《高中数学北师大版高二选修2-1练习:第三章2.2_抛物线的简单性质(二)1含解_》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学北师大版高二选修2-1练习:第三章2.2_抛物线的简单性质(二)1含解_(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、基础达标过点(1,0)且与抛物线y2x有且仅有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条D4条解析:选C.点(1,0)在抛物线y2x的外部,过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条其中两条切线,一条相交直线(平行x轴)过抛物线yx2上的点M(,)的切线的倾斜角是()A30B45C60D90解析:选B.由题意可设切线方程为yk(x),代入yx2,化简得4x24kx2k10,由16k216(2k1)0,得k1,切线的倾斜角为45.抛物线yax21与直线yx相切,则a等于()A.BC.D1解析:选B.由消去y整理得ax2x10,由题意a0,(1)24a0.a.抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最小
2、的点的坐标是()A(,)B(1,1)C(,)D(2,4)解析:选B.令yx2的切线方程为2xyc0,代入yx2整理得x22xc0.由(2)24c0,c1,x1,y1.切点(1,1)到直线2xy40的距离最小已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交于A,B两点,F为C的焦点若|FA|2|FB|,则k()A.BC.D解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20,由得k2x2(4k28)x4k20,x1x24,|FA|x1x12,|FB|x2x22,且|FA|2|FB|,x12x22.由得x21,B(1,2),代入yk(x2),得k.故选D.抛物线
3、yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_解析:设切线为4x3yC0,代入yx2整理得3x24xC0,由(4)212C0得,C,故最小距离为.答案:设已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_解析:由题意知C的方程为y24x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y4x1,y4x2,两式作差,(y1y2)(y1y2)4(x1x2),kAB1,又直线l过(2,2),故l的方程为yx.答案:yx将两个顶点在抛物线y22px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则n_解析:根据抛物线对称性
4、知正三角形的一边平行于y轴,又过焦点与x轴的夹角为30的直线有两条,故符合题意的正三角形有两个答案:2已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线yx所得的弦长|P1P2|4,求此抛物线的方程解:设抛物线方程为y22px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2(32p)x0,判别式(32p)294p212p0,解得p0或p0)中,得y22x.综上,所求抛物线方程为y22x.A、B为抛物线y22px(p0)上两点,O为原点,若OAOB,求证:直线AB过定点证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),OAOBx1x2y1y20,A,B在抛物线上yy4p2x1x2,lAB:yy1(xx1
5、),yy1(x),yxy1x(x2p),直线AB过定点(2p,0)能力提升已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点,则()ArapBrapCrapDrap解析:选B.当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有交点,要么交于两点或四点,与题意不符;当ra时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当ra时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0,可得ap.故选B.已知直线ya交抛物线yx2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为_解析:设C(x,x2),由题意可
6、取A(,a),B(,a),则(x,ax2),(x,ax2),由于ACB,所以(x)(x)(ax2)20,整理得x4(12a)x2a2a0,即y2(12a)ya2a0,所以解得a1.答案:1,)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G:x22py(p0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是时,4.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y(x4),即x2y4,由得2y2(8p)y80,又4,y24y1,由这三个表达式及p0得y11,y24,p2,则抛物线的方程为x24y.(2)由
7、题意可设l:yk(x4),BC的中点坐标为(x0,y0)由得x24kx16k0,x02k,y0k(x04)2k24k,线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k),线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b2k24k22(k1)2,由16k264k0得k0或k0),则1,所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为ykx1.由消去y,整理得x24kx40,所以x1x24k,x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理,点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8|.令4k3t,t0,则k.当t0时,|MN|2 2.当t0时,|MN|2 .综上所述,当t,即k时,|MN|的最小值是.