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1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系: :函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可在某个区间内可导导, ,则则若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_函数函数; ;若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_函数函数; ;若若f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_._.增增减减常数函数常数函数(2)(2)函数的极值与导数函数的极值与导数: :极值
2、的概念极值的概念: :f(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x0 0) )极极小值点小值点判定判定f(xf(x0 0) )是极大是极大( (小小) )值的方法值的方法: :若若x x0 0满足满足_,_,且在且在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的导数的导数_,_,则则x x0 0是是f(x)f(x)的的极值点极值点. .()()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_,_,右侧右侧_,_,即即“_”,_”,那么那么f(xf(x0 0) )是极大值是极大值; ;()()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_,_,右侧右侧_,_,即即“_”,_”,那么那么f(xf(x0 0
3、) )是极小值是极小值. .f(xf(x0 0)=0)=0异号异号f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0左正右负左正右负f(x)0f(x)0f(x)0左负右正左负右正(3)(3)函数的最值与导数函数的最值与导数: :函数函数f(x)f(x)在在a,ba,b上有最值的条件上有最值的条件: :如果在区间如果在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条_的曲线的曲线, ,那么那么它必有最大值和最小值它必有最大值和最小值. .求求y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最大上的最大( (小小) )值的步骤值的步骤: :()()求函数求函数y=f(x)y=f(x)
4、在在(a,b)(a,b)内的内的_._.()()将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与_比较比较, ,其中其中_的一个是最大值的一个是最大值,_,_的一个是最小值的一个是最小值. .连续不断连续不断极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a),f(b)f(a),f(b)最大最大最小最小2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)可导函数可导函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是增函数上是增函数, ,则有则有_在在a,ba,b上恒成上恒成立立. .(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是减函数上是减函数, ,则有则有_在在a,ba
5、,b上恒成上恒成立立. .f(x)0f(x)0f(x)0f(x)03.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :利用导数判断单调性的方法利用导数判断单调性的方法, ,利用导数求极值、最值的利用导数求极值、最值的方法方法. .(2)(2)数学思想数学思想: :分类讨论、数形结合分类讨论、数形结合. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :导数应用比较广导数应用比较广, ,单调极值及最值单调极值及最值; ;导数恒正单调增导数恒正单调增, ,导数恒负当然减导数恒负当然减; ;求出导数为零点求出导数为零点, ,左增右减极大值左增右减极大值; ;左减右增是极小左减右
6、增是极小, ,同增同减非极值同增同减非极值; ;若是加上端点值若是加上端点值, ,最大最小皆晓得最大最小皆晓得. .【小题快练小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增上单调递增, ,那么在区间那么在区间(a,b)(a,b)上一定有上一定有f(x)0.(f(x)0.() )(2)(2)如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,f(x)=0,则函数则函数f(x)f(x)在此区间内没有在此区间内没有单调性单调性.(.() )(3)(3)导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不
7、一定是极值点.(.() )(4)(4)三次函数在三次函数在R R上必有极大值和极小值上必有极大值和极小值.(.() )【解析解析】(1)(1)错误错误. .函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增上单调递增, ,则则f(x)0.f(x)0.故故f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增的充分不必要条件上单调递增的充分不必要条件. .(2)(2)正确正确. .如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数. .如如f(x)=3,f(x)=3,则则f(x)=0,f
8、(x)=0,函数函数f(x)f(x)不存在单调性不存在单调性. .(3)(3)正确正确. .导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点. .如函数如函数y=xy=x3 3在在x=0 x=0处导数为零处导数为零, ,但但x=0 x=0不是函数不是函数y=xy=x3 3的极值点的极值点. .(4)(4)错误错误. .对于三次函数对于三次函数y=axy=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d,y=3ax+cx+d,y=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.当当(2b)(2b)2 2- -12ac0,12ac0,即即b b2 2-3ac0-3ac0,f(x)0,解得解得xln2,xln2,
9、则函数则函数f(x)=ef(x)=ex x-2x-2x的单的单调递增区间为调递增区间为(ln2,+).(ln2,+).答案答案: :(ln2,+)(ln2,+)(2)(2)(选修选修2-2P302-2P30练习练习BT4BT4改编改编) )若若f(x)=axf(x)=ax3 3+3x+2+3x+2无极值无极值, ,则则a a的范围为的范围为_._.【解析解析】f(x)=3axf(x)=3ax2 2+3,+3,若若a0,a0,则则f(x)0,f(x)0,f(x)f(x)在在R R上增上增,f(x),f(x)无极值无极值. .答案答案: :0,+)0,+)3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感
10、悟考题试一试(1)(1)若函数若函数f(x)=kx-lnxf(x)=kx-lnx在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增, ,则则k k的取值范围是的取值范围是( () )A.(-,-2 B.(-,-1A.(-,-2 B.(-,-1C.2,+) D.1,+)C.2,+) D.1,+)【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上递增上递增, ,所以所以f(x)0f(x)0恒成立恒成立, ,因为因为f(x)=kx-lnx,f(x)=kx-lnx,所以所以f(x)=k- 0,f(x)=k- 0,即即k .k .因为因为x1,x1,所以所以 1,0(x(-1,
11、1),f(x)0(x(-1,1),所以所以f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)为增函数为增函数, ,又又x(-1,0)x(-1,0)时时,f(x),f(x)为增函数为增函数,x(0,1),x(0,1)时时,f(x),f(x)为减函数为减函数, ,所以所以选选B.B.(3)(3)已知已知e e为自然对数的底数为自然对数的底数, ,设函数设函数f(x)=f(x)=(e(ex x-1)(x-1)-1)(x-1)k k(k=1,2),(k=1,2),则则( () )A.A.当当k=1k=1时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极小值处取到极小值B.B.当当k=1k=1时时,f(x),f
12、(x)在在x=1x=1处取到极大值处取到极大值C.C.当当k=2k=2时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极小值处取到极小值D.D.当当k=2k=2时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极大值处取到极大值【解题提示解题提示】当当k=1,2k=1,2时时, ,分别验证分别验证f(1)=0f(1)=0是否成立是否成立, ,根据函数的单根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点调性判断是极大值点还是极小值点. .【解析解析】选选C.C.当当k=1k=1时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)+e(x-1)+ex x-1,-1,此时此时f(1)0,f(1)0,故排除故排除A,
13、B;A,B;当当k=2k=2时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)(x-1)2 2+(e+(ex x-1)(2x-2),-1)(2x-2),此时此时f(1)=0,f(1)=0,在在x=1x=1附附近左侧近左侧,f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以所以x=1x=1是是f(x)f(x)的极小值的极小值点点. .考点考点1 1 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【典例典例1 1】(1) (1) 已知已知f(x)=1+x-sinx,f(x)=1+x-sinx,则则f(2),f(3),f(2),f(3),f()f()的大小关系正确的是的大小关系正确的是( () )A.f(2)
14、f(3)f()A.f(2)f(3)f()B.f(3)f(2)f()B.f(3)f(2)f()C.f()f(2)f(3)C.f()f(2)f(3)D.f()f(3)f(2)D.f()f(3)f(2)(2)(2)已知常数已知常数a0,a0,函数函数f(x)=ln(1+ax)- f(x)=ln(1+ax)- 讨论讨论f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性. .【解题提示解题提示】(1)(1)利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性. .(2)(2)先求先求f(x),f(x),分分a1a1与与0a10a0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在(0,(0,上是增
15、函数上是增函数, ,所以所以f()f()f(3)f(2).f(3)f(2).(2)f(x)= (*)(2)f(x)= (*)当当a1a1时时,f(x)0(x(0,+),f(x)0(x(0,+),此时此时f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递上单调递增增; ;当当0a10a1时时, ,由由f(x)=0f(x)=0得得x x1 1= (x= (x2 2=- =- 舍去舍去).).当当x(0,xx(0,x1 1) )时时,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.故故f(x)f(x)在区间在区间(0,x(0,x1 1) )上单调递减上单调递减, ,在区间在区间(x(x1 1,+),+
16、)上单调递增上单调递增. .综上所述综上所述, ,当当a1a1时时,f(x),f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递增；当上单调递增；当0a10a0).f(x)= (x0).当当a=0a=0时，时，f(x)= f(x)= 恒大于恒大于0 0，f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增. . 当当a0a0时，时，f(x)=f(x)=f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增. . 当当a0a0时，时，a(x+1)a(x+1)2 2+2x=0+2x=0对应的对应的=(2a+2)=(2a+2)2 2-4a-4a2 2=8a+4=8a+4，当，当aa时，时，00，导函数图象开口向下，导函数图象开口向下，f(x)f(x)在定义域上单调递减在定义域上单调递减. . 当当 a0a00，x x1,21,2 对称轴对称轴方程为方程为 . .且且x x1 1x x2 2=10=10，所以，所以f(x)f(x)在在(0(0， ) )上单调递减，上单调递减，( )( )上单调递上单调递增，增， 上单调递减上单调递减. . 综上所述综上所述,a0,a0时时,f(x),f(x)在定义
