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1、 第六章多元函数微积分(1)理解空间直角坐标系的基本概念.(2)掌握几种常见的空间曲面的标准方程和相应的图形（如柱面、旋转曲面和二次曲面等）.(3)了解平面区域、区域的边界、点的邻域、开区域、闭区域、有界区域与无界区域等概念.(4)了解多元函数的基本概念和几何意义，会求二元函数的定义域.(5)理解二元函数极限的定义及二元函数连续性的概念、性质.第六章 多元函数微积分学习目标(6)了解多元函数偏导数的基本概念和几何意义，掌握求偏导数的各种方法，熟练掌握求多元复合函数偏导数的方法，理解偏导数及其在经济分析中的应用.(7)熟练掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法.(8)了解全微分的概念及其存在的
2、充分条件和必要条件.(9)了解二元函数的极值和条件极值的概念，能够运用二元函数极值存在的必要条件和充分条件求解二元函数的极值；掌握拉格朗日乘数法，并能用它求解简单的二元函数条件极值的问题.第六章 多元函数微积分学习目标(10)理解二重积分的概念与性质.(11)会利用直角坐标和极坐标计算二重积分.第六章 多元函数微积分学习目标目录Contents第一节 空间解析几何简介第五节第六节 多元函数的极值与最值第七节 二重积分的概念与性质第八节 二重积分的计算多元复合函数与隐函数的求导法则第四节 全微分及其应用第三节 偏导数及其在经济上的应用第二节 多元函数01空间解析几何简介第一节 空间解析几何简介我
3、们已经讨论了只含有一个自变量的函数，即一元函数，并且介绍了一元函数的微分学和积分学.在许多实际问题和经济管理中，常常会遇到含有多个自变量的函数，即多元函数.本章我们将讨论多元函数的微积分学.由于多元函数的性质与二元函数类似，因此只以二元函数为主进行讨论.在学习多元函数微积分之前，我们先来做一些准备，简单地介绍一些空间解析几何的知识.我们已经学过了平面直角坐标系，为了学习多元函数，我们引进空间直角坐标系.在空间中任意取一点O，过点O作两两互相垂直的三条数轴Ox，Oy，Oz，并且取相等的单位长度，然后按照右手法则来确定方向.所谓右手法则，就是指右手伸直，拇指朝上作为Oz的正方向，把其余四指所指的方
4、向记为Ox的正方向，将四指弯曲90后所指的方向记为Oy的正方向，如图6-1所示.按照这样的方式，我们就建立了空间直角坐标系.我们把点O称为坐标原点，把这三条数轴称为坐标轴，并且依次记为x轴、y轴、z轴.同时，将每两条坐标轴所确定的平面，称为坐标平面.由x轴和y轴确定的平面称为xOy平面，由y轴和z轴确定的平面为yOz平面，由x轴和z轴确定的平面为xOz平面.第一节 空间解析几何简介一、空间直角坐标系用这三个坐标平面将整个三维空间分成8个部分，我们把这8个部分称为8个卦限，把在xOy平面上方，在yOz平面前方，在xOz平面右方确定的那个空间部分称为第一卦限.据此，将在xOy平面上方按照逆时针方向
5、确定的各部分依次地定义为第一卦限（）、第二卦限（）、第三卦限（）和第四卦限（），将位于xOy平面下方、第一卦限的正下方的空间部分定义为第五卦限（），接着按逆时针方向依次是第六卦限（）、第七卦限（）和第八卦限（），如图6-2所示.第一节 空间解析几何简介一、空间直角坐标系第一节 空间解析几何简介一、空间直角坐标系图-1图6-2在空间直角坐标系中，过任一点M分别作垂直于三个坐标轴的平面，与三个坐标轴分别交于P,Q,R三点，设这三个点在这三条数轴上的坐标分别为a,b,c，这样点M便唯一确定了三个有序的实数a,b,c.反之，若已知三个有序的实数a,b,c，则在空间中必有唯一确定的一点M与之对应（图6-
6、3）.可见，空间点M与有序数组(a,b,c)建立一一对应关系，我们称(a,b,c)为点M的坐标，其中a叫作横坐标，b叫作纵坐标，c叫作竖坐标.第一节 空间解析几何简介一、空间直角坐标系易知，原点O的坐标为(0,0,0)，x轴上点的坐标为(a,0,0)，y轴上点的坐标为(0,b,0)，z轴上点的坐标为(0,0,c).第一节 空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6-3已知空间中的任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，过点M1，M2分别作平行于三个坐标面的平面，这六个平面构成一个以线段M1M2为对角线的长方体（图6-4），则M1M2的距离为特别地，任意一点A(x,y,z)到原点
7、O的距离为第一节 空间解析几何简介二、空间中两点间距离公式第一节 空间解析几何简介二、空间中两点间距离公式例6-1 求点M(2,1,1)到y轴的距离解 过点M作y轴的垂线，其垂足点P的坐标为(0,1,0)，所以图6-4在解析几何中，我们可以把曲面看作点运动形成的几何图形.如果曲面S上的点的坐标都使得三元方程F（x,y,z)=0成立，而不在曲面S上的点的坐标都不使得方程F（x,y,z)=0成立，那么这个三元方程F（x,y,z)=0就称为曲面S的方程，同时曲面S就称为方程F（x,y,z)=0的图形.下面介绍几种常见的曲面及其方程.第一节 空间解析几何简介三、曲面与方程第一节 空间解析几何简介三、曲
8、面与方程1.球面方程如图6-5所示，以点M(x0,y0,z0)为球心，半径为R的球面方程为 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2图6-5第一节 空间解析几何简介三、曲面与方程2.平面方程一般地，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C20)表示空间中的一个平面.3.椭球面标准方程椭球面标准方程（图6-6）为图6-6第一节 空间解析几何简介三、曲面与方程4.柱面方程 一般地，对于平行于某定直线的直线L，其沿着定曲线C平行移动所形成的轨迹就称为柱面.将这条平行移动的动直线L称为柱面的母线，将定曲线C称为柱面的准线.例如，方程F（x,y)=0表示以xOy平面上的定曲线C为准线，
9、母线平行于z轴的柱面（图6-7）；方程F（x,z)=0表示以xOz平面上的定曲线C为准线，母线平行于y轴的柱面；方程F（y,z)=0表示以yOz平面上的定曲线C为准线，母线平行于x轴的柱面.图6-7第一节 空间解析几何简介三、曲面与方程5.椭圆抛物面方程方程被称为椭圆抛物面方程，它所对应的曲面被称为椭圆抛物面（图6-8）.图6-86.双曲抛物面方程方程被称为双曲抛物面方程，它所对应的曲面被称为双曲抛物面.7.椭圆锥面方程方程被称为椭圆锥面方程，它所对应的曲面被称为椭圆锥面.第一节 空间解析几何简介三、曲面与方程02多 元 函 数在社会生活和经济活动中，经常会遇到两个或两个以上变量之间存在依赖关
10、系的情况.例如，矩形面积S=xy（x0，y0），其中x,y分别表示矩形的长和宽；若用R（R0），h（h0）表示圆柱体的底面半径和高，则圆柱体的体积V=R2h；又如，某商品的社会需求量Q与商品的价格P、消费者的数量L及消费者的收入水平R有关，所以Q是P，L和R的函数.这些依赖于两个或两个以上变量的函数就是多元函数.下面我们将以二元函数为例来讲授多元函数的概念.第二节 多 元 函 数一、多元函数的概念 定义6-1 在某个变化的过程中，假设有两个变量x和y，如果对于变量x和y所取的任何一组允许值，按照某一对应法则f总有唯一确定的变量z与之对应，那么我们就称这个法则f为x，y的一个二元函数，记作z=f
11、x，y，其中，变量x和y称之为自变量，变量z称为函数值(或因变量).与一元函数类似，使二元函数有意义的自变量x，y的集合，称为二元函数的定义域，记作D(f).二元函数的定义域通常是xOy平面上的某个区域.区域一般是由平面上的曲线围成的平面图形，用D表示.我们把围成平面区域的这些曲线称为边界，把不包括边界在内的区域称为开区域，把包括边界在内的区域称为闭区域，把可以无限延伸的区域称为无界区域，否则称为有界区域.第二节 多 元 函 数一、多元函数的概念例6-2 求z=ln(x-y)+的定义域.解 要使函数有意义，必须第二节 多 元 函 数一、多元函数的概念即故所求函数的定义域为开区域(图6-9的阴影
12、部分).例6-3 求函数f(x,y)=arcsin(3x2y2)的定义域.解 要使函数有意义，必须13x2y21，即2x2+y24，其定义域为图6-10所示的阴影部分.第二节 多 元 函 数一、多元函数的概念图6-9图6-10第二节 多 元 函 数一、多元函数的概念设二元函数z=f(x,y)的定义域为xOy平面上的某一区域D，将区域D中的任意一点Px,y代入二元函数，可求得变量z.在空间中，点Px,y与点M(x,y,z)一一对应，当点Px,y变动时，点M(x,y,z)也随之变动，这样就得到一张曲面，如图6-11所示.第二节 多 元 函 数二、二元函数的几何意义图6-11 例如，二元函数z=ax
13、+by+c的图形在空间中是一张平面，特别地，当z=0时，其表示xOy平面；当x=0时，其表示yOz平面；当y=0时，其表示xOz平面；当z=c时，其表示与xOy平面平行且距离为丨c丨的一个平面.又如，二元函数z=表示以原点O为中心、半径为1的上半球面（图6-12），其定义域为xOy平面上以原点O为圆心的单位圆.而z=x2+y2的图形在空间中是一个旋转抛物面（图6-13）.第二节 多 元 函 数二、二元函数的几何意义第二节 多 元 函 数二、二元函数的几何意义图6-12图6-131.邻域的概念在研究多元函数时，经常用到邻域的概念.邻域是符合一定条件的点组成的集合.在平面点集中，我们这样来定义邻域
14、：设0，满足 的点M(x,y)的全体称为M0的邻域，记作U(M0,)；满足0 f(x0,y0)，则称函数在点P0(x0,y0)处有极小值；反之，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点P0(x0,y0)处有极大值f(x0,y0)，相应的点P0(x0,y0)分别称为极小(大)值点.极小值和极大值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.例如，函数z=在点（0，0）处有极大值；函数z=x2+y2在点（0，0）处有极小值；而z=xy没有极值.如何判断函数是否有极值，以及在哪些点处取得极值，我们可以利用多元函数的偏导数.下面我们就来讨论一下有关极值的两个定理.定理6-6（二元函数极值的必要
15、条件）如果二元函数z=f（x,y）在点P0(x0,y0)处有极值，并且在这点处具有偏导数，那么我们把使得二元函数z=f（x,y）偏导数等于零的点，称为函数的驻点.如定理6-6中的点P0(x0,y0).第六节 多元函数的极值与最值一、二元函数的极值定理6-7（二元函数极值的充分条件）如果二元函数z=f（x,y）在点P0(x0,y0)的某个邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，并且有当满足以下条件：则可判定驻点P0(x0,y0)是否为极值点.第六节 多元函数的极值与最值一、二元函数的极值例6-23 求函数f(x,y)=6xx2+4yy2的极值.解 先解方程组 得驻点（3，2），再求二阶偏导数：因此，B2
16、AC=0(2)(2)=4，又A=20，所以函数在点（3，2）处有极大值f(3,2)=6332+4222=13.第六节 多元函数的极值与最值一、二元函数的极值求具有二阶连续偏导数的二元函数z=f（x,y）的极值的一般步骤如下.第一步：求解偏导数方程组 得到函数的全部驻点.第二步：求出每个驻点P0(x0,y0)处的二阶偏导数的值A，B，C.第三步：计算B2AC的值，由极值存在的充分条件判定f(x0,y0)是否为极值.第六节 多元函数的极值与最值一、二元函数的极值在实际生活中，经常需要我们去求一个多元函数在一定范围内的最大值或最小值.在多元函数概念的学习中，我们已经介绍过有界闭区域上的连续函数一定存在最大值和最小值.具体求解多元函数的最大值和最小值，与一元函数相同，将闭区域边界上的函数值与函数在有界闭区域内的所有驻点处的函数值进行比较，其中最小的就是最小值，最大的就是最大值.特别地，当函数在闭区域内有唯一的驻点，并且根据实际问题可以判断出函数的最大值（最小值）一定在闭区域内取得时，这个驻点处的函数值就是所求的最值.第六节 多元函数的极值与最值二、二元函数的最值第六节 多元函数的极值与最值二、
