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1、 第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事,制造某种产品，完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作总量=工作效率工作时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成,乙做1天可完成.问两人合作几天可以完成?一件工作看成个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,天就是一个单位,因此甲的工作效率是,乙的工作效率是，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率,再根据基本数量关系式，得到
2、所需时间=工作量工作效率 6(天).两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算),可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是0.设全部工作量为30份.那么甲每天完成份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30（3+ 2)= （天)实际上我们把这个算式,先用30乘了一下,都变成整数计算，就方便些.1天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是151=.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也是非常实用的根据,两人合作时,甲
3、应完成全部工作的，所需时间是(天）. 因此,在下面例题的讲述中,我们可以采用“把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些二、典型例题例1一件工作，甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?解析： 甲的工效:19=9 乙的工效:1=/6 甲三天做了的：1/9 31/ 余下的工作:1 - / 2/3 乙需做的天数：/3 1/64(天）例. 有一工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成,甲、乙两队合做8天后,余下的由丙队做，又做了6天才完成。这个工程由丙队单
4、独做需几天完成？解析:（1/241/3）8=2 625=5天例3. 某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做天即可完成,若由甲乙两人合作，需48天完成,现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成,那么还需要多少天？解析:某工程先由甲单独做3天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(-28/48）/=1/8,乙的工效为14-/4=112甲先单独做2天,然后由乙接着做，还需(-42184)/（1/12）=56天另一个方法:令甲每天做工程的百分比为x,乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48（+）1求得x=/84 y=112若甲独做42天,则完成工
5、程的42/84，即1/2，剩下12由乙完成,需要1/2/2=56天例4. 一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做天完成,已知甲比乙每天多完成这项工程的,甲乙单独做这项工程各需要多少天?甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1+ 1/Y）/= /x1/y=1/ X=10 Y=1甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天,那么甲平均每天完成工程的1/X;因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一,就是说，乙平均每天完成1/X-1/30;按照已知条件，甲乙合作4天，/X4(-1/0),随后，乙单独做了5天，5(1/x-1/0)，加在一起,完成了这项工程,即,4/+*（1/x-1/30） 5*
6、(1/3） =1=乙每天完成 11-/301/1,即，乙单独做需天例5.一项工程，甲队单独做2天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?16天中甲实际休息了13=13天甲完成了13/2乙完成了13/20=7/2需要时间:/0130=10.5天所以乙休息了610.55天例. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。乙还剩8/
7、17/15两人合作时间为：7/1/(1/15+/20)=4 所以至少要工作：84=12（天)解析2:小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:（18/15）(1/15+1/20)+=12天例7甲、乙合做一件工作要天才能完成，现在甲、乙合做10天后,再由乙独做6天,还剩下这件工作的10,甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作0天,完成了：1/3 乙独做6天完成了：1-2/3-11=730 乙每天完成：7/06=7/0甲独做需要：（1180）6(天）例.一项工程甲队单独做5天可以完成，乙队独坐天可以完成。现在开始两队合作,但中间乙队因另有任务调走，从开始到完
8、成任务,甲队工作了天，乙队比甲队少工作了多少天?解析:甲独做一天的工效为/15，乙独做一天的工效为1/10。合做分想:这项工程甲做了天，剩下的都是由乙队完成的。可以用工作总量减去甲队天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1/15）10(天）。所以乙队比甲队少工作天数为：-4=5例9.甲、乙合做一件工作，合作天后，乙又独做5天,还剩下这件工作的1/。已知乙单独完成这件工作要0天,那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：-1/30(+5）16=2/3=2/52/5=/20 所以需要2天例1. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的112,甲单独做天,乙又单独做1
9、0天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天?解析：1/1212 -11/0-12=2/15 （2/)(10-6)=1/30 1/(1/11/30)=20例1.一项工程，甲单独完成需天,乙单独完成需9天。若甲先做若干天后乙接着做，共用0天完成，问甲做了几天？解析：当做鸡兔同笼问题处理,如果1天都是乙做,能完成:19100/9，超出了:10/9-11/9,每天,甲比乙少做:1/-1/12=1/36，甲做了：1/913=天解析2：设甲做了天 X1/+(10-X）1，得出X4甲做了4天例12 一件工作,甲独做要1天，乙独做要天，丙独做要24天这件工作由甲先做了若干天，然后由
10、乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解析:设甲做了x天,则乙做了3x天,丙做了6天，所以x/12+3/18+6x/24=1,x2=1x=2,所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、3小时，现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出，结果用2小时完成，甲只打了多少小时?解析：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的120,14，1/，打了2小时，则乙和丙分别打了全部稿件的2/4,12/30,124+09/10,则甲打了稿件的十分之一，（10)除以（
11、1/20)=甲打了2小时解析:方程法：设甲打x小时。则：/0*（124+1)=1,可解出2例14.一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天,丙单独完成要90天。现在由甲、乙、丙合作完成此工程,在工作过程中甲休息了2天,乙休息了3天，丙没有休息,最后把工程完成了,问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的,(x-2)/30+(x3）/4+x9=1整理,得=17解析2：(1+2/0+/45)/(/+1/451/90)1(天)解释:假若甲、乙没休息，那么应该完成总工程的12/0 +3/5例1 一项工程,甲、乙两人合做4天后,再由甲单独做6天才完成全部任务。已知甲比乙每天多
12、完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天?解析1:思路同第四题,设乙每天完成的工作占整个工作的x，(x+x+180）+6（x/8）1x11,x1/803/4，所以甲40/3天完成,乙6天完成解析2:甲比乙多完成全部任务的:80*(+6)1/（46表示甲一共做了10天)-1/87/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量)4+14（天）乙每天完成:714=1/1，甲每天完成：1/1/3/4，单独完成甲要：13/40=13又3(天)例16. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作4天完成，甲、丙两人合作要天完成.问甲一人独做需要多少天完成?解析:甲乙合作的效率=136=1/36
13、,乙丙合作的效率15=1/45，甲丙合作的效率=160=1/0,甲乙丙三人合作的效率(1/36+/4+1/0）21/30甲工作的效率=1/30-1/410三、练习题1某工程甲单独干10天完成,乙单独干5天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？解:天2 某工程甲队单独做需8天,乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天,将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖2天后，剩下的乙队单独又挖了4天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天?. 单独干某项工程,甲队需00天完成，乙队需50天完成。甲、乙两队合干50天
14、后,剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解:以全部工程量为单位1。甲队单独干需00天,甲的工作效 某项工程,甲单独做需6天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天?分析:将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干8天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天?”这样一来，问题就简单多了。 答:甲队干了12天。6. 制作一批零件,甲车间要0天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件400个.问丙车间制作了多少个零件？解一:仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了00个零件.解二:10与最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份甲每天完成 3份,甲、乙一起每
