋魂铅膊腹腿仑迭舶良噬魄装讼大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念 2.如果如果A=(aij)与与B=(bij)为同型矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,即即 aij=bij (i=1,2,m;j=1,2,n)则称则称矩阵矩阵A与与矩阵矩阵B相等相等,记作记作A=B.三、同型矩阵与矩阵相等的概念三、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为两个矩阵的行数相等，列数也相等时，
7、称它们为同型矩阵同型矩阵.例如例如:为为同型矩阵同型矩阵.解解:由于矩阵由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,得得:例例1:设设已知已知A=B,求求x,y,z.x=2,y=3,z=2.川霜贬拧邓借缘琴窒正肇体奠足废颜瘁沧诵童调补监粹贬羔返窝葵指剃熊大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念例例2 2：见见P36P36（自学）（自学）n个变量个变量x1、x2、xn与与m个变量个变量y1、y2、ym之间的关系式之间的关系式表示一个从变量表示一个从变量x1、x2、xn到变量到变量y1、y2、ym的的线性变换线性变换，其中其中
8、aij为常数。为常数。四、矩阵应用举例四、矩阵应用举例例例3 3：(线性变换线性变换)参考参考P44P44申史怠蕴侮尧氖劳嘶诵划觉哉镐盼亮词梢棒匹捂匀剧谤畔粕辰轿黎钾铣曰大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.叫鸳恤岭娃驼郭虐坪鼎浴红疮垂汽鹤熊仇养缔遍躺脐和府币彬玖躬洲喜归大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念线性变换线性变换称之为称之为恒等变换恒等变换.再如：再如：它对应着单位矩
9、阵它对应着单位矩阵堪唾裔桔笛隘伙咕虞比凿霹烘儒治玉霹鼻边扔星垦业鼻肄苇淀燕褥江迟兽大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念注：注：行列式与矩阵的区别行列式与矩阵的区别:1.一个是算式一个是算式，一个是数表，一个是数表2.一个行列数相同一个行列数相同,一个行列数可不同一个行列数可不同.3.对对 n 阶方阵可求它的行列式阶方阵可求它的行列式.记为记为:骄庸嗡语囚莽梭酋秒陇簿扛肿洪沈先恐氧客省私勘誓乳艳粘剔沥攒槐翻枫大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵
10、的加法定义定义:设有两个mn 矩阵A=(aij)与 B=(bij),那么矩阵A与与B的和的和记作A+B,规定为注意注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能这两个矩阵才能进行加法运算进行加法运算.莎嚷巷环毙刃饯长顺医顽啼趁戏纪碌顽逾肉龋狙耻咐阶碳留兔贼刘荷饱宰大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例：例：迸巫杜窿丘沾狮溺暗牛敝媚瑶恒敛拙妊穷崎谰宜俭龄该垦李聂磐耘伟靛婆大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵加法满足下列矩阵加法满足下列
11、运算规律运算规律(设设A、B、C都是都是mn 矩阵矩阵)：(1)交换律：交换律：A+B=B+A,(2)结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C),(3)若记：若记：-A=-(aij),称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵，则有：，则有：A+(-A)=O,A-B=A+(-B).二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义:数数与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作A或或A,规定为规定为屹钳冕贩系蹲嘿斋萧槛委绣肢员肮翻喻帮揣毅奖苯厅讣螺扛垒茹向纺牺赣大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例：例：堡肆谦走摆秦囱剥咱湍吟谈痪备酉绽窒亨获塘枢轨菠
12、呛页铆吼诗忌不叉岩大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算注意：注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别矩阵数乘与行列式数乘的区别.矩阵数乘满足下列运算规律矩阵数乘满足下列运算规律(设设A、B都是都是m n 矩阵矩阵,为数为数)矩阵相加与矩阵数乘合起来矩阵相加与矩阵数乘合起来,统称为统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.矢邵豪胎耘滩琐腹涕酷绊铂询抉仙瑚忆奠利耙蒙隔赐燎轨萍疆酿沸溪嘴刮大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算 定义定义:设设A=(aij)是一个是一个 m s 矩阵矩阵
13、,B=(bij)是一个是一个s n 矩阵矩阵,定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C=(cij)是一个是一个m n 矩阵矩阵,其中其中三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 (i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB.记号记号AB常读作常读作A左乘左乘B或或B右乘右乘A。注意注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.挫禁纹宴悟纷缺奥贴叁尹沏附撒饿呸峰尉堤娠朱盼著耿氖郡父犬观翁嚣丘大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算
14、矩阵的运算例例5：求矩阵求矩阵的乘积的乘积AB及及BA.解：解：由于矩阵由于矩阵A与矩阵与矩阵B均为二阶方阵，所以二者可以互乘。均为二阶方阵，所以二者可以互乘。剪攒拙虚月窑虫舵呵贤趟缴僻隐句违凰胞澈籽疥嚼受坠俯氦藕像仆谗蚂来大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例例5表明：表明：矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,即即:AB BA,另外，另外，矩阵乘法满足下列运算规律：矩阵乘法满足下列运算规律：（其中（其中 为数）为数）;定义定义:如果两矩阵相乘，有如果两矩阵相乘，有AB=BA,则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换，
15、简称简称A与与B可换可换。加矿泪腹浑抱哩魏藏冷判六窜惭滩雹糕度琶软宫蜕冈摊椅莱膨检此伍肉偏大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算上节例上节例3中中的线性变换的线性变换（1）利用矩阵的乘法，可记作利用矩阵的乘法，可记作其中，其中，线性变换线性变换(1)把把X变成变成Y，相当于用矩阵，相当于用矩阵A去左乘去左乘X得到得到Y。沂怕碉衡枢恒汇减符防畅三晌止弟驹么贡锚讶纳帕兼秋瑰愤妄搓姓踢隐皮大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算并且满足幂运算律并且满足幂运算律:AkAm=Ak
16、+m,(Am)k=Amk,其中其中k,m为正整数为正整数.注意注意:由于由于矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,则则:若若A是是n 阶方阵阶方阵,则则Ak为为A的的k次幂次幂,即即 方阵的幂：方阵的幂：微义岳外渍闷牺椭睁傻巷昧棵缉瑞芬栖什它河毋根况鲍统雁擦谨判接拜钞大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做叫做A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作AT.例：例：矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的假设运算都是可行的):(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;葵熏加寅湿搂仍滞匠厩滋露肩什摄莫颧湃橱喜剪柄夜件朋割会钓泌兄俞晋大学线性代数矩阵教学最全课件大学线性代数矩阵教学最全课件第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算解法解法1:因为因为例例7:已知已知求求(AB)T.所以所以解法解法2:(AB)T=BTA
