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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑解析几何答案苏大第四版 第1章 矢量与坐标 1.1 矢量的概念 1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一向线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一向线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、 OC 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ 解：如图1-1，在正六边形ABC
2、DEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 C .DE OF C D O E AB OC FA OB E F OA 和；和；和；和；和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边 、 的中点，求证：KL NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ 证明：如图1-2，连结AC , 那么在BAC 中， 21AC. KL 与方向一致；在DAC 中，2 1AC . NM 与AC 方向一致，从而KL NM 且KL 与NM 方向一致，所以KL . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面 体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量
3、： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、 ; (4) AD 、; . BE 、(5) 解：相等的矢量对是 （2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 1.3 数量乘矢量 D b a ,应得志什么条件？ 1.要使矢量 以下各式成立，?= +=+ （2（1 ?+ （4?=（3+= （5 ? =解 ：=+b a 的直,所在线（1）； +=+b a , （2） 且 （3b a ,= + 反向时b a , （4）+= （5 ）?=? b a ,AL , BM , 2. 设L 、M 、N 分别是ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量可 以构成一个三角
4、形. 证明： )(2 1+= )(2 1BC BA BM += )( 2 1+= 0)(1+=+ 2 =+CB A 从而三中线矢量C BC BA AC AB CN BM AL CN BM AL ,构成一个三角形。 N 是ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 3. 设L 、M 、OB OA +OC =OL +. LA OL OA += 证明 += NC ON OC += )(=+ + =)(ON OM OL ?+CN BM AL + 由上题结论知：0=+ ON OM OL OC OB OA +=+ 4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线彼此平分. 证明 ：如图1-4，在平行四边形ABCD
5、中，O 但 BC AD OB OC BC OA OD AD +=+?=?=?=?= )(OC OA +,AC )(OD OB +,BD 不平行于BD 而AC ， 由于0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。 M 行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 5. 如图1-5，设是平OA +OB +OC +4. 证明：由于 2 1(OA +OC ), 图1-5 2 1(OB +), 所以 2 2 1(OA +OC +OB ) 所以 OA +OB +OC +4. 6. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2A n 的中心，证明: 0 . 1OA +2OA +n OA
6、证明 ：由于 3OA 2OA , 1OA 2OA 4OA 3OA , 1?n +1OA O n A OA , n OA 2A O 1OA , 21OA +OA +所以 2(+n ) OA 1OA +2OA +n OA ), (0 . 1OA 2OA +n OA 所以 ()(2+)鲜明 2, 即 20. 所以 1OA +2OA +n A 0 O . 1. 矢量的线性关系与矢量的分解 4 1. 设一向线上三点A , B , P AP (1),O 是空间任意一点，求证： 得志 +OB OA OP +1 证明：如图1因 -7，为OA , AP OB PB , OA (OB 所以 ), +, )OP (
7、1+ +OB OA . OP 从而 +112e AB e 2. 在ABC 中，设，AT 是角A 的平它BC AT 分解为1e ,2e 分线（与交于T 点） ，试将图1-8 的线性组合. 解：由于 | |e |TC |11e , 且 BT 与方向一致， 所以 |1BT . |2e 由上题结论有 | |12e |1 1e e | |2 21e e e +|211221e e +. 3. 用矢量法证明： P ABC 充要条件是 是重心的0 .+ 证明：“”P 的重心，那么 ? 若为ABC 2P +, 从而 PA +PB =0 , 即 PA +PB =0 . “” 若?PA +PB =0 , PC C
8、P , +那么取E ，G 分别为AB F ，BC ，CA 之中点，那么有 PE 1 (+PA 2 PB ). 从而CP 2. , BP 2AP 2.故P 同理可 证为ABC 的重心. 4. 证明三个矢量a 1e 3+2e +23e , b ，c 41e 62e +23e +122e 31e 113e 共面， 其中能否用b , 性示如能表，写出线表示关系式. 线表？示性1e 2e , 3e 不共面，即它们线性无关. 证明：由于矢量, 考表式虑达 +b +v 0 ，即 (+32e 62e +122e 1e +23e )+ (41e +23e )+v (31e 113e ), 或 (+43v ) 0
9、 . 1e +(3612v ) 2e +(2+211v ) 3e 1e , 2e , 3e 由于线性无关，故有 解得 10，1，v 2. 0，所以? ?=+=?+?.01122,0,034v v v ? ?1263 +a 由于 10能用b ,c 线性表示 b a 51 c . 110是三个两两不共线的矢量，且, OC OA +OB 5. 如图1-10，试证A , B , C 三点共线证明：“B 共线，从而有 的充要条件是+ 1. 图1-10 ? ”由于 A ，C , AC /,且有1, 使m m OC m (OB OC ), OB m (1+m ), OC m +11m m OB . +1但已
10、知O , OB B . 由O C 对分解的唯一性可得 m +11, m m + 从而 1m m +m +11+11 设. “+ 1. 那么有OC OB (1)OB ?”=+(), (), 所以 BA , /BA . 从而 故 A ，B ，C 三点共线. 1.5 标架与坐标 1. 在空间直角坐标系O ;k j i ,下，求P (2,3,1)，M (a , b , c )关于 (的坐标. 解： 称点坐标为(a ,b , c )， c x 坐标为(a ,b ,c )， , , b (类似考虑P 1)即可. 2. 已知矢量1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点M (a , b ,
11、 c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(a , b , c )，M (a , b , c )关于xOz 平面的对M (a , b , )关于轴平面的对称点M (a b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(a , b ,c )， M (a , c )关于z 轴的对称点的坐标为a ,b , c ). (2,3，a , b , c 的分量如下： a b 0, 2, c 1, 2, 1； (1) 0, 1, 2，4，(2) a 1, 2, 3，b 2, 1, 0，c 0, 5, 6. 试判别它？c 表成a ，b 的线性组合？表示们是否共面能否将若能，写出表示式. 解:(1) 由于 1 2142 02 10?, ?0,所以 , 三矢量共面, 又由于, 的对应坐标成比例，即/， c 成a , b 的线性组合. 故不能将表3 21a , b , c 三矢量共面. 012?0,所以 (2) 由于 6 50, 的对应坐标不成比例，即 又由于 ， 故可以将表成, 的线性组合. 设 +, 亦即0, 5, 61, 2, 3+2, 1, 0 a b 从而 ? ?=?.63,02 ?=+,02? 解得 2，1,
