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1、第七章第七章 微分方程微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第三节第三节 齐次方程齐次方程第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程第七节第七节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程第八节第八节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第五节第五节 可降阶的微分方程可降阶的微分方程1（一）引言（二）基本概念第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念2函数函数变量量间的的联系系实际问题含有未知函数含有未知函数及其及其导数的等式数的等式求求解解微分方程
2、微分方程u例例1一曲一曲线通通过点点(1,2) ,在在该曲曲线上任意点上任意点M(x,y)处的切的切线的斜率的斜率为2x，求，求该曲曲线的方程的方程 . 分析：分析：3 表示未知函数、未知函数的表示未知函数、未知函数的导数与自数与自变量量之之间关系的方程关系的方程. .例例基基基基 本本本本 概概概概 念念念念微分方程微分方程: : 微分方程中所出微分方程中所出现的未知函数的最高的未知函数的最高阶导数的数的阶数数微微分方程的阶：分方程的阶：( n 阶显式式微分方程微分方程)一般地一般地,n阶常微分方程的形式是常微分方程的形式是或或常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程未知函数未知函数一元函数
3、一元函数多元函数多元函数4微分方程的解微分方程的解:例例特解特解:x=0,=0,y=0=0初始条件初始条件 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的个数与微分方程的阶数相同数相同. .确定了通解中任意常数后的解确定了通解中任意常数后的解. .通解：通解：通解通解特解特解代入微分方程使方程恒成立的函数代入微分方程使方程恒成立的函数.过定点的积分曲线过定点的积分曲线过定点的积分曲线过定点的积分曲线; ;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的过定点且在定点的切线的过定点且在定点的切线的过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线斜率为定值的积
4、分曲线斜率为定值的积分曲线斜率为定值的积分曲线. .求微分方程求微分方程满足初始条件的特解的足初始条件的特解的问题. .初值问题初值问题:5解解例例2 2 验证函数验证函数 是微分方程是微分方程的解的解. .的特解的特解并求满足初始条件并求满足初始条件所求特解为所求特解为62 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一一阶微分方程：微分方程：或或-对称形式对称形式 可分离可分离变量的微分方程量的微分方程.转化化 解分离解分离变量方程量方程 7可分离可分离变量方程量方程解法解法积分分(显式式)通通解解 隐式通解式通解 初始条件初始条件特解特解 设 y (x) 是方程是方程(1)的解的解, 则有恒
5、等式有恒等式 积 分分8例例1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离分离变量得量得两两边积分分得得即即( C 为任意常数任意常数 )或或说明明: 在求解在求解过程中程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离此式含分离变量量时丢失的解失的解 y = 0 )9例例2. 解初解初值问题解解: 分离分离变量得量得两两边积分得分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数任意常数 )故所求特解故所求特解为10解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律技巧技巧11例例4. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解: :解解
6、: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:12练习：解法解法 1 分离变量即即( C 0 )解法解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:积分分13思思 考考 求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为14内容小内容小结1. 微分方程的概念微分方程;2. 可分离变量方程的求解方法:说明明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 15作业P 304 1 (1) ，(4) , (5) , (7) , 2 (3), (4) ; 预习：第三：第三节16
