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1、第三章第三章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析本章主要内容本章主要内容u李雅普诺夫稳定性含义李雅普诺夫稳定性含义u李雅普诺夫稳定性判别方法李雅普诺夫稳定性判别方法u李雅普诺夫函数的构造李雅普诺夫函数的构造解决那些问题解决那些问题u线性与非线性系统稳定性如何判别线性与非线性系统稳定性如何判别u李雅普诺夫稳定判别方法应用李雅普诺夫稳定判别方法应用主要内容主要内容主要问题主要问题问题问题1 1 为何引入李雅普诺夫稳定性分析为何引入李雅普诺夫稳定性分析问题问题2 2 什么是系统的平衡状态什么是系统的平衡状态问题问题3 3 李雅普诺夫稳定性有何含义，与经典控制稳定性的区别李雅普诺夫稳定性有何含义
2、，与经典控制稳定性的区别问题问题4 4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别李雅普诺夫第一方法与第二方法区别问题问题5 5 如何利用李氏定理进行稳定性判别如何利用李氏定理进行稳定性判别问题问题6 6 李雅普诺夫函数有何含义，如何构造李雅普诺夫函数有何含义，如何构造问题问题7 7 如何采用李雅普诺夫稳定分析判定系统稳定性如何采用李雅普诺夫稳定分析判定系统稳定性问题问题 1为何引入李雅普诺夫稳定性分析分析一个控制系统的稳定性分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重一直是控制理论中所关注的最重要问题。要问题。经典控制稳定性分析方法经典控制稳定性分析方法u特征方程的根特征方程的根u劳斯（劳斯
3、（RouthRouth）判据）判据u根轨迹方法根轨迹方法u奈氏（奈氏（NyquistNyquist）判据）判据问题1 为何引入李雅普诺夫稳定性分析经典控制理论稳定性分析局限经典控制理论稳定性分析局限u局限于讨论局限于讨论SISOSISO线性定常系统输入输出间动态关系线性定常系统输入输出间动态关系u局限于线性定常系统的有界输入有界输出局限于线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)(BIBO)稳定性稳定性u局限于研究系统的外部稳定性，未研究系统的内部状态变化的稳定性。局限于研究系统的外部稳定性，未研究系统的内部状态变化的稳定性。u不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。不能推广到时变系统和非线
4、性系统等复杂系统。问题1 为何引入李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性理论应用广泛李雅普诺夫稳定性理论应用广泛u线性定常系统线性定常系统u时变系统时变系统u非线性系统非线性系统u离散时间系统离散时间系统u离散事件动态系统离散事件动态系统问题1 为何引入李雅普诺夫稳定性分析问题问题 2什么是系统的平衡状态平衡状态平衡状态设系统的状态方程为设系统的状态方程为 x x=f(x,tf(x,t)其中其中x x为为n n维状态变量维状态变量;f(x,t)f(x,t)为为n n维的关于状态变量向量维的关于状态变量向量x x和时间和时间t t的非线性向量函数的非线性向量函数对该非线性系统对该非线性系统,其平衡
5、态的定义如下。其平衡态的定义如下。问题2 什么是系统的平衡状态动态系统动态系统 x x=f(x,tf(x,t)的平衡态是使的平衡态是使f(x,tf(x,t)=0)=0的状态的状态,并用并用xexe来表示。来表示。平衡态即指状态空间中状态变量的导数平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点向量为零向量的点(状态状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。状不运动的状态。问题2 什么是系统的平衡状态问题2 什么是系统的平衡状态李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附李雅普诺夫稳定性研究的
6、平衡态附近近(邻域邻域)的运动变化问题。的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态状态的运动最后都趋于该平衡态,则则称该平衡态是渐近稳定的称该平衡态是渐近稳定的;若发散掉则称为不稳定的若发散掉则称为不稳定的,若能维持若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的。则称为稳定的。对于线性定常系统对于线性定常系统 x x=Ax=Ax 的平衡态的平衡态xexe是满足下述方程的解。是满足下述方程的解。Axe=0Axe=0当矩阵当矩阵A A为非奇异时为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态线性系统只有一个孤立
7、的平衡态xe=0;xe=0;而当而当A A为奇异时为奇异时,则存在无限多个平衡态则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不为孤且这些平衡态不为孤立平衡态立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分别为它们分别为对应于式对应于式f(x,t)f(x,t)0 0的常值解。的常值解。问题2 什么是系统的平衡状态q对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。问题2 什么是系统的平衡状态对于孤立平衡态对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间
8、的总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。原点。因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状态空间的原点。值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部性特点性特点,因此在讨论稳定性时因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻域通常还要确定平衡态的稳定邻域(区域区域)。问题2 什么是系统的平衡状态问题问题 3李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别线性系统的稳定性只决定于系统的结构结构和参数参数，而与系统的初初始条件始条件及外界扰动的大小外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件初始条件及外界扰动的大
9、小外界扰动的大小有关。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为系统的稳定性定义为四种情况。四种情况。问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性u若状态方程：若状态方程：x x=f(x,tf(x,t)所描述的系统所描述的系统 对于任意的对于任意的 00和任意初始时刻和任意初始时刻t0,t0,都对应存在一个实数都对应存在一个实数(,t0)0,t0)0,使得对于任意位于平衡态使得对于任意位于平衡态xexe的球域的球域S(xe,S(xe,)的初始状态的初始状态x0 x0u当从此初始状态当从此初始状态x0 x0出发的状态方程的解出发的状态方程的解
10、x x都位于球域都位于球域S(xe,S(xe,)内内则称系统的平衡态则称系统的平衡态xexe是李雅普诺夫意义下稳定的是李雅普诺夫意义下稳定的问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别1 1、稳定、稳定若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长，使从s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，简称为稳定。问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别2 2、渐近稳定、渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。
11、问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别3 3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别4 4、不稳定、不稳定如果对于某个实数0和任一实数0，不管这个实数多么小，由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种平衡状态xe不稳定。问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于
12、不稳定系统。问题3 李雅普诺夫稳定有何含义，与经典控制稳定性的区别渐近稳定稳定不稳定Lyapunov意意义义下下稳定(Re(s)0)经经典控制理典控制理论论(线线性系性系统统）问题问题 4李雅普诺夫第一方法与第二方法区别李雅普诺夫第一法又称间接法李雅普诺夫第一法又称间接法u它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。断。对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近似得到
13、线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的次近似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。稳定性。由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统。而不能推广至时变系统。问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别李雅普诺夫第李雅普诺夫第二二法又称法又称直直接法接法它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断
14、。李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。它是从能量观点进行稳定性分析的。问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别l如图所示曲面上的小球B，受到扰动作用后，偏离平衡点A到达状态C，获得一定的能量，
15、(能量是系统状态的函数)然后便开始围绕平衡点A来回振荡。如果曲面表明绝对光滑，运动过程不消耗能量，也不再从外界吸收能量，储能对时间便没有变化，那么，振荡将等幅地一直维持下去，这就是李雅普诺夫意义下的稳定。如果曲面表面有摩擦，振荡过程将消耗能量，储能对时间的变化率为负值。那么振荡幅值将越来越小，直至最后小球又回复到平衡点A。根据定义，这个平衡状态便是渐近稳定的。BAC由此可见，按照系统运动过程中能量变化趋势能量变化趋势的观点来分析系统的稳定性是直观而方便的。由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能
16、量函数，然后，根据 的符号特征来判别系统的稳定性。对一个给定系统，若能找到一个正定的标量函数V(x)，而 是负定的，则这个系统是渐近稳定的。这个V(x)叫做李雅普诺夫函数。实际上，任何一个标量函数只有满足李雅普诺夫稳定性判据所假设的条件，均可作为李雅普诺夫函数。问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别由此可见，应用李雅普诺夫第二法的关键问题便可归结为寻找李雅普诺夫函数V(x)的问题。过去，寻找李雅普诺夫函数主要是靠试探，几乎完全凭借设计者的经验和技巧。这严重地阻碍着李雅普诺夫第二法的推广应用。现在，随着计算机技术的发展，凭借数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是要想找到一套对任何系统都普遍适用的方法仍很困难。问题4 李雅普诺夫第一方法与第二方法区别问题问题 5如何利用李氏定理进行稳定性判别李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理 设系统的状态方程为 且满足 如果在原点的某一邻域内,存在一标量函数 它具有连续的一阶偏导数 并且满足以下条件:1)是正定的,2)是负定负定的,则系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的渐进稳定的.如果随着 有 则系统在原点处的
