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1、复习五、向量垂直的判定五、向量垂直的判定六、向量平行的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示基础自测基础自测1.1.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a a在在b b方向上的投影为方向上的投影为 . . 解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，| |a a|cos|cos 2.2.（20092009常州市武进区四校高三联考）常州市武进区四校高三联考）已知向已知向 量量a a=(2,1),=(2,1),b b=(3,=(3,) () (0),0),若若(2(2
2、a a- -b b)b b, ,则则 = = . .3 3跟踪练习跟踪练习4 4 设设n n和和m m是两个单位向量，其夹角是是两个单位向量，其夹角是 6060，求向量，求向量a a=2=2m m+ +n n与与b b=2=2n n-3-3m m的夹角的夹角. . 解解 由由| |m m|=1|=1，| |n n|=1|=1，夹角为，夹角为6060，得，得 m mn n= .= . 则有则有| |a a|=|2|=|2m m+ +n n|= |= | |b b|= |= 而而a ab b= =（2 2m m+ +n n）（2 2n n-3-3m m）= =m mn n- - 6 6m m2 2
3、+2+2n n2 2=- =- 设设a a与与b b的夹角为的夹角为， 则则coscos = = 又又0 0180180, , 故故a a与与b b的夹角为的夹角为120120. .2.2.（20092009浙江温州十校联考）浙江温州十校联考）在边长为在边长为1 1的正三的正三 角形角形ABCABC中，设中，设BCBC= =a a，ABAB= =c c，ACAC= =b b，则，则 a ab b+ +b bc c+ +c ca a= = . . 解析解析 如图所示，如图所示，a a+ +c c= =b b， a ab b+ +b bc c+ +c ca a = =b b（a a+ +c c）+
4、 +a ac c= =b b2 2+ +a ac c =1+| =1+|a a| | |c c|cos|cosa a，c c =1+cos 120 =1+cos 120= .= .3.3.（20102010广东韶关一中模拟）若广东韶关一中模拟）若向量向量a a, ,b b满足满足 | |a a|=1,|=1,|b b|=2,|=2,a a与与b b的夹角为的夹角为6060, ,则则a ab b+ +b bb b 的值为的值为 . . 解析解析 a ab b+ +b bb b=|=|a a| | |b b| |coscos 60 60+|+|b b| |2 2 =1 =12 2 +4=5. +4
5、=5.4.4.(2009(2009重庆改编重庆改编) )已知已知| |a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a( (b b- - a a)=2)=2，则向量，则向量a a与与b b的夹角是的夹角是 . . 解析解析 a a( (b b- -a a)=)=a ab b- -a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 coscosa a，b b= = a a与与b b的夹角为的夹角为 . .【例例3 3】（20092009全国全国设设a a、b b、c c是单是单 位向量，且位向量，且a ab b=0,=0,则（则（a a- -c c）（b b- -c c）的
6、最小）的最小 值为值为 . . 解析解析 a ab b=0,=0,且且a a, ,b b, ,c c均为单位向量，均为单位向量， a a+ +b b= ,|= ,|c c|=1.|=1. ( (a a- -c c) )（b b- -c c）= =a ab b-(-(a a+ +b b) )c c+ +c c2 2. . 设设a a+ +b b与与c c的夹角为的夹角为, , 则（则（a a- -c c）（b b- -c c）=1-|=1-|a a+ +b b| | |c c| |cos cos =1- =1- coscos . . 故故( (a a- -c c) )（b b- -c c）的最小
7、值为）的最小值为1- .1- .7 7 . .（ 2 20 00 08 8 江江 西西 ）直直 角角 坐坐 标标 平平 面面 内内 三三 点点 A A（1 1，2 2）、B B（3 3，- -2 2）、C C（9 9，7 7），若若E E、 F F为线段为线段BCBC的三等分点，则的三等分点，则AEAEAFAF= = . . 解析解析 BCBC=(6,9),=(6,9), BEBE= = BCBC=(2,3),=(2,3),BFBF= = BCBC=(4,6).=(4,6). 又又ABAB=(2,-4),=(2,-4), AEAE= =ABAB+ +BEBE=(4,-1),=(4,-1),AF
8、AF= =ABAB+ +BFBF=(6,2),=(6,2), AEAEAFAF=4=46+(-1)6+(-1)2=22.2=22.2222方法规律总结方法规律总结1.1.数量积数量积a ab b中间的符号中间的符号“”不能省略，也不不能省略，也不 能用能用“”来替代来替代. .2.2.要熟练类似要熟练类似 （a a+ +b b) )( (s sa a+ +t tb b)=)=s sa a2 2+(+(t t+ +s s) )a ab b+ +t tb b2 2 的运算律（的运算律（、s s、t tR R）. .3.3.求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式| |a a| |2 2= =a a2 2, ,将模的将模的 运算转化为向量的数量积的运算运算转化为向量的数量积的运算. .4.4.一般地，（一般地，（a ab b）c c(b bc c) )a a5.5.数量积有两种运算数量积有两种运算 （1 1）定义运算即模的积乘）定义运算即模的积乘以夹角的余弦（以夹角的余弦（2 2）坐标运算即对应坐标积的和）坐标运算即对应坐标积的和(4)O(4)O是内心是内心三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示
