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1、第一章极限与连续 极限与连续微积分是高等数学的重要内容之一，而微积分的基本理论是极限.极限方法的萌芽起源于公元5世纪，到17世纪中后期牛顿-莱布尼兹对微积分的创立，经历了漫长的理论探索与问题实践.极限理论是高等数学的基石，是微积分的基础.极限方法也是微积分的最基本方法.因此，掌握极限概念与极限运算是学好高等数学的第一步。目录1.1函数1.2函数的极限1.3极限的运算及其在经济分析中的应用1.4函数的连续性1.5数学建模举例1.1函数1.1.1函数的概念定义1-1设x和y是两个变量，D是R的非空子集，对于任意的xD，通过对应关系f，变量y都有确定的值与它相对应，则称变量y是变量x的函数.记作y=
2、f(x)xD其中x为自变量，y为因变量，D为函数的定义域，f为函数关系，y的取值范围为函数的值域，记为M必须注意的是：定义域和函数关系是函数的两个要素，当函数的两个要素相同时，即为同一个函数.1.1.1函数的概念函数关系的表示上又分为图像法、表格法和解析式法，下面先介绍解析式函数关系的几种常见类型.1.基本初等函数1.1.2函数关系1.基本初等函数1.1.2函数关系1.基本初等函数1.1.2函数关系1.基本初等函数1.1.2函数关系2.复合函数AB复合函数：一般地，如果函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=(x)的值域为W，当Df与W交集I为非空集时，设与I相对应的x的取值范围为D(显然DD
3、)，那么，对于任意xD，通过函数u=(x)有确定的uI与之相对应，由于IDf，因此对于这个u，通过函数y=f(u)有确定的y值与之相对应.这样，对于任意xD，通过变量u有确定的y值与之相对应，从而得到一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数y=f(u)和u=(x)复合而成的复合函数，记作y=f(x)我们知道，当动点在单位圆上以A(0，1)为起点做逆时针匀速运动时，动点在y轴上的投影的纵坐标y是角度的函数y=sin，如果角速度为，则角度是时间t的函数=t.显然，对于大于或等于零的任意时间t，动点在y轴上的投影纵坐标y都是确定的，因此，y也是时间t的函数，即y=sin(t).我们把这
4、样一种函数关系定义如下。1.1.2函数关系1.1.2函数关系必须注意的是：(1)当且仅当Df与W交集I为非空集时，两个函数y=f(u)和u=(x)复合才是有意义的.例如：y=f(u)=arcsinu、u=(x)=x2+2,这两个函数就不能复合.因为，无论x取任何值，都有u2，而对于任意绝对值大于常数1的u，相应的反正弦值都不存在；(2)如果没有特别说明，复合函数的定义域是使复合函数有意义的自变量的取值。例1-1 分解下列复合函数.例题1.1.2函数关系例例例题1.1.2函数关系例题3.初等函数1.1.2函数关系我们把由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并可以用一个解析式
5、表示的函数，称为初等函数.例如，y=x2、y=2x+lnsinx、y=3arctanx2+1等都是初等函数.本教材所涉及的函数绝大多数都是初等函数.4.分段函数我们把在不同的定义域区间所对应的函数解析式不同的函数统称为分段函数.如邮资函数、电话费用函数、个人收入所得税函数等，还有高等数学课程中会涉及到的如下几个分段函数：1.1.2函数关系这里符号函数和取整函数都是非初等函数，但绝对值函数y=x=x2也可以用一个解析式表示，是初等函数.例1-4中华人民共和国个人所得税法和中华人民共和国个人所得税法实施条例自2011年9月1日起施行的个人所得税税率表（工资、薪金所得适用）如表1-2所示. 上述表中
6、“全月应纳税所得额”是从月工资、薪酬收入减去3 500元后的余额.求个人所得税函数y=f(x)及当月纳税为120元时的月薪.1.1.2函数关系例1.1.2函数关系20172016函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。解析式函数的定义域是指解析式有意义的自变量的取值范围。1.1.3定义域函数的几种常用性质对比几何意义罗列如表1-3所示（D为函数f(x)的定义域）1.1.4函数的性质函数的几种常用性质对比几何意义罗列如表1-3所示（D为函数f(x)的定义域）1.1.4函数的性质在经济分析中，经常会涉及到生产成本C、销售收益R、利润L等与生产量Q之间的函数关系，我们把这些函数关系分别称为成
7、本函数、收益函数、利润函数；也会遇到商品的供给Q、需求Q与价格P之间的函数关系，我们把这些函数关系分别称为供给函数、需求函数，它们的反函数就是价格函数。1.1.5经济分析中的函数举例例1-6某厂生产某种产品，固定成本为100元，每生产一件产品需增加6元成本，又知该产品的需求函数为Q=1 000-100p(p表示价格），求：（1）总成本C与产量Q间的函数关系；（2）总收益R与产量Q间的函数关系；（3）利润L与产量Q间的函数关系.解(1)总成本为固定成本与可变成本之和，于是C（Q）1006Q.1.1.5经济分析中的函数举例1.2函数的极限割圆术我国古代数学家刘徽(公元3世纪)创造了“割圆术”，即利
8、用圆内接正多边形的面积来推算圆的面积，他认为不断增加圆内接正多边形的边数，“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”对于圆的面积的计算，先从圆内接正六边形算起，依次将边数加倍，如果把圆内接正62n-1边形的面积记为An,显然，正多边形的边数n越大，则正多边形的面积An就和圆的面积越接近，当n无限增大时，圆内接正多边形的面积就无限接近于圆的面积.1.2.1问题举例温的变化趋势将一盆80的热水放在室温恒为20的房间里，显然，水温T将随时间t的增加而逐渐降低，随着时间t的推移，水温会越来越接近于室温20.单摆运动单摆离开垂直位置一定的距离后，在重力作用下左右摆动，如果
9、不施加外力作用，那么，单摆在摩擦力和空气阻力作用下，其振幅会不断减小，时间越长，振幅也就越小，当时间无限延长时，那么单摆的振幅就无限接近于零.1.2.1问题举例细胞分裂假设某细胞分裂的周期为1分钟，则细胞数量y与时间t的函数关系为y=2t，显然，当时间变量越大，则对应的细胞数量就越多，当t+，对应的细胞数量也就无限增多.1.2.1问题举例1.2.2函数的极限上述举例反映出相同的规律，即当自变量沿着某方向变化时，对应的函数值是否无限接近于一个确定的常数.我们把函数的这种变化趋势定义为极限.根据自变量的变化方式，我们又把函数的极限分为以下两种类型.1.x时函数的极限对于函数f(x),当自变量x的绝
10、对值无限增大时，如果对应的函数值f(x)无限接近于唯一确定的常数A，则称A为函数f(x)当x时的极限，记作1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限当自变量x的绝对值无限增大时，如果对应函数的绝对值f(x)无限增大，则称极限不存在，或称极限为无穷大，记作例如，对于函数 ,当自变量x的绝对值无限增大时，对应的函数值无限接近于常数零，在函数图形上表现为：当函数曲线向左右两侧无限延伸时，曲线和x轴无限接近,即 .如图所示.1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限特别地，当自变量x取正值方向无限增大时，对应的函数值f(x)无限接近于唯一确定的常数A，则称A为函数 f(x)当x+时的极限，记作当自变量x取
11、负值方向无限增大时，对应的函数值 f(x)无限接近于唯一确定的常数A，则称A为函数f(x)当x时的极限，记作1.2.2函数的极限例如，对于函数y=ex,当自变量x取负值无限增大时，即当x时，对应函数值无限接近于常数零，即ex0（x)，如图1-2所示.对于函数y=arctanx，当x时，对应的函数值无限接近于常数/2，即limx-arctanx=-2；当x+时，对应的函数值无限接近于常数/2,即limx+arctanx=/2.如图13所示.1.2.2函数的极限必须注意的是：对于极限limxf(x)=A，自变量的变化方向包括x和x+两种方式，只有当x和x+两种方式下函数f(x)的极限都存在而且相等
12、时，函数 f(x)当x时的极限存在，否则，f(x)当x时的极限不存在.例如，函数y=ex、y=arctanx当x时极限不存在.1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限结论1-1如果下面，我们分析当自变量无限接近于一个确定的值时，对应函数的变化趋势.例如,对于函数 ，当x=1时函数无意义，但是，当自变量x从1的左右两侧无限接近于1时，对应的函数值无限接近于唯一确定的常数2，如图1-4所示.2.xX0时函数的极限定义1-2设函数f(x)在点X0近旁有意义，当自变量x无限接近于X0时，如果对应函数值f(x)无限接近于唯一确定的常数A，则称A为当xX0时函数f(x)的极限，记作1.2.2函数的极限必须
13、注意的是：（1）x无限接近于X0的方式是任意的，它包括变量x从X0的左右两侧无限接近于X0；（2） 反映的是在自变量x无限接近于X0的过程中对应的函数值f(x)的变化趋势，而与函数f(x)在点X0处是否有定义以及函数值的大小无关.结论1-2如果1.2.2函数的极限1.无穷小AB设函数f(x)在X0近旁有意义，当xX0(或x)时，如果相应的函数f(x)的绝对值f(x)无限增大，则称f(x)是xX0（或x)时的无穷大（或无穷大量）.1.2.3无穷小与无穷大2.无穷大如果 ，则称函数f(x)是xx0(或x)时的无穷小（或无穷小量）.无穷小量就是极限为零的变量.例如，当x0时，ax2、sinx等均为无
14、穷小量，当x时， 也是无穷小量.特别地，常数零也是无穷小量.当自变量以某种方式变化时，如果相应的函数值无限增大，那么我们就把具备这样一种变化趋势的量称为无穷大（或无穷大量）.1.2.3无穷小与无穷大1有限个无穷小之和（或差）仍为无穷小.性质1-1有限个无穷小之积仍为无穷小.性质1-3无穷小与有界变量之积仍为无穷小.性质1-2LOGO3.无穷小的性质4.无穷小与无穷大的关系1.2.3无穷小与无穷大由函数 可以看出，当x时（即x为无穷大量时），1x0(即无穷大量的倒数为无穷小量）；反之，当x0(即x为无穷小量且x0时）， (即不为零的无穷小量的倒数为无穷大量）.在自变量的同一变化过程中，无穷大量的
15、倒数为无穷小量；反之，不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.定义1-3对于数列an，当项数n无限增大时，如果对应的项an无限接近于唯一确定的常数A，则称常数A为数列an的极限，数列是一种整标函数，显然，数列的极限只是函数的极限当x+时的特例.1.2.4数列的极限1.3极限的运算及其在经济分析中的应用1.四则运算法则1.3.1极限的运算法则1.四则运算法则1.3.1极限的运算法则1.3.1极限的运算法则1.3.1极限的运算法则2.复合函数的极限运算法则1.3.1极限的运算法则法则设函数y=f(u)与u=(x)构成的复合函数y=f(x)满足：limxX0(x)=a,而复合函数的外函数f(u)为初等函数
16、，且a在函数f(u)的定义域内，则上述运算法则同样适用于当自变量x,或x-,x+及在定点X0处的左右极限的情形.复合函数的极限运算法则表明，当复合函数的外函数是初等函数时，复合运算关系与极限运算可以交换顺序.1.3.1极限的运算法则1.四则运算法则1.3.2无穷小的比较可见，当x0时，无穷小量2x,x2及sinx等趋向于零的速度不同.为了便于描述无穷小趋向于零的速度的快慢，我们采用比值法比较如下.问题举例当x0时，显然有2x0,x20,sinx0，它们趋向于零的速度如表1-4所示.1.3.2无穷小的比较(1)如果 ,则称比高阶(或说是比高阶的无穷小量)，记作=o();也说比低阶.(2)如果 (C0且C1，C为常数)，则称与同阶(或说是与同阶的无穷小量).LOGO无穷小量阶的比较：设和为同一变化方式下的无穷小，(3)如果lim=1,则称与等价，记作.对于上述表中的无穷小量，有x2=o(x),x2=o(2x),xsinx,x与2x同阶.1.3.3重要极限在极限的运算过程中，我们经常会用到下列两个极限结论.1.3.3重要极限1.3.3重要极限上述运算过程中，相当于分子和分母同时用等价的无穷小
