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1、4 平稳随机过程内容提要q平稳过程的概念与性质平稳过程的概念与性质q平稳过程平稳过程 的各态历经性的各态历经性q平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度q联合平稳过程联合平稳过程4.1 平稳过程的概念与性质定义 设设X (t), t T 是随机是随机过程过程，若对任意常数，若对任意常数 和正和正整数整数n，t1 , t2 , , tn T ，t1+ , t2+ , , tn+ T ，( X (t1), X(t2), , X (tn) )与与( X (t1+ ), X(t2+ ), , X (tn+ ) )有相同的联合分布函数，则称有相同的联合分布函数，则称X (t), t T 为为严平稳过程，
2、也称，也称狭义平稳过程。严平稳过程N 阶平稳过程定义 设设X (t), t T 是随机是随机过程过程，若对于正整数，若对于正整数 n N 和任意常数和任意常数 ，t1 , t2 , , tn T ，t1+ , t2+ , , tn+ T ，( X(t1), X(t2), , X(tn) )与与( X(t1+ ), X(t2+ ), , X(tn+ ) )有相同的有相同的n维联合分布函数，则维联合分布函数，则称称X (t), t T 具有具有N 阶平稳性。（其实，当（其实，当 n = N 时条件满足即可）时条件满足即可）宽平稳过程定义定义 设设X (t), t T 是随机是随机过程过程，如果，如
3、果(1) X (t), t T 是二阶矩是二阶矩过程；过程；(2) 对任意对任意 t T ，mX(t) = EX(t) = 常数；（常数；（均值平稳） (3) 对任意对任意s , t T ，RX (s, t) = EX(s)X(t) = RX (t s) ； （自相关平稳） 则称则称X (t), t T 为为广义平稳过程，简称，简称(宽)平稳过程。常用平稳性之间的关系严平稳严平稳n 阶平稳阶平稳( n2 )二阶平稳二阶平稳一阶平稳一阶平稳均值平稳均值平稳自相关平稳自相关平稳广义平稳广义平稳高斯过程高斯过程例1白噪声n设设 Xn , n = 0, 1, 2, 是实是实的互不相关的互不相关随机变量
4、随机变量序列序列，且，且 EXn = 0，DXn = 2 ，试讨论随机序列的，试讨论随机序列的平稳性平稳性 。解因为因为: (1) EXn = 0故故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与随机序列的均值为常数，相关函数仅与 有关，有关，因此它是平稳随机序列。因此它是平稳随机序列。例2n设有状态连续、时间离散的随机过程设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2 t)，其中，其中 为（为（0, 1）上均匀分布的随机变量，）上均匀分布的随机变量，t 只取整数值只取整数值 1, 2, ，试讨论随机过程，试讨论随机过程X (t)的平稳性。的平稳性。解因此因此 X (t)是平稳随机过程。是
5、平稳随机过程。平稳过程相关函数的性质定理 设设 X (t), t T 是平稳过程，则其相关函数是平稳过程，则其相关函数 RX( ) 具有下列性质：具有下列性质：(1)(2)(3)(5) 若若 X (t) = X (t+T)，则有，则有 RX( ) = RX( +T) ；(4) RX( )是非负定的，即是非负定的，即(6) 若若 X (t) 是非周期过程，当是非周期过程，当 时，时，X (t) 与与 X (t+ )相互独立，则相互独立，则实平稳过程的相关函数是偶函数实平稳过程的相关函数是偶函数4.2 平稳过程的各态历经性对于对于随机随机过程过程 X (t, e) ，对于每一个固定的对于每一个固定
6、的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，是一个随机变量，EX (t) = mX (t) 为为统计平均统计平均。对于每一个固定的对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，是普通的时间函数，在在 T 上对上对 t 取平均，即得取平均，即得时间平均时间平均。大数定理（回顾）设独立同分布的随机变量序列设独立同分布的随机变量序列 Xn , n = 1, 2, ，具有具有 EXn = m, DXn = 2, ( n = 1, 2, )，则，则只要观测的时间足够长，则只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函随机过程的每个样本函数都能够数都能够“遍历遍历”各种可能状态各种可能状态
7、遍历性（或各态历经性、埃尔古德性）大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。时间均值和时间相关函数定义 设设 X (t), t 为为均方连续的平稳过程，均方连续的平稳过程，则分别称则分别称 为该过程的为该过程的时间均值和和时间相关函数。各态历经性定义 如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程 X (t), t T 的均值和相关函数的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性平稳过程具有各态历经
8、性或遍历性。或遍历性。定义 设设 X (t), t 为为均方连续的平稳过程，若均方连续的平稳过程，若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性均值具有各态历经性。若若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性相关函数具有各态历经性。CX ( )均值各态历经的充要条件定理 设设 X (t), t 是是均方连续的平稳过均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为为当当 X (t) 是是实实均方连续平稳过程时，充要条件均方连续平稳过程时，充要条件为为相关函数各态历经的充要条件定理
9、 设设 X (t), t 是是均方连续的平稳过均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为为当当 X (t) 是是实实均方连续平稳过程时，充要条件均方连续平稳过程时，充要条件为为0t时的各态历经性（1）定理1 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程 X (t), 0 t ，等，等式式以概率以概率1成立的充要条件成立的充要条件为为若若 X (t) 为为实实平稳过程，则充要条件为平稳过程，则充要条件为0t时的各态历经性（2）定理2 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程 X (t), 0 t ，等，等式式以概率以概率1成立的充要条件成立的充
10、要条件为为若若 X (t) 为为实实平稳过程，则充要条件为平稳过程，则充要条件为例3n设有随机相位过程设有随机相位过程 X (t) = acos( t+ )，a, 为常数，为常数， 为为(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量，试问上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是否为各态历经过程。是否为各态历经过程。故故 X (t) 是为各态历经过程。是为各态历经过程。各态历经性的重要意义如果如果一个实一个实平稳过程是各态历经的，则可用其任一样平稳过程是各态历经的，则可用其任一样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即若样本函数若样本函数 x (t) 只
11、在有限区间只在有限区间 0, T 上给出，则有上给出，则有4.3 平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：帕塞伐公式：普通时间函数 x(t) 的谱分析能谱密度功率密度截尾截尾函数：函数：平均功率平稳过程的谱分析设设 X(t) 是均方连是均方连续的随机过程，续的随机过程，功率谱密度功率谱密度定义 设设 X (t), t 是均方连续的随机过程，是均方连续的随机过程，称称为为 X (t) 的的平均功率平均功率。称。称为为 X (t) 的的功率谱密度，简称，简称谱密度。当当 X (t) 是均方连续的平稳过程时，是均方连续的平稳过程时，解例4 设有随机过程设有随机过程 X (t) = a cos( 0t + )
12、， 其中其中 a, 0 为常数，为常数， 在下列情况下，求在下列情况下，求 X (t) 的平均功率的平均功率(1) 是在是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；上服从均匀分布的随机变量；(2) 是在是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。上服从均匀分布的随机变量。(1) 随机过程随机过程 X (t) 是平稳过程，是平稳过程，相关函数：相关函数：平均功率：平均功率：(2)平均功率：平均功率：X (t) 是非平稳过程是非平稳过程功率谱密度的性质设设 X (t), t 0, m n，分母无实根。，分母无实根。sX( ) 单边功率谱单边功率谱实平稳过程的谱密度实平稳过程的谱密度 sX
13、 ( ) 是偶函数，是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。GX( )例5解n已知平稳过程的相关函数为已知平稳过程的相关函数为 ，其中其中 a 0, 0 为常数，求谱密度为常数，求谱密度 sX ( ) .常见的平稳过程的常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度相关函数及相应的谱密度参见表参见表7.1（P150）窄带过程相关函数：相关函数：窄带随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度：谱密度：sX( ) s0 1 2- 2- 10RX( ) 0白噪声过程定义 设设 X (t), t 为实平稳过程
14、，若它的均为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即即 sX ( ) = N0 ( ) ，则称，则称 X (t) 为为白噪声过程。相关函数：相关函数：定义2 称均值为零、相关函数称均值为零、相关函数 RX ( ) = N0 ( ) 的实的实平稳过程为平稳过程为白噪声过程。4.4 联合平稳过程X (t) 和和 Y (t) 是两个平稳过是两个平稳过程程 X (t)Y (t)W (t) = X (t) + Y (t) 是否平稳？是否平稳？联合平稳过程的定义定义 设设 X (t), t T 和和 Y (t), t T 是两个平稳
15、过是两个平稳过程，若它们的互相关函数程，若它们的互相关函数 及及 仅与仅与 有关，而与有关，而与 t 无关，则称无关，则称 X (t) 和和 Y (t) 是是联合平稳随机过程。它们的和它们的和 W(t) = X(t) + Y(t) 也是也是平稳过程。平稳过程。互相关函数的性质联合平稳过程联合平稳过程 X (t) 和和 Y (t) 的互相关函数具有性质：的互相关函数具有性质：(1)(2)对于实平稳过程，对于实平稳过程，联合平稳过程的互谱密度定义定义 设设 X (t) 和和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是联是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数合平稳（平稳相关）的
16、，若它们的互相关函数 RXY( ) 满足满足 ，则称，则称是是 X (t) 和和 Y (t)的的互功率谱密度，简称，简称互谱密度。互谱密度的性质(1)(3)(4) 若若 X (t) 和和 Y (t) 相互正交，则相互正交，则(2) ResXY( ) 和和 ResYX( ) 是是 的偶函数，而的偶函数，而ImsXY( ) 和和 ImsYX( ) 是是 的奇函数；的奇函数；联合平稳过程的谱密度若若 X (t) 和和 Y (t)相互正交，则相互正交，则设设 X (t) 和和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是平稳是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，相关的， W (t) = X (t) + Y (t) ，则，则例6 如图所示如图所示X (t) 是平稳过是平稳过程，分析过程程，分析过程Y (t)的平稳性。的平稳性。解故故 Y (t) 是平稳过程。是平稳过程。 X (t)Y (t)延迟延迟T
