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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用 课时跟踪检测（二十四） 正弦定理和余弦定理的应用 一、专练高考真题 1.(2022四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两 岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，那么河 流的宽度BC等于( ) A240(31)m B21)m C120(31)m D31)m 解析：选C tan 15tan (6045) 60tan 6060tan 15120(31)(m)，应选C. 2(2022浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处举行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿
2、墙面上的射线CM移动，此人为了切实瞄准目标点P，需计算由点A查看点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，那么tan 的最大值是( ) tan 60tan 4523，BC1tan 60tan 45 A.30 530 10 43 95 9 AB15AC25解析：选D 由题意，在RtABC中，sinACBcosACB. 55 作PHBC，垂足为H，连接AH，如下图 设PHx，那么CH3x， 在ACH中，由余弦定理得 AHACCH2ACCHcosACB 6253x 2403x， tanPAHPH AH1625403x3x10 ， x 1353故当x
3、时，tan 取得最大值，最大值为. 1259 3.(2022全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一 座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN 60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点 测得MCA60，已知山高BC100 m，那么山高MN _m. MAAC解析：在ABC中，AC1002 m，在MAC中，由正弦定理得，sin 45sin 60 解得MA1003 m，在MNA中，MNMAsin 60150 m即山高MN为150 m. 答案：150 4(2022湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的马路上向正 西行驶，到A处时测得马路北侧一山顶D在西偏北30的方向上， 行驶600
4、m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰 角为30，那么此山的高度CD_m. 解析：由题意，在ABC中，BAC30， ABC18075105，故ACB45. 又AB600 m，故由正弦定理得BC600BC3002 m. sin 45sin 30 3100 6(m) 3在RtBCD中，CDBCtan 303002 答案：1006 5(2022江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至 C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索 道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲启程2 min后，乙从A乘
5、缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量， 123cos A，cos C. 135 (1)求索道AB的长； (2)问乙启程多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处彼此等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应操纵在什么范围内？ 123解：(1)在ABC中，由于cos A，cos C， 135 所以sin A54sin C135 从而sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C 5312463. 13513565 ABAC由正弦定理 sin Cs
6、in B AC1 2604得ABsin C1 040(m) sin B635 65 所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙启程t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t) 由于0t12200(37t270t50)， 131 040350t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短 13037 BCAC(3)由正弦定理， sin Asin B AC1 2605得BCsin A500(m) sin B6313 65 乙从B启程时，甲已走了50(281)55
7、0(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min， 由题意得35007101 2506253，解得v， v504314 1 250，43所以为使两位游客在C处彼此等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应操纵在 625单位：m/min)范围内 14 二、专练经典模拟 1(2022宜宾模拟)一艘海轮从A处启程，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处查看灯塔，其方向是南偏东70，在B处查看灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( ) A102 海里 B103 海里 C203 海里 D202 海里 解析：选
8、A 如下图，易知，在ABC中，AB20海里， BCABCAB30，ACB45，根据正弦定理得， sin 30sin 45 解得BC2(海里) 2(2022大连联考)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，那么水柱的高度是( ) A50 m C120 m B100 m D150 m 解析：选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，那么在ABC中，A60，ACh，AB100，BC3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos 60，
9、即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m. 3(2022厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，假设sin2(BC)sin2Bsin2C，那么角A的取值范围为( ) 0， A. 2 C. 6，3 解析：选D 由题意得sin2Asin2Bsin2C， 再由正弦定理得a2b2c2， 即b2c2a20. b2c2a2 那么cos A0， 2bc 0A，0A. 2 又a为最大边，A3 因此得角A的取值范围是 32 . 4(2022宁夏吴忠联考)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A处启程
10、，沿北偏东60方向举行海面巡逻，当航行半小时到达 B处时，察觉北偏西45方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30方 向上，那么缉私艇所在的B处与船C的距离是( ) A62)km C62)km B62)km D10(62)km B. 4，2 D. 32 解析：选C 由题意，知BAC603030，ABC304575， 1ACB180753075，ACAB4020(km)由余弦定理，得BC22 AC2AB22ACABcosBAC20220222022cos 308004003400(23)， BC400 2 200 31 22(31)10(62)km.应选C. 5(2022德州检测)某货轮在A处看灯
11、塔S在北偏东30方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75方向那么此时货轮到灯塔S的距离为_海里 解析：根据题意知，在ABS中，AB24，BAS30，ASB45，由正弦定 BS2412理，得BS2，故货轮到灯塔S的距离为122海里 sin 30sin 452 2 答案：2 6(2022潍坊一中月考)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和结果一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和结果一排的距离为106 m(如下图) ，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗 解析：依题
12、意可知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530. 由正弦定理可知CEAC sinEACsinCEA CEACsinCEA203 m. sinEAC在RtABC中，ABACsinACB3 30国歌时长为50 s0.6 m/s. 50 答案：0.6 7(2022温州模拟)某高速马路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶) 330 m. 2 (1)假设此高速路段限速80千米/时，试问该客
13、车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在RtABC中，BAC60，AB100米， 那么BC3米 在RtABD中，BAD45，AB100米，那么BD100米 在BCD中，DBC751590， 那么DCBDBC200米， CD所以客车的速度v20米/秒72千米/时，所以该客车没有超速 10 (2)在RtBCD中，BCD30， 又由于DBE15，所以CBE105， 所以CEB45. 在BCE中，由正弦定理可知EBBC， sin 30sin 45 所以EBBCsin 30506米， sin 45 即此时客车距楼房6米 8(2022威海模拟)在某海疆A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援信息中心立刻把消息告知在其南偏西30、相距40海里的C处的救援船，救援船立刻朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援 (1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间 (2)求tan 的值
