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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑重庆大学测试技术习题详解 其次章 习题解答 2-1什么是信号？信号处理的目的是什么？ 2-2信号分类的方法有哪些？ 2 2-3求正弦信号x t Asin t的均方值 x。 解： 1T21T22 x t dt Asin tdt T0T022T22T1 cos2 t2 A sin tdt A dt 00TT2 22 Tsin T A2 A T 44 2 2x A2 也可先求概率密度函数：p(t) 那么： xp(x)dx 。 222 A x 1 2 x 2 2-4求正弦信号x t Asin( t )的概率密度函数p(x)。 xdt1 , Adx 1 x ()2 A
2、 1 解： t arcsin A x 22 代入概率密度函数公式得： p(x) lim t 12dt1 2 lim x 0 x x 0T TA2 x2 dxT 21 2 22 A2 x2 A x 2-5求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱 x -T 解 在x(t)的一个周期中可表示为 t -T1 T1 T 1x(t) 0 t T1 T1 t T2 该信号根本周期为T，基频 0=2 /T，对信号举行傅里叶复指数开展。由于x(t)关于t=0对称，我 们可以便当地选取-T/2tT/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0： c0 a0 当n 0时， 2T11T
3、1 dt TT1T T1 T1 cn 结果可得 1T1 jn 0t1 jn 0t edt eT T1jn 0T ejn 0t e jn 0t cn n 0T 2j 2 cn 其幅值谱为：cn 留神上式中的括号中的项即sin (n 0 T1)的欧拉公式开展，因此，傅里叶序列系数cn可表示为 2sin(n 0T1)2 sinc(n 0T1)，n 0 n 0TT 2T1 sinc(n oT1)，相位谱为： n 0, , 。频谱图如下： T Cn 2T1/T /T1 0 0 Cn 2T1/T /T1 0 0 n 0 2-6设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若
4、有 FS x t cn FS 那么 x t t0 e cn j 0t0 cn 证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，那么其对应的傅立叶系数为 1 T T x t e j 0tdt 令 t t0，代入上式可得 cn 1 T x e T j 0( t0) d d 1T e j 0t0cn e j 0t0 因此有 x e T j 0 FS x t t0 e j 0t0cn e j(2 /T)t0cn 同理可证 FS x t t0 e j 0t0cn e j(2 /T)t0cn 证毕！ 2-7求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数
5、Cn 2T11T jn 0t edt sinc(n 0T1) T1TT 那么根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有 X( ) 2 2T1 sinc(n 0T1) ( n 0) n T 此式说明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频 0以及全体谐频处，其脉冲强度为4 T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数开展得到的幅值谱之识别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正说明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。 2-8求符号函数的频谱。 1 解：符号函数为 x(t) 1 0 t 0t 0 t 0 可将符号函数看为以下指数函数当a 0时的极限处境 eatt 0
6、 解 x(t) sgn(t) at t 0 e 0 j2 ft at j2 ft X f x t edt lim e.edt eat.e j2 ftdt a 0 0 11 lim a 0a j2 fa j2 f j f 1j f 2-9求单位阶跃函数的频谱： 解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即 t 0 1 (t) 1/2t 0 0t 0 (t) 所以： 1 1 sgn(t) 2 (f) (f) 2 j f 2-10求指数衰减振荡信号x 1 1 t e atsin 0t的频谱。 1 at j t esin t edt0 02 1 (a j )t 解： esin 0td 02 j
7、sin 0t (e j 0t ej 0t) 2 1j (a j j 0)t X( ) () e e (a j j 0)tdt 2 20 1j 11 () 2 2 (a j ) j 0(a j ) j 0 X( ) 01 2 2 (a j )2 0 FT x t X f 2-11设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 那么 FTx t e j2 f0t X f f0 证明：由于 Fe i2 f0t (f f0) FTx t e j2 f0t X f0 *Fe i2 f0t 又由于 FTx t e j2 f0t X f0 * (f f0) X f f0 证毕！ 2-1
8、2设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 FT 即：若 x t X f 那么 式中x*(t)为x(t)的共轭。 FT x* t X* f 证明： x t * X(f)ej2 ftdf * X f x(t)e j2 ftdt 由于 x*(t)ej2 ftdt 上式两端用 -f 替代 f 得 X* f * x*(t)e j2 ftdt 上式右端即为x(t)的傅里叶变换，证毕！ 更加地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即 X f X* f 2-13设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 x t X f
9、 FT 那么 X t x f 证明： FT 由于 x(t) 以 -t 替换 t 得 X(f)ej2 ftdf X(f)e j2 ftdf x t 上式 t 与 f 互换即可得 x f 证毕。 特殊处境,当x t 为偶函数时， X(t)e j2 ftdt 即 X t x f FT X t x f 2-14用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下： g t 且已知 at 2 1 t2 x(t) e FT X(f) 2aa 2 f2 2 解：当a=2 ，不难看出g(t)与X(f)分外好像。代入a=2 ，根据傅里叶变逆换有 e 2 t 2 2 2 2 2 f2 2 e
10、 2 t ej2 ftdf 1 2 2j2 ft e 1 f2df 等式两端同时乘以2 ，并用-t替代变量t得 2 j2 ft edt 1 f2 交换变量t和f得 2 e 上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以 2 f 2 j2 ft edt 1 t2 f g(t) 2-15所示信号的频谱 2 2 FT G(f) 2 e1 t2 x(t) 1 x1(t 2.5) x2(t 2.5) 2 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。 解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为 X1(f) sin fsin3 f 和X2(f) f f 根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得： X(f) e x(t) j5 f sin f sin3 f tx2(t) x1(t) tt 图2-31 2-16求信号x(t)的
